Skjuvningseffekten i böjda konstruktioner uppmärksammades redan på 1800-talet och studerades i detalj för homogena och skiktade konstruktioner på 1900-talet. Antagandet av en korrekt teori för deformation av den raka linjen normal till den neutrala ytan utgör en grund för analytisk modellering av heterogena konstruktioner, särskilt sådana med mekaniska egenskaper som varierar i väggtjockleksriktningen.

Reddy utvecklade en teoretisk modell för böjning av funktionellt graderade rektangulära plattor med hänsyn till skjuvningseffekten. Detaljerad analys görs med hänsyn till första och tredje ordningens skjuvdeformationsteori. Zenkour presenterade en generaliserad skjuvdeformationsteori och dess tillämpning på analysen av funktionellt graderade rektangulära plattor som utsätts för jämnt fördelad belastning. Den tvärgående skjuvningseffekten studeras i detalj. Aydogdu föreslog en ny skjuvdeformationsteori för laminerade kompositplattor. Denna teori uppfyller exakt villkoren för nollställning av skjuvspänningar på plattans övre och undre yta. Reddy presenterade en omformulering av de klassiska och skjuvdeformationsteorierna för balkar och plattor med hänsyn till Eringens icke-lokala differentiella konstitutiva relationer och von Kármáns icke-linjära påfrestningar. Jämviktsekvationerna för de icke-lokala balkteorierna och de klassiska och första ordningens skjuvdeformationsteorier för plattor har formulerats. Carrera et al. beskrev i detalj klassiska och avancerade teorier, bland annat: grunderna i teorin om deformerbara kroppar, Euler-Bernoulli- och Timoshenko-teorier om balkar, icke-linjära teorier, t.ex. paraboliska, kubiska, kvartiska och n-orderns balkteorier, samt modellering av balkar tillverkade av funktionellt graderade material. Meiche et al. presenterade en ny hyperbolisk skjuvdeformationsteori på grundval av ett exempel på buckling och fri vibrationsanalys av tjocka funktionellt graderade sandwichplattor. Denna teori är mer perfekt i förhållande till Mindlins och Reissners enkla teorier om skjuvdeformation. Dessutom ger den en parabolisk variation av de tvärgående skjuvspänningarna över tjockleken och deras nollställning på de yttre ytorna. Thai och Vo utvecklade olika högre ordningsteorier för skjuvdeformation för provning av böjning och fria vibrationer hos funktionellt graderade balkar. Dessa teorier tar hänsyn till högre ordningens variation av tvärgående skjuvspänningar i balkens djupriktning och uppfyller de spänningsfria randvillkoren på balkens övre och undre ytor. Thai och Vo utvecklade en ny sinusoidal skjudeformationsteori för funktionellt graderade rektangulära plattor. Denna teori beskriver den sinusformiga fördelningen av tvärgående skjuvspänning och uppfyller villkoren för nollställning av skjuvspänning på plattans yttre ytor. Detaljerade tester avseende böjning, buckling och vibration av dessa plattor har utförts.

Akgöz och Civalek presenterade en ny analytisk balkmodell med högre ordning för skjuvdeformation med beaktande av elasticitetsteorin för töjningsgradienter. Denna modell beskriver de mikrostrukturella och skjuvdeformationseffekterna utan behov av skjuvkorrigeringsfaktorer. Problemen med statisk böjning och fria vibrationer hos enkelt stödda mikrobalkar undersöks. Grover et al. föreslog en ny invers hyperbolisk skjuvdeformationsteori för laminerade komposit- och sandwichplattor. Teorin är formulerad på grundval av formfunktionen för skjuvdeformation och valideras genom numeriska studier av böjnings- och bucklingsproblem för rektangulära plattor. Sahoo och Singh föreslog en ny omvänd trigonometrisk zig-zag-teori för laminerade komposit- och sandwichplattor. Denna teori säkerställer kontinuitetsförhållandena vid skiktgränserna och nollställer skjuvspänningen på plattans yttre ytor. Den effektiva finita elementmodellen har utvecklats för numeriska studier av statiska problem för dessa plattor. Xiang förbättrade teorin för skjuvdeformation av n ordning med beaktande av villkoret för nollställning av skjuvspänningen på de yttre ytorna av den funktionellt graderade balken. De fria vibrationsproblemen för denna balk analyseras. Kumar och Chakraverty föreslog fyra nya omvända trigonometriska skjuvdeformationsteorier som gör det möjligt att studera de fria vibrationerna hos isotropa tjocka rektangulära plattor. Teorierna säkerställer att gränsvillkoren för tvärspänning uppfylls på båda plattornas ytor. Konvergens- och valideringstest genomfördes med hjälp av fall från den tillgängliga litteraturen. Mahi et al. presenterade en ny hyperbolisk skjudeformationsteori som beskriver böjning och fria vibrationer hos isotropa, funktionellt graderade, sandwich- och laminerade kompositplattor. Metoden kräver ingen korrektionsfaktor för skjuvning. Baserat på Hamiltons princip erhölls systemets energifunktionalitet. Metodens noggrannhet visades genom jämförelser med den numeriska lösningen av problemet.

Darijani och Shahdadi föreslog en ny deformationsplatteori med hänsyn till skjuvdeformationer. De tvärgående skjuvspänningarna varierar över plattans tjocklek enligt ett power-law-förhållande. Plattans övre och nedre ytor är fria från skjuvspänningar. De styrande ekvationerna och randvillkoren för plattan härleds med hjälp av Hamiltons princip. Resultaten är jämförbara med dem som erhålls med hjälp av teorier av högre ordning. Lezgy-Nazargah undersökte de termomekaniska fenomenen i balkar av ett funktionellt graderat material. En förfinad teori av hög ordning användes för detta ändamål, medan förskjutningsfältet i planet beskrevs med hjälp av polynomiala och exponentiella uttryck. De numeriska resultaten jämfördes med andra författares lösningar. Sobhy använde en ny skjuvdeformationsplatteori med fyra variabler för att beskriva vibrationer och buckling hos funktionellt graderade sandwichplattor som stöds av elastiska fundament. Rörelseekvationerna härleddes utifrån Hamiltons princip. Teorins giltighet verifierades genom jämförelse av de erhållna resultaten med tidigare resultat. Sarangan och Singh utvecklade flera nya skjuvdeformationsteorier som kan användas för att analysera det statiska, bucklande och fria vibrationsbeteendet hos laminerade komposit- och sandwichplattor. Teorierna säkerställer att de tvärgående skjuvspänningarna nollställs vid plattans yttre ytor. Modellernas noggrannhet verifierades positivt genom jämförelse med resultaten av 3D-elasticitetslösningar och befintliga teorier. Chen et al. undersökte den fria och påtvingade vibrationen hos funktionellt graderade porösa balkar. Timoshenko-balkteorin med beaktande av effekten av tvärgående skjuvspänning gjorde det möjligt att härleda rörelseekvationen. Detta tillvägagångssätt möjliggjorde en effektiv beräkning av naturliga frekvenser och övergående dynamiska deformationer för porösa balkar som utsätts för olika belastningsförhållanden. Singh och Singh behandlade laminerade och tredimensionella flätade kompositplattor. Författarna utvecklade två nya teorier om skjuvdeformation för detta ändamål. De styrande differentialekvationerna formulerades utifrån principen om virtuellt arbete. De resultat som erhölls med hjälp av finita elementmetoden bekräftade att de båda föreslagna teorierna var mycket effektiva. Shi et al. formulerade en ny skjuvdeformationsteori som kan användas för analys av fria vibrationer och buckling av laminerade kompositplattor. Teorin garanterar att skjuvspänningarna försvinner vid plattornas ytor. Dessutom behövs inga korrektionsfaktorer för skjuvning. De lösningar som finns tillgängliga i litteraturen bekräftar den nya metodens höga noggrannhet och effektivitet. Thai et al. presenterade en enkel balkteori som används för analys av statisk böjning och fria vibrationer hos isotropa nanobalkar. Den styrande ekvationen härleddes utifrån elasticitetsteorins jämviktsekvationer. Analytiska lösningar erhölls för icke-lokala balkar med olika typer av randvillkor. Verifieringen har visat att teorin har god noggrannhet och effektivitet. Pei et al. utarbetade en modifierad högre ordningsteori för funktionellt graderade balkar med hjälp av principen om virtuellt arbete. I teorin görs en åtskillnad mellan tvärsnittets mittpunkt och neutrala punkt. Dessutom förklaras förhållandet till den traditionella teorin av högre ordning, vilket förenklar en jämförande studie av olika teorier för balkar av högre ordning. Kumar et al. analyserade plattor av funktionellt graderade material med hjälp av två egna nya högre ordningsteorier för tvärgående skjuvdeformation. Energiprincipen användes för att härleda den styrande differentialekvationen för plattan. De erhållna resultaten av nedböjning och spänningar jämfördes med andra publicerade data. Effekterna av olika belastningstyper, förhållandet mellan spännvidd och tjocklek samt graderingsindex undersöktes. Magnucki och Lewiński betraktade enkelt stödda balkar med symmetriskt varierande mekaniska egenskaper i djupriktningen, utsatta för olika typer av belastningar – från jämnt fördelade till koncentrerade. Deformationen av en balks plana tvärsnitt efter böjning bestämdes utifrån en egen icke-linjär ”polynomisk” hypotes. Jämviktsdifferentialekvationen formulerades utifrån definitionerna av böjningsmoment och tvärgående skjuvkraft och löstes sedan för flera exempel på balkar. Magnucki et al. föreslog en ny formulering av de funktioner som bestämmer variationen av mekaniska egenskaper hos en balk i djupriktningen. Metoden består av en generalisering som gör det möjligt att beskriva homogena, icke-linjärt variabla och sandwichkonstruktioner med hjälp av en universell analytisk modell. Rörelseekvationerna härleddes utifrån Hamiltons princip och löstes analytiskt. Resultaten verifierades genom FEM-beräkningar. Katili et al. föreslog ett högre ordningens balkelement med två noder som utvecklats för att lösa statiska problem och problem med fria vibrationer. Timoshenko-balkteorin modifierades för att på ett korrekt sätt ta hänsyn till den tvärgående skjuvningseffekten. Metodens effektivitet verifierades genom jämförelse med andra data som publicerats i litteraturen. Lezgy-Nazargah utvecklade en global-lokal skjudeformationsteori som exakt förutsäger det statiska och dynamiska beteendet hos tunn- och tjockskiktade böjda balkar. Variationen av skjuvspänningen i balkens tjockleksriktning approximeras av en parabolisk funktion. Nollställning av skjuvspänningen på balkens gränsytor säkerställs utan behov av en skjuvkorrigeringskoefficient. De resultat som erhållits från statiska beräkningar och beräkningar av fria vibrationer är positivt validerade av de resultat som beräknats med FEM.

Det huvudsakliga målet med denna uppsats består i att förbättra teorin om skjuvdeformation av böjning vid symmetriskt varierande mekaniska materialegenskaper i tvärsnittets djupriktning. Den individuella icke-linjära funktionen för deformation av det plana tvärsnittet föreslås. Den förbättrade skjuvdeformationsteorin tillämpas på exemplariska balkar, vars analytiska modell utvecklas. Den analytiska modellen för dessa balkar utvecklas. De analytiska resultaten jämförs med de resultat som erhålls genom en numerisk FEM-metod. Det presenterade problemet med böjande balkar med beaktande av skjudeffekten är en fortsättning på den forskning som lagts fram av Magnucki och Lewinski och Magnucki et al. .

.