Detta kapitel diskuterar några filosofiska frågor om den formella logikens natur. Särskild uppmärksamhet ägnas åt begreppet logisk form, den formella logikens mål att fånga logisk form och förklaringen av giltighet i termer av logisk form. Vi kommer att se hur denna förståelse av begreppet giltighet gör det möjligt för oss att identifiera vad vi kallar formella felsteg, som är fel i ett argument på grund av dess logiska form. Vi kommer också att diskutera några filosofiska problem om logiska formers natur. För enkelhetens skull kommer vi att fokusera på påståendelogik. Men många av de resultat som ska diskuteras är inte beroende av detta val och kan tillämpas på mer avancerade logiska system.

Logik, giltighet och logiska former

Olika vetenskaper har olika ämnesområden: fysiken försöker upptäcka materiens egenskaper, historien försöker upptäcka vad som hände i det förflutna, biologin studerar utvecklingen och evolutionen av levande organismer, matematiken handlar, eller verkar i alla fall handla om, om tal, uppsättningar, geometriska rum och liknande. Men vad är det som logiken undersöker? Vad är egentligen logik?

Detta är en i grunden filosofisk fråga, men för att den skall kunna besvaras måste man reflektera över de logiska reglernas och slutledningarnas status och beteende. I läroböcker presenteras logik vanligen som vetenskapen om det konsekvensförhållande som råder mellan premisserna och slutsatsen i ett giltigt argument, där ett argument är giltigt om det inte är möjligt för premisserna att vara sanna och slutsatsen falsk. Om logiken är vetenskapen om det konsekvensförhållande som råder mellan premisserna och slutsatsen i ett giltigt argument, kan vi säga att logiker kommer att ägna sig åt huruvida slutsatsen i ett argument är eller inte är en konsekvens av dess premisserna.

Låt oss undersöka begreppet giltighet med större noggrannhet. Betrakta till exempel följande argument:

1. Om Alex är en havsborre så är Alex inte en ros.
2. Alex är en ros.
3. / \därför är Alex inte en havsborre.

Det går att visa att det inte är möjligt att (1) och (2) är sanna men att (3) ändå är falska. Därför är hela argumentet giltigt. Låt oss för enkelhetens skull representera varje mening i argumentet i den vanliga påståendelogiken, som syftar till att analysera strukturen och betydelsen av olika påståenden. För att göra detta måste vi först introducera språket i vår logik.

Alfabetet i propositionell logik innehåller bokstäver som står för meningar: A, B, C och så vidare. Vi kan till exempel översätta ”Alex är en ros” genom att bara använda B. På samma sätt kan vi använda S för att översätta ”Jag skulle älska att lukta på den”. Alfabetet för påståendelogik innehåller andra symboler som kallas logiska konnektiv. En är en symbol för ”inte” eller negation (\neg ). När vi säger att Alex inte är en ros säger vi i praktiken att det inte är så att Alex är en ros. Om vi översätter ”Alex är en ros” med B, översätter vi ”Alex är inte en ros” med ”\neg B”. En annan är en symbol (\rightarrow) för villkorliga meningar av formen ”om … då ….”. Vi kan till exempel översätta ”Om Alex är en ros så skulle jag gärna lukta på den” med ”B \rightarrow A”. När vi säger att om Alex är en ros, så skulle jag gärna vilja lukta på den, säger vi något villkorligt: under förutsättning att Alex är en ros, skulle jag gärna vilja lukta på den. I allmänhet har en villkorlig mening två komponenter. Vi kallar den första komponenten för antecedent, den andra komponenten för consequent och hela satsen för villkorlig. Språket i vår logik innehåller också ”och” (\wedge), även kallat konjunktion, och ”eller” (\vee), även kallat disjunktion. Men i det här kapitlet ska vi bara behandla negation och konditionalitet.

Om vi alltså använder A för ”Alex är en havsborre” kan vi representera (1) med A \rightarrow \neg B, och representera vårt ovanstående argument (1)-(3) på följande sätt:

1. A \rightarrow \neg B
2. B
3. / \therefore \neg A

Men kom ihåg att vårt syfte var att undersöka varför detta argument, om det överhuvudtaget är giltigt. Att enbart representera ”inte” med ”\neg” och ”om … då” med ”\rightarrow” räcker inte för att verifiera giltigheten eller ogiltigheten hos ett givet argument: vi måste också veta vad dessa symboler och de satser de uttrycker betyder. Men hur kan vi specificera innebörden av ”\neg ” och ”\rightarrow”?

Det är rimligt att säga att om A är sant så är dess negation falsk, och vice versa. Om till exempel ”Alex är en ros” är sant, så är ”Alex är inte en ros” falskt. Detta ger oss betydelsen av ”\neg”. Vi kan representera denna information om betydelsen av negation i form av en sanningstabell på följande sätt (där T symboliserar sant och F falskt):

Här, kan vi läsa varje rad i sanningstabellen som ett sätt som världen skulle kunna vara. Det vill säga, i situationer eller möjliga världar där A är sant (till exempel där Alex verkligen är en havsborre) är \neg \textit{A} falskt (det är falskt att Alex är en havsborre); och vice versa. På detta sätt ger en sanningstabell oss de situationer i vilka en sats som A är sann och de situationer i vilka den är falsk. Dessutom talar den om för oss i vilka situationer \neg \textit{A} är sann, och i vilka situationer den är falsk.

På ett liknande sätt kan vi specificera innebörden av ”\rightarrow” genom att specificera de situationer i vilka villkorliga satser av formen ”\textit{A} \rightarrow \textit{B}” är sanna eller falska. Här är den vanliga sanningstabellen för ”\rightarrow”:

Som framgår, finns det bara en rad där \textit{A} \rightarrow \textit{B} är falsk; det vill säga den andra raden i vilken följden är falsk, men antecedenten är sann. Som den första raden säger oss, om både A och B är sanna, så är \textit{A} det också. \rightarrow \textit{B}. Vidare berättar den tredje och fjärde raden att om antecedenten är falsk är hela villkoret sant, oavsett om konsekvensen är sann eller falsk. Därför är alla villkor med falska antecedenter sanna.

Men hur är det möjligt för ett villkor att vara sant om dess antecedent är falsk? Här är ett förslag till svar på denna fråga: Om ditt antagande är falskt kan du legitimt dra den slutsats som du vill. Om du till exempel antar att Amsterdam är Englands huvudstad kan du legitimt dra vilken slutsats som helst; det spelar ingen roll om den är sann eller falsk. Utifrån antagandet att Amsterdam är Englands huvudstad kan du alltså dra slutsatsen att Paris är Frankrikes huvudstad. Du kan också dra slutsatsen att Paris är Brasiliens huvudstad.

Vi kan se att en viktig information som sanningstabellerna förmedlar handlar om hur sanningen eller falskheten i komplexa meningar som \textit{A} \rightarrow \textit{B} och \neg \textit{A} beror på sanningen eller falskheten hos de påståendesiffror de innehåller: sanningen eller falskheten hos \textit{A} \rightarrow \textit{B} beror enbart på sanningen eller falskheten hos A och B. På samma sätt beror sanningen eller falskheten hos \neg \textit{A} enbart på sanningen eller falskheten hos A.

Nu kan vi kontrollera om vårt argument (1)-(3) är giltigt eller inte. Och, som vi strax ska se, beror ett argumentets giltighet eller ogiltighet på betydelsen av de logiska konnektiverna (såsom ”\rightarrow” och ”\neg”) som specificeras av de motsvarande sanningstabellerna. Med andra ord, om sanningstabellerna för dessa konnektiv var annorlunda än vad de faktiskt är, skulle vi ha en annan samling giltiga argument.

Vi har definierat ett argument som giltigt om det inte är möjligt att dess premisser är sanna och slutsatsen falsk. Genom att utforma en sanningstabell kan vi se under vilka villkor premisserna (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) och slutsatsen (\neg \textit{A}) i vårt argument (1)-(3) är sanna eller falska:

Som i ovanstående sanning-tabellen, det inte finns någon rad där premisserna (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) är sanna och slutsatsen (\neg A) falsk, är argumentet giltigt. Den enda rad där båda premisserna är sanna är den tredje raden, och i den raden är slutsatsen också sann. Det finns med andra ord ingen värld eller situation där (1) och (2) är sanna, men (3) är det inte. Detta betyder bara att argumentet är giltigt.

Tänk nu på följande argument:

1. Om Alex är en tiger så är Alex ett djur.
2. Alex är inte en tiger.
3. / \därför är Alex inte ett djur.

Det finns situationer i vilka argumentet fungerar utmärkt. Anta till exempel att Alex inte är en tiger utan i själva verket är ett bord. I det fallet skulle Alex inte heller vara ett djur. Och därmed skulle meningarna (4), (5) och (6) vara sanna. Men detta är inte alltid fallet, för vi kan tänka oss en situation där premisserna är sanna men slutsatsen falsk, t.ex. när Alex inte är en tiger utan i själva verket är en hund. Genom att föreställa oss den nyss beskrivna situationen skulle vi alltså ha skapat ett motexempel: i denna situation skulle (6) vara falsk, och därmed skulle den inte vara en konsekvens av (4) och (5). Argumentet är ogiltigt.

Att argumentet är ogiltigt kan också verifieras med hjälp av sanningstabeller. Vi kan nämligen hitta en situation där både (4) och (5) är sanna och ändå (6) falsk. Det vill säga, i sanningstabellen, om vi representerar (4) som \textit{C} \rightarrow \textit{D}, (5) som \neg \textit{C} och (6) som \neg \textit{D}, kommer det att finnas minst en rad där premisserna är sanna och slutsatsen falsk (vilken rad är det?):

Vi sa att logiker sysslar med argumentens giltighet eller ogiltighet, och vi föreslog metoden med sanningstabeller för att utföra denna uppgift. Men vilka argument är giltiga och vilka är ogiltiga? Det är här som begreppet logisk form dyker upp. Anta att en logiker tar sig an den löjliga uppgiften att registrera alla giltiga argument. I detta fall skulle hon säkert registrera att (1)-(3) är giltiga. Anta nu att hon ställs inför följande argument:

1. Om Alice läser Hegel är hon inte frustrerad.
2. Alice är frustrerad.
3. / \därför läser Alice inte Hegel.

För att se om detta argument är giltigt eller inte kan hon skriva om varje mening i argumentet i sitt logiska språk: Alice läser Hegel (\textit{P}); Alice är frustrerad (\textit{Q}); och, om Alice läser Hegel, så är Alice inte frustrerad) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Hon kan sedan utforma en lämplig sanningstabell och kontrollera om det finns någon rad eller situation där både premisserna är sanna och slutsatsen falsk. Eftersom det inte finns någon sådan rad (varför?) kommer hon korrekt att meddela att argumentet är giltigt.

Men det är uppenbart att för att kontrollera giltigheten av (7)-(9) behövde vår logiker inte anstränga sig på detta sätt. Det skulle räcka om hon bara konstaterade att de två argumenten (1)-(3) och (7)-(9), och deras respektive sanningstabeller, i stor utsträckning är lika; de har samma form. I själva verket är deras enda skillnad att bokstäverna A och B har använts i det första och att de i det andra har ersatts av P respektive Q. De logiska konnektiven \rightarrow och \neg har inte förändrats.

För att se poängen, låt oss översätta varje argument till det språk för påståendelogik som vi introducerade ovan:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \therefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

De två argumenten har något gemensamt. Låt oss säga att det de har gemensamt är deras logiska form. Som du kan se har argumentens logiska konnektiv inte förändrats. Eftersom de två argumenten har samma form måste det andra argumentet också vara giltigt om det ena är giltigt. Mer generellt sett är alla argument med samma form giltiga. Den befriande nyheten är att vår logiker inte behöver ge sig i kast med den besvärliga uppgiften att kontrollera giltigheten hos varje enskilt argument separat. För om hon redan vet att ett visst argument är giltigt, och om hon dessutom kan visa att ett annat argument har samma form som det första, kan hon vara säker på att det andra argumentet är giltigt utan att behöva utforma dess sanningstabell.

Vi sa att ett argument är giltigt om det inte är möjligt att premisserna är sanna och slutsatsen falsk. Nu kan vi säga att varje argument som delar sin form med ett giltigt argument också är giltigt, och följaktligen är varje argument som delar sin form med ett ogiltigt argument också ogiltigt. Det är i denna mening som idén om logisk form kan användas för att fastställa argumentens (o)giltighet. Anta till exempel att vi vill kontrollera giltigheten av följande argument:

1. Om Alice läser Russell, så tänker Alice på logik.
2. Alice läser inte Russell.
3. / \därför tänker Alice inte på logik.

Sedan vi ser att (10)-(12) har samma form som (4)-(6), som vi redan vet är ogiltig, kan vi vara säkra på att den förstnämnda också är ogiltig utan att behöva konstruera dess sanningstabell.

Därmed kan vi se att om vi förstår begreppet giltighet i termer av logisk form kan vi identifiera olika formella felsteg. Till exempel är argumentet (10)-(12) ett exempel på felsteget att förneka antecedenten. Således är varje argument som delar sin form med (10)-(12) också ogiltigt.

Det finns ytterligare tre frågor som vi kan ställa om logiska former: (i) Hur kan vi ”extrahera” den logiska formen från argument som de delar? Det vill säga, hur kan vi visa att olika argument är exempel på en gemensam logisk form? (ii) Vad är karaktären hos en logisk form? Är en logisk form en sak, och i så fall vilken typ av sak är det? (iii) Har varje argument endast en logisk form? I de följande tre avsnitten ska vi tala om dessa tre frågor respektive.

Extrahering av logiska former

Låt oss återigen betrakta argumenten (1)-(3) och (7)-(9) som tycks dela en och samma logiska form. Hur kan vi visa att de har en gemensam logisk form? Först bör vi representera dem i logiska symboler:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \therefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

För att se vad dessa två argument har gemensamt måste vi abstrahera från (eller ignorera eller lämna åt sidan) det specifika innehållet i deras särskilda premisser och slutsatser, och därigenom avslöja en allmän form som är gemensam för dessa argument. Vi måste till exempel bortse från huruvida Alex är eller inte är en ros; allt som spelar roll är att ersätta ”Alex är en ros” med B. I denna mening måste vi, för att få fram eller extrahera den logiska formen hos ett argument, abstrahera från innehållet i premisserna och slutsatsen genom att betrakta dem som rena platshållare i den form som argumentet uppvisar. Som ni kanske har noterat tar vi inte bort innehållet i de logiska konnektiven. Det är en viktig fråga varför vi inte abstraherar från de logiska konnektiven. Den grundläggande tanken är att deras innebörd utgör en viktig del av den logiska formen för ett argument och därmed avgör dess (o)giltighet.

För att tala om logiska former kommer vi att använda de små grekiska bokstäverna såsom \alpha, \beta, \gamma och \delta. Vi kan till exempel representera den logiska form som (1)-(3) och (7)-(9) delar på följande sätt:

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \therefore \neg \alpha

En analogi kan hjälpa oss här: Inom matematiken tänker vi på särskilda aritmetiska satser som ”1 + 2 = 2 + 1” och ”0 + 2 = 2 + 0”. Men när vi vill generalisera använder vi formler som innehåller variabler och inte specifika tal. Till exempel uttrycker ”x + y = y + x” något allmänt om de naturliga talens beteende. Oavsett vilka naturliga tal x och y står för förblir ”x + y = y + x” sant. Samma sak gäller för variablerna \alpha, \beta, \gamma och \delta, som gör det möjligt för oss att tala på ett allmänt sätt om premisserna och slutsatserna i argument. Oavsett vilken betydelse \alpha och \beta ges, det vill säga vilka satser de uttrycker, förblir (i)-(iii) giltig, liksom alla dess exempel, såsom (1)-(3) och (7)-(9).

Som nämnts ovan gör det extraherande av en viss logisk form det möjligt för oss att på ett generellt sätt tala om premisserna och slutsatserna i argument. Det spelar ingen roll vilka specifika objekt och egenskaper – vilket specifikt ämne – de talar om. Och detta leder oss återigen till vår ursprungliga oro för logikens verkliga föremål:

Form kan alltså studeras oberoende av föremål, och det är huvudsakligen i kraft av deras form, som det visar sig, snarare än i kraft av deras föremål, som argument är giltiga eller ogiltiga. Därför är det argumentens former, snarare än själva argumenten, som logiken undersöker. (Lemmon 1971, 4)

Enligt denna uppfattning om logik är logiker i stånd att bedöma giltigheten hos ett argument, även om de inte strikt förstår innehållet i påståendena i argumentet, eller under vilka villkor de skulle vara sanna. Huruvida påståendena i argumenten är sanna eller inte är därför inte en fråga för logiken. Vad logiken i stället gör är att utforska argumentens logiska former och därmed fastställa deras (o)giltighet.

Logiska formers natur

I detta och nästa avsnitt kommer vi att titta på mer filosofiska frågor. I det här avsnittet ska vi diskutera vår andra fråga: Vad är karaktären hos en logisk form? Frågan om den logiska formens natur påminner om den gamla frågan om universellas natur. Alla röda rosor har något gemensamt; de delar eller instantierar alla något. Men vad är detta ting, om det överhuvudtaget är ett ting? Är egenskapen att vara röd lik en platonisk universell egenskap som existerar oberoende av de röda rosor som instansierar den? Eller är den som en aristotelisk universell egenskap vars existens beror på existensen av de särskilda rosorna? Kanske har den ingen existens alls; den är inget annat än ett namn eller en etikett som vi använder för att tala om röda rosor. Vi kan ställa exakt samma frågor om logiska former: Vad är det som alla giltiga argument av samma form delar eller instantierar? Är det en entitet i världen, eller en symbol i språket, eller en mental konstruktion som formas och skapas av oss?

Att anta att logiska former existerar, vad är de då? Det finns generellt sett två tankelinjer här. Enligt den första är logiska former scheman och därmed språkliga enheter. Enligt den andra är logiska former egenskaper: de är utomspråkliga enheter, som liknar universaler. De är vad schemata uttrycker eller representerar. (En analogi kan vara till hjälp här: Uttrycket ”är lycklig” är ett predikat; det är ett språkligt objekt. Men det uttrycker en utomspråklig entitet, till exempel egenskapen att vara lycklig.)

Att identifiera logiska former med schemata verkar vara ganska intuitivt. Men det leder till en villfarelse. Som Timothy Smiley påpekar ligger felsteget i att ”behandla mediet som budskapet” (Smiley 1982, 3). Betrakta den logiska formen av (1)-(3):

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \thereforefore \neg \alpha

Du kanske, med lika stor rätt, vill identifiera den logiska formen av (1)-(3) med:

1. \gamma \rightarrow \neg \eta
2. \eta
3. / \therefore \neg \gamma

Och ännu en annan logiker kanske föredrar att fånga dess logiska form med en distinkt uppsättning variabler:

1. chi \rightarrow \neg \delta
2. \delta
3. / \therefore \neg \chi

Vilken av dessa är den logiska formen av (1)-(3)? Det finns många olika sätt att fånga dess logiska form. Vilket av dem har rätt att betecknas som den logiska formen av (1)-(3)? Denna fråga är angelägen om logiska former betraktas som scheman och därmed som språkliga enheter. Om en logisk form bara är en kedja av symboler varierar den genom att använda en distinkt uppsättning variabler. Det kommer inte att finnas något icke godtyckligt sätt att välja en i motsats till någon annan som logisk form för ett givet argument. Med andra ord kommer det inte att finnas något att välja mellan dessa språkligt distinkta entiteter och därmed kan ingen av dem identifieras med den logiska formen för det ursprungliga argumentet.

Detta kan uppmuntra oss att identifiera logiska former som språkoberoende eller språkinvarianta entiteter. Enligt detta synsätt identifieras logiska former inte med scheman, utan med det som scheman uttrycker eller representerar. De är världsliga, snarare än språkliga, entiteter. Detta synsätt ger inte efter för ovanstående problem. Eftersom logiska former enligt detta synsätt är världsliga enheter är ingen av ovanstående kandidater – dvs. (i)-(iii), (iv)-(vi) och (vii)-(ix) – den logiska formen av (1)-(3). Snarare uttrycker eller representerar var och en av dem dess logiska form.

En logisk form eller många?

Det verkar då som om vi kommer att vara i ett bättre läge om vi antar att logiska former är världsliga enheter. Men detta lämnar oss inte heller helt hemma och torra. Hittills har vi antagit att logiska former är unika entiteter. Det vill säga, vi antog att argument som (1)-(3) och (7)-(9) har en och samma logiska form. Men är det verkligen så?

I allmänhet kan objekt anta många former. Till exempel kan en viss sonett vara både petrarchanisk och miltonisk, och en vas kan vara både en kuboid och en kub. Det verkar också som om en enda mening kan anta många (åtminstone fler än en) former. Tänk på \neg(\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Vilken är dess logiska form? Det verkar som om vart och ett av följande alternativ fungerar utmärkt som svar på vår fråga: det är en negation; det är en negation av ett villkor; och det är en negation av ett villkor vars konsekvensefterföljare är en negation.

Antag nu att var och en av dessa logiska former är en logisk form av ett givet argument. I kraft av vad är var och en av dem en logisk form av ett och samma argument? Det vill säga, vad förklarar det faktum att olika logiska former är former av ett och samma argument? Vad förenar dem i detta avseende? Ett svar är att säga att alla dessa former har en gemensam logisk form. Men då kan man ställa samma fråga om denna gemensamma logiska form, eftersom just denna form har ytterligare olika former. I kraft av vad är dessa logiska former former av en och samma form? Och denna process kan fortsätta i all oändlighet. Du har en logisk form som i sin tur har andra logiska former, och så vidare. Men detta är inte förenligt med tesen att logiska former är unika enheter.

Sammanfattning

Detta kapitel inleddes med en fråga om den formella logikens ämne: Vad är det som den formella logiken studerar? Vi diskuterade tesen att formell logik studerar logisk konsekvens genom argumentens form. Vi förklarade sedan begreppet giltighet i termer av sanningstabeller, som specificerar de villkor under vilka en sats är sann eller falsk – till exempel är en villkorlig sats falsk endast när dess antecedent är sann och dess konsekvens falsk; annars är den sann. Som vi diskuterade ovan kan sanningstabeller alltså användas för att avgöra om argument som är formulerade på påståendelogikens språk är giltiga.

Vi grävde sedan vidare i vad det innebär för argument att ha en logisk form, och hur deras logiska form påverkar deras (o)giltighet. Huvudtanken är att varje argument som delar sin logiska form med ett giltigt argument också är giltigt, och följaktligen är varje argument som delar sin logiska form med ett ogiltigt argument också ogiltigt. Vi såg hur denna förståelse av begreppet giltighet gör det möjligt för oss att identifiera formella felaktigheter, som t.ex. felaktigheten att bekräfta konsekvensen. Vi avslutade det här kapitlet med att ställa tre filosofiska frågor om logiska formers natur, existens och unikhet.