Spoträntan för en obligation är den aktuella avkastningen för en viss löptid. Marknadens spotkurser för vissa löptider är lika med avkastningen till förfall för nollkupongobligationer med dessa löptider. Spoträntan ökar när löptiden ökar, men detta mönster avviker ofta. Så obligationer med längre löptider har i allmänhet högre avkastning. En graf över spoträntorna för olika löptider bildar avkastningskurvan, och formen på denna kurva avgör ofta hur effektiva vissa obligationsstrategier är, särskilt de som syftar till att sänka ränterisken, till exempel obligationsimmuniseringsstrategier. Dessutom vill vissa innehavare av kupongobligationer strippa obligationerna till en serie nollkupongobligationer, antingen för att minska risken genom att bättre matcha varaktigheten mellan tillgångar och skulder eller för att göra en vinst genom att sälja nollkupongerna. Vinst kan också göras genom att återskapa nollkupongobligationerna till den ursprungliga obligationen, om summan av nollkupongerna är billigare än den återskapade obligationen. Att sälja nollor eller återskapa nollor beroende på marknadspriserna är en form av arbitrage, ett sätt att göra en riskfri vinst. Huruvida det skulle vara lönsamt att emittera nollor, strippa kuponger eller återskapa kuponger beror dock på spoträntekurvan, eller avkastningskurvan, som gör det möjligt för investeraren att uppskatta marknadspriset för en obligation med en viss löptid. Ofta säljs dock inte tillräckligt många nollkupongobligationer på marknaden för att tydligt ange vad de faktiska obligationspriserna skulle vara vid en viss löptid. Hur kan spoträntorna bestämmas för löptider där marknadsinformation saknas?
Närbesläktad med spoträntan är terminsräntan, som är räntan för en viss löptid som börjar i framtiden och slutar senare. Om ett företag vill låna pengar om ett år med en löptid på två år till en i dag känd ränta kan en bank garantera den räntan genom att använda ett terminskontrakt och använda terminsräntan som ränta på lånet. Terminskontrakt, som är en vanlig typ av derivat, är baserade på terminsräntor. Terminskurser är också nödvändiga för att utvärdera obligationer med inbäddade optioner. Men eftersom terminsräntor är framtida spotpriser för räntor, vilket är okänt, hur bestäms terminsräntorna?
Spoträntekurvor och terminsräntor som impliceras av marknadspriser kan bestämmas från marknadspriserna för kupongobligationer genom en process som kallas bootstrapping.
Terminsräntor
Priset på en obligation = nuvärdet av alla dess kassaflöden. Den vanliga tekniken är att använda en konstant avkastning till förfall (YTM) för att beräkna nuvärdet av kassaflödena. Obligationsprisekvationen kan dock användas för att beräkna de terminssatser som impliceras av de aktuella marknadspriserna på olika kupongobligationer.
| Bond Price | = | C1(1+YTM)1 | + | C2(1+YTM)2 | + … + | Cn(1+YTM)n | + | P(1+YTM)n |
|
||||||||
En kupongobligation kan betraktas som en grupp nollkupongobligationer.kupongobligationer med en nolla som motsvarar varje kupongbetalning och den slutliga återbetalningen av kapitalet. På detta sätt bör varje kassaflöde diskonteras till den räntesats som är lämplig för den period under vilken kassaflödet kommer att erhållas. Värdet av nollkupongobligationerna måste vara lika med kupongobligationen, annars skulle en arbitrageör kunna strippa obligationen och sälja nollorna med vinst, vilket de ibland gör.
De terminsräntor som på detta sätt beräknas är inte prognoser för framtida räntor, eftersom framtida räntor är okända. Snarare beräknas terminsräntorna helt enkelt utifrån aktuella obligationspriser; därför kallas de ibland för implicita terminsräntor, eftersom de impliceras av priserna på obligationsmarknaden på samma sätt som implicit volatilitet bestäms av priserna på optionsmarknaden.
Bootstrapping
Treasuries är den ideala typen av obligationer att använda för att konstruera en avkastningsräntekurva, eftersom de saknar kreditrisker, så Treasury-priserna är mer beroende av marknadsräntorna. Treasuries definierar en riskfri avkastningskurva, men marknadspriserna innebär också terminsräntor, som är avkastningar för vissa perioder i framtiden.
Då statspapper och obligationer i allmänhet emitteras som kupongobligationer kan deras priser inte helt enkelt användas för att konstruera spoträntekurvan eller för att beräkna terminsräntor. I stället konstrueras en teoretisk spoträntekurva och implicita terminsräntor genom processen bootstrapping som beräknar terminsräntorna genom att ta hänsyn till värdet av de nollkupongobligationer som är likvärdiga med statsobligationerna. De beräknade terminsräntorna kan sedan konstruera spoträntekurvan genom att addera avkastningen för varje löptid till den önskade löptiden.
Bootstrapping-tekniken bygger på pris-avkastningsjämförelsen genom att använda olika räntor för var och en av de 6-månaders löptiderna, som bestäms av marknadspriserna:
| Bond Price | = | C1(1+r1)1 | + | C2(1+r2)2 | + … + | Cn(1+rn)n | + | P(1+rn)n |
|
||||||||
Räntan beräknas 1:a gången för den 6-månadersobligation som har ett känt marknadspris, som endast har en enda betalning, bestående av kupongbetalning och återbetalning av kapitalet, på sin förfallodag. När räntan har beräknats för den 1:a perioden med 6-månadersobligationen används denna ränta för att beräkna räntan för den 2:a perioden med en 1-årsobligation, och så vidare, tills alla räntor för det önskade antalet löptider för vilka det finns tillgängliga marknadspriser har fastställts. Detta kallas bootstrapping-teknik, eftersom de tidigare beräknade spoträntorna används för att beräkna senare spoträntor i successiva steg.
Exempel: Bootstrapping
Två 6-procentiga kupongobligationer utan kreditrisk och med ett nominellt nominellt värde på 100 dollar har följande rena marknadspriser (ingen upplupen ränta) och tid kvar till förfall. Observera att den annualiserade avkastningen divideras med 2 eftersom varje löptid endast omfattar ½ år:
- 6-månadersobligation: 99 dollar
- 1-årsobligation: 98 dollar
- y = annualiserad avkastning till förfall
- Bestäm avkastningen för 6-månadersobligationen med hjälp av marknadspriset på 99 dollar. I slutet av 6 månader kommer den att betala en kupong på 3 dollar plus återbetalning av kapitalet, totalt 103 dollar:
- 99 = 103/(1+y/2)
- 99 × (1+y/2) = 103
- 1+y/2 = 103/99 = 1.0404
- y/2 = 1.0404 – 1 = .0404
- y = .0404 × 2 = .0808 = 8.08%
- Bestäm avkastningen på den andra löptiden för den ettåriga obligationen genom att använda marknadspriset på 98 dollar för obligationen och avkastningen för den första löptiden som beräknades i steg 1:
- Nuvärdet av den första kupongbetalningen + nuvärdet av den sista betalningen = 98
- 3/1.0404 + 103/(1 + y/2)2 = 2,88 + 103/(1 + y/2)2 = 98
- 103/(1 + y/2)2 = 98 – 2,88 = 95,12
- 103 = 95.12 × (1 + y/2)2
- (1 + y/2)2 = 103/95.12 = 1.082883
- Dagsvärdet av den slutliga obligationsbetalningen = 103/1.082883 = 95.12
- Marknadspris på obligationen = 2,88 dollar + 95,12 dollar = 98 dollar
Så, enligt dessa marknadspriser är spoträntan för den nuvarande sexmånadersperioden på årsbasis 8,0808 % och terminsräntan för den andra sexmånadersperioden på årsbasis 8,2883 %.
Slutsats
Bootstrapping-tekniken är enkel, men för att hitta den verkliga avkastningskurvan och jämna ut den krävs mer komplicerad matematik, eftersom obligationspriserna inte bara påverkas av räntorna utan även av andra faktorer, såsom kreditrisker, skatter, likviditet och den enkla variansen i utbud och efterfrågan för varje löptid. Mer sofistikerade matematiska tekniker används för att fastställa mer realistiska räntor, men dessa ligger utanför ramen för denna artikel. Icke desto mindre illustrerar bootstrapping hur terminsräntor kan beräknas från aktuella obligationspriser, som sedan kan sättas ihop för att fylla ut luckorna i spoträntekurvan.