Gränser för exponentiell tillväxt

Exponentiell tillväxt inträffar när födelsetalet överstiger dödstalet i en befolkning. Även om födelsetalet bara är något större än dödstalet kommer befolkningen så småningom att explodera i den välkända J-formade kurvan. Exponentiell tillväxt är möjlig endast om oändliga naturresurser finns tillgängliga, men detta är inte fallet i den verkliga världen. I den verkliga världen, med sina begränsade resurser, kan exponentiell tillväxt inte fortsätta i all oändlighet. Exponentiell tillväxt kan förekomma i miljöer där det finns få individer och rikligt med resurser, men när antalet individer blir tillräckligt stort kommer resurserna att ta slut, vilket bromsar tillväxttakten. Till slut kommer tillväxttakten att plana ut eller plana ut. Denna befolkningsstorlek, som representerar den maximala befolkningsstorlek som en viss miljö kan bära, kallas bärkraft och betecknas \(K\). Den första personen som publicerade en ändring av exponentiell tillväxt som beskriver detta beteende i verkligheten var Pierre Verhulst år 1838.

I traditionell exponentiell tillväxt är antalet nya individer som läggs till den tidigare populationen en procentuell andel av själva populationen. Med andra ord är lutningen proportionell mot populationen. Till exempel skulle en befolkning som växer med 5 % varje år lägga till 5 nya individer när befolkningen var 100, men den skulle lägga till 150 nya individer när befolkningen var 3000. Verhulsts modell var annorlunda eftersom tillväxten var proportionell mot befolkningen och de tillgängliga resurserna. Antalet tillgängliga resurser behandlades bara som en procentsats, med 100 % tillgängliga i början och 0 % tillgängliga när befolkningen nådde den bärande kapaciteten.

Formeln för befolkningen, \(P\), som växer exponentiellt kan skrivas som:
\(P = start \cdot \left(1 + r\right)^t\)

medan en befolkning som når en platå vid bärkraft kan skrivas som:
\(P = start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

Den enda förändringen i den traditionella exponentiella tillväxtekvationen är att faktorn \(\frac{K-P}{K}\), som representerar gapet mellan populationen och den bärande kapaciteten i procent, har lagts till. Om den bärande kapaciteten till exempel var 100 och befolkningen var 95, skulle det finnas 5 % av resurserna tillgängliga för ytterligare tillväxt eftersom \((100-95)/100=5\%\). I det fallet skulle tillväxten bara vara 5 % av det ursprungliga värdet: \(P=start \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

När den exponentiella tillväxten saktar ner och når en platå ser kurvan något S-formad ut. Den motsvarande grekiska bokstaven ”sigma”, och tillväxtmodellen kallas för sigmoidal tillväxt. Den kallas också ibland ”logistisk tillväxt”, även om det kan skapa förvirring med en mycket annorlunda tillväxtmodell som bygger på logaritmen. En jämförelse mellan exponentiell och logistisk tillväxt visas i grafen nedan för en tillväxttakt på 5 %, en initial population på 100 individer och en bärkraft på 2000 individer.

Bemärk att inledningsvis är den exponentiella modellen och den sigmoidala modellen nästan identiska. När befolkningen är mycket mindre än bärförmågan är resurserna i princip obegränsade och befolkningen växer exponentiellt. Det är först när befolkningen stiger mot bärkraften som tillväxttakten märkbart avtar och den sigmoidala kurvan planar ut.

Märk också att den sigmoidala tillväxtmodellen inte blir brantare och brantare som den exponentiella tillväxtmodellen. Den brantaste delen av den sigmoidala kurvan ligger vid exakt hälften av den maximala populationen, eller K/2 För populationer som är mindre än K/2 ökar tillväxten snabbare. För populationer som är större än K/2 avtar tillväxten.

Sammanfattning

Sigmoidal tillväxt är en modifiering av exponentiell tillväxt där den procentuella förändringen blir mindre när befolkningen närmar sig bärkraftsgränsen. Den aktuella tillväxttakten är produkten av den ursprungliga tillväxttakten och den procentuella andelen tillgängliga resurser. Initialt finns 100 procent av resurserna tillgängliga, så den sigmoidala tillväxttakten motsvarar den exponentiella takten. Så småningom finns det 0 % av resurserna tillgängliga och den sigmoidala tillväxttakten närmar sig noll.

Realiska system passar sällan exakt in i den sigmoidala tillväxtmodellen, men det är ändå en mycket användbar approximation. Förutom djurpopulationer kan sigmoidal tillväxt modellera spridningen av sjukdomar eller spridningen av teknik eller spridningen av rykten. Reella system uppvisar ofta en sågtandscykel av överbefolkning som följs av en befolkningskollaps eller till och med en utrotning. Detta inträffar när tillväxttakten är tillräckligt stor för att få befolkningen att överskrida den bärande kapaciteten.