Creștere sigmoidală

octombrie 17, 2021
| Niciun comentariu

Limitele creșterii exponențiale

Creșterea exponențială are loc ori de câte ori rata natalității depășește rata mortalității într-o populație. Chiar dacă rata natalității este doar puțin mai mare decât rata mortalității, populația va exploda în cele din urmă în curba familiară în formă de J. Creșterea exponențială este posibilă numai atunci când sunt disponibile resurse naturale infinite, dar acest lucru nu este cazul în lumea reală. În lumea reală, cu resursele sale limitate, creșterea exponențială nu poate continua la nesfârșit. Creșterea exponențială poate avea loc în medii în care există puțini indivizi și resurse abundente, dar atunci când numărul de indivizi devine suficient de mare, resursele se vor epuiza, încetinind rata de creștere. În cele din urmă, rata de creștere se va stabiliza sau se va plafona. Această mărime a populației, care reprezintă mărimea maximă a populației pe care un anumit mediu o poate suporta, se numește capacitate de suport și este marcată \(K\). Prima persoană care a publicat o modificare a creșterii exponențiale care descrie acest comportament în lumea reală a fost Pierre Verhulst, în 1838.

În creșterea exponențială tradițională, numărul de indivizi noi care se adaugă la populația anterioară este un procent din populația însăși. Cu alte cuvinte, panta este proporțională cu populația. De exemplu, o populație care crește cu 5% în fiecare an ar adăuga 5 noi indivizi atunci când populația este de 100, dar ar adăuga 150 de noi indivizi atunci când populația este de 3000. Modelul lui Verhulst era diferit în sensul că creșterea era proporțională cu populația și cu resursele disponibile. Numărul de resurse disponibile era tratat doar ca un procent, cu 100% disponibile la început și 0% disponibile atunci când populația atingea capacitatea de suport.

Formula pentru o populație, \(P\), care crește exponențial poate fi scrisă ca:
\(P = start \cdot \stânga(1 + r\dreapta)^t\)

în timp ce o populație care atinge un platou la capacitatea de suport poate fi scrisă ca:

:
\(P = start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

Singura modificare față de ecuația tradițională de creștere exponențială este includerea factorului \(\frac{K-P}{K}\), care reprezintă diferența dintre populație și capacitatea de suport ca procent. De exemplu, dacă capacitatea de suport este de 100, iar populația este de 95, atunci ar exista 5% din resurse disponibile pentru o creștere suplimentară, deoarece \((100-95)/100=5\%\). În acest caz, rata de creștere ar fi de numai 5% din valoarea sa inițială: \(P=start \cdot \stânga(1 + 5\% \cdot r\dreapta)^t\)

Când creșterea exponențială încetinește și se stabilizează, curba arată oarecum în formă de S. Litera greacă corespunzătoare este „sigma”, iar modelul de creștere se numește creștere sigmoidală. Este, de asemenea, numit uneori „creștere logistică”, deși acest lucru poate crea confuzie cu un model de creștere foarte diferit bazat pe logaritm. O comparație între creșterea exponențială și cea logistică este prezentată în graficul de mai jos pentru o rată de creștere de 5%, o populație inițială de 100 de indivizi și o capacitate de suport de 2000 de indivizi.
Graficul care compară creșterea exponențială și cea sigmoidală pentru o populație de 100 de indivizi care ca o rată de 5% și o capacitate de suport de 2000.

Observați că, inițial, modelul exponențial și cel sigmoidal sunt aproape identice. Atunci când populația este mult mai mică decât capacitatea de suport, resursele sunt practic nelimitate, iar populația crește exponențial. Abia atunci când populația crește spre capacitatea de suport, rata de creștere încetinește simțitor, iar curba sigmoidală se stabilizează.

Rețineți, de asemenea, că modelul de creștere sigmoidală nu devine din ce în ce mai abrupt ca modelul de creștere exponențială. Cea mai abruptă parte a curbei sigmoidale este exact la jumătate din populația maximă, sau K/2 Pentru populațiile care sunt mai mici decât K/2, creșterea se accelerează. Pentru populațiile care sunt mai mari decât K/2, creșterea încetinește.

Exemplu

Considerăm o populație care începe să crească exponențial cu o rată de 2,8% pe an și care urmează un model de creștere
sigmoidală.

a. Dacă capacitatea de suport este de 75 de milioane, găsiți rata actuală de creștere atunci când populația este de 10 milioane.

b. Găsiți rata actuală de creștere atunci când populația este de 50 de milioane.

Mostrați soluția

Știm că \(r=2,8\%\) și dacă măsurăm populația în milioane, atunci \(K=75\).

Rata noastră de creștere începe la \(100\% \cdot r\) și se termină la \(0\% \cdot r\).

Când populația este de 10 milioane, avem
\((\frac{K-P}{K}) \cdot r = (\frac{75-10}{75}) \cdot 2,8\% = 2.43\%\})

Când populația este de 50 de milioane, avem
\((\frac{K-P}{K}) \cdot r = (\frac{75-50}{75}) \cdot 2.8\% = 0,93\%\\})

Exemplu

Să presupunem că capacitatea de suport a Pământului este de 15 miliarde. În anii 1960, populația era de 3 miliarde, iar rata anuală
de creștere era de 2,1%.

a. Dacă creșterea populației este sigmoidală, care este rata de creștere de bază (rata de creștere atunci când populația era aproape de zero)?

b. Ce prezice modelul pentru rata de creștere atunci când populația este de 7,6 miliarde?

Show Solution

Știm că atunci când populația era de 3 miliarde, rata de creștere era de 2,1%. În acel moment, populația era la 3/15 sau 1/5 din capacitatea de suport. Resursele disponibile la acea populație ar fi de 4/5 sau 80% deoarece
\(\frac{K-P}{K}=\frac{15-3}{15}=80\%\})

Rata de creștere sigmoidală a fost de 2,1%, care trebuie să fie 80% din rata de creștere inițială.
\(rata_{actuală}=80\% \cdot rata_{bază}\)

deci
\(2.1\% = 80\% \cdot rata_{bază}\)

și
\(2.1\% \div 80\% = rata_{bază}\)

Rata de creștere de bază trebuie să fi fost de 2,625%.

Acum că știm rata de creștere de bază, o putem folosi pentru a prezice rata de creștere pentru alte populații. Când populația este de 7,6 miliarde, avem
\(rata_{actuală}=(\frac{K-P}{K}) \cdot rata_{de bază}=(\frac{15-7,6}{15}) \cdot 2.625\%\})

deci rata de creștere ar fi de 1,295% când populația era de 7,6 miliarde.

Cum era de așteptat, rata de creștere inițială este cea mai rapidă, de 2,625%. Pe măsură ce populația crește, rata de creștere încetinește – mai întâi la 2,1% la 3 miliarde și apoi la 1,295% la 7,6 miliarde.

Rezumat

Creșterea sigmoidală este o modificare a creșterii exponențiale în care variația procentuală devine mai mică pe măsură ce populația se apropie de capacitatea de suport. Rata de creștere actuală este produsul dintre rata de creștere inițială și procentul de resurse disponibile. Inițial, există 100% din resursele disponibile, astfel încât rata de creștere sigmoidală se potrivește cu rata exponențială. În cele din urmă, există 0% din resursele disponibile, iar rata de creștere sigmoidală se apropie de zero.

Sistemele reale rareori se potrivesc exact modelului de creștere sigmoidală, dar este totuși o aproximare foarte utilă. În plus față de populațiile de animale, creșterea sigmoidală poate modela răspândirea bolilor sau răspândirea tehnologiei sau răspândirea zvonurilor. Sistemele reale prezintă adesea un ciclu în formă de dinte de fierăstrău al suprapopulării urmat de o prăbușire a populației sau chiar de o extincție. Acest lucru apare atunci când rata de creștere este suficient de mare pentru a determina populația să depășească capacitatea de suport.

.

Articles