O efeito de cisalhamento ocorrendo em construções dobradas foi notado já no século XIX, e estudado em detalhes para construções homogêneas e em camadas no século XX. A suposição de uma teoria própria de deformação da linha reta normal à superfície neutra faz uma base para modelagem analítica de estruturas heterogêneas, especialmente aquelas com propriedades mecânicas variando na direção da espessura da parede.

Reddy desenvolveu um modelo teórico de flexão de placas retangulares funcionalmente graduadas considerando o efeito de cisalhamento. A análise detalhada é feita levando em consideração a teoria da deformação por cisalhamento de primeira e terceira ordem. Zenkour apresentou uma teoria generalizada de deformação por cisalhamento e sua aplicação na análise de placas retangulares funcionalmente classificadas submetidas a uma carga uniformemente distribuída. O efeito de cisalhamento transversal é estudado em detalhe. Aydogdu propôs uma nova teoria de deformação de cisalhamento para placas compostas laminadas. Esta teoria satisfaz exatamente as condições para a zeragem das tensões de cisalhamento na superfície superior e inferior da placa. Reddy apresentou uma reformulação das teorias clássica e de deformação por cisalhamento de vigas e placas, levando em conta as relações constitutivas diferenciais não-locais de Eringen e as deformações não-lineares de von Kármán. As equações de equilíbrio das teorias do feixe não-local e as teorias clássicas e de primeira ordem da deformação por cisalhamento das placas são formuladas. Carrera et al. descreveram em detalhe as teorias clássicas e avançadas, incluindo: o básico da teoria dos corpos deformáveis, as teorias de Euler-Bernoulli e Timoshenko dos feixes, as teorias não lineares, por exemplo, as teorias parabólicas, cúbicas, quartis e de feixes de n-ordem, bem como a modelagem de feixes feitos de materiais funcionalmente graduados. Meiche et al. apresentaram uma nova teoria de deformação de cisalhamento hiperbólico sobre o exemplo de encurvadura e análise de vibração livre de placas de sanduíche espessas funcionalmente graduadas. Esta teoria é mais perfeita em relação às teorias de deformação por cisalhamento simples de Mindlin e Reissner. Além disso, ela fornece variação parabólica das tensões de cisalhamento transversais ao longo da espessura, e também o seu zeramento em superfícies externas. Thai e Vo desenvolveram várias teorias de deformação de cisalhamento de ordem superior para testar a flexão e a vibração livre de feixes funcionalmente graduados. Essas teorias são responsáveis pela variação de ordem mais alta da deformação de cisalhamento transversal na direção da profundidade da viga, e satisfazem as condições de contorno livre de tensão nas superfícies superior e inferior da viga. Thai e Vo desenvolveram uma nova teoria de deformação de cisalhamento sinusoidal para placas retangulares funcionalmente graduadas. Esta teoria descreve a distribuição sinusoidal da tensão de cisalhamento transversal e satisfaz as condições para a zeragem da tensão de cisalhamento nas superfícies externas da placa. Testes detalhados sobre flexão, encurvamento e vibração dessas placas foram realizados.

Akgöz e Civalek apresentaram um novo modelo de feixe analítico de deformação de cisalhamento de ordem mais elevada com consideração da teoria de elasticidade por gradiente de deformação. Este modelo descreve os efeitos da deformação microestrutural e de cisalhamento sem a necessidade de fatores de correção de cisalhamento. Os problemas de flexão estática e vibração livre de micro feixes simplesmente suportados são investigados. Grover et al. propuseram uma nova teoria de deformação de cisalhamento hiperbólico inverso de placas de compósito laminado e placas sanduíche. Esta teoria é formulada com base na função de deformação de cisalhamento e validada por estudos numéricos sobre o problema de flexão e encurvamento de placas retangulares. Sahoo e Singh propuseram uma nova teoria trigonométrica inversa em zig-zag para placas laminadas de compósito e sanduíche. Esta teoria assegura as condições de continuidade nas interfaces das camadas e a tensão de cisalhamento de zig-zag nas superfícies externas da placa. O modelo eficaz de elementos finitos é desenvolvido para estudos numéricos de problemas estáticos destas placas. Xiang melhorou a teoria da deformação por cisalhamento de n ordem com consideração da condição de zeragem da tensão de cisalhamento nas superfícies externas do feixe funcionalmente graduado. Os problemas de vibração livre deste feixe são analisados. Kumar e Chakraverty propuseram quatro novas teorias de deformação de cisalhamento trigonométrico inverso, permitindo estudar a vibração livre das placas isotrópicas retangulares espessas. As teorias asseguram o cumprimento das condições de limite de tensão transversal em ambas as superfícies das placas. Um teste de convergência e validação foi realizado com os casos da literatura disponível. Mahi et al. apresentaram uma nova teoria de deformação por cisalhamento hiperbólico descrevendo flexão e vibração livre de placas isotrópicas, funcionalmente graduadas, sanduíche e compostas laminadas. A abordagem não requer um fator de correção de cisalhamento. Com base no princípio de Hamilton, foi obtida a energia funcional do sistema. A precisão do método foi demonstrada por comparações com a solução numérica do problema.

Darijani e Shahdadi propuseram uma nova teoria das placas de deformação com consideração das deformações de cisalhamento. As tensões de cisalhamento transversais variam ao longo da espessura da placa de acordo com uma relação de poder-lei. As superfícies superior e inferior da placa estão livres de tensões de cisalhamento. As equações e condições de contorno da chapa são derivadas com o uso do princípio de Hamilton. Os resultados são comparáveis aos obtidos utilizando teorias de ordem superior. Lezgy-Nazargah considerou os fenômenos termomecânicos nas vigas feitas de um material funcionalmente graduado. Uma refinada teoria de ordem elevada foi utilizada para este propósito, enquanto o campo de deslocamento no plano foi representado por expressões polinomiais e exponenciais. Os resultados numéricos assim obtidos foram comparados com as soluções de outros autores. Sobhy utilizou uma nova teoria das placas de deformação por cisalhamento de quatro variáveis para representar a vibração e o encurvamento das placas de sanduíche com classificação funcional suportadas por fundações elásticas. As equações de movimento foram derivadas com base no princípio de Hamilton. A validade da teoria foi verificada pela comparação dos resultados obtidos com os resultados anteriores. Sarangan e Singh desenvolveram várias novas teorias de deformação por cisalhamento aplicáveis à análise do comportamento estático, de encurvamento e de vibração livre das placas laminadas de compósito e sanduíche. As teorias garantem a zeragem das tensões de cisalhamento transversais nas superfícies externas das placas. A precisão dos modelos foi verificada positivamente por comparação com os resultados das soluções de elasticidade 3D e das teorias existentes. Chen et al. investigaram a vibração livre e forçada de feixes porosos classificados funcionalmente. A teoria dos feixes de Timoshenko com consideração do efeito da tensão de cisalhamento transversal permitiu derivar a equação do movimento. A abordagem permitiu o cálculo efetivo de freqüências naturais e deflexões dinâmicas transitórias para os feixes porosos submetidos a várias condições de carga. Singh e Singh trataram de placas compostas laminadas e tridimensionais trançadas. Os autores desenvolveram duas novas teorias de deformação por cisalhamento para este fim. As equações diferenciais governantes foram formuladas com base no princípio do trabalho virtual. Os resultados obtidos com o uso do método dos elementos finitos confirmaram a boa eficácia de ambas as teorias propostas. Shi et al. formularam uma nova teoria de deformação por cisalhamento aplicável à análise da vibração livre e da deformação por encurvadura de placas compostas laminadas. A teoria garante o desaparecimento das tensões de cisalhamento nas superfícies das placas. Além disso, os fatores de correção de cisalhamento não são necessários. As soluções disponíveis na literatura confirmaram a alta precisão e eficiência do novo método. Thai et al. apresentaram uma teoria de feixe simples utilizada para a análise de flexão estática e vibração livre de nanobeams isotrópicos. A equação governante foi derivada com base nas equações de equilíbrio da teoria da elasticidade. Foram obtidas soluções analíticas para feixes não-locais, impondo vários tipos de condições de contorno. A verificação mostrou boa precisão e eficácia da teoria. Pei et al. trabalharam uma teoria de ordem superior modificada de feixes funcionalmente graduados utilizando o princípio do trabalho virtual. A teoria estabelece uma distinção entre o centróide e o ponto neutro da secção transversal. Além disso, explica-se a relação com a teoria tradicional de ordem superior, o que simplifica um estudo comparativo de várias teorias de feixes de ordem superior. Kumar et al. analisaram placas de material com classificação funcional usando duas novas teorias de deformação de cisalhamento transversal de ordem superior. O princípio energético foi usado para derivar a equação diferencial governante da placa. Os resultados obtidos das deflexões e tensões foram comparados com outros dados publicados. Foram investigados os efeitos de vários tipos de carga, relação vão/espessura e índice de graduação. Magnucki e Lewiński consideraram vigas simplesmente apoiadas com propriedades mecânicas simetricamente variáveis na direção da profundidade, sujeitas a vários tipos de carga – de uniformemente distribuída a concentrada. A deformação de uma seção transversal plana da viga após a flexão foi determinada com base em uma hipótese não-linear “polinomial” própria. A equação diferencial de equilíbrio foi formulada com base nas definições de momento de flexão e força transversal de cisalhamento e depois resolvida para vários exemplos de vigas. Magnucki et al. propuseram uma nova formulação das funções que determinam a variação das propriedades mecânicas de uma viga no sentido da profundidade. A abordagem consiste em uma generalização que permite descrever estruturas homogêneas, não-lineares e variáveis sanduíche, com o uso de um modelo analítico universal. As equações de movimento foram derivadas com base no princípio de Hamilton e resolvidas analiticamente. Os resultados foram verificados por cálculo FEM. Katili et al. propuseram um elemento de feixe de dois nós de ordem superior desenvolvido para resolver os problemas de estática e vibração livre. A teoria do feixe de Timoshenko foi modificada com vista a uma consideração adequada do efeito de cisalhamento transversal. A efetividade da abordagem foi verificada por comparação com outros dados publicados na literatura. Lezgy-Nazargah desenvolveu uma teoria de deformação de cisalhamento global-local, prevendo com precisão o comportamento estático e dinâmico de vigas curvas em camadas finas e espessas. A variação da tensão de cisalhamento na direção da espessura do feixe é aproximada por uma função parabólica. O zeramento da tensão de cisalhamento nas superfícies limite da viga é assegurado sem a necessidade de um coeficiente de correção de cisalhamento. Os resultados obtidos a partir dos cálculos estáticos e de vibração livre são positivamente validados pelos calculados com FEM.

O objetivo principal do presente trabalho consiste em melhorar a teoria da deformação de flexão por cisalhamento em caso de variação simétrica das propriedades mecânicas do material no sentido da profundidade da seção transversal. A função individual não-linear da deformação da seção transversal plana é proposta. A teoria da deformação de cisalhamento melhorada é aplicada às vigas exemplares, cujo modelo analítico é desenvolvido. O modelo analítico destas vigas é desenvolvido. Os resultados analíticos são comparados com aqueles obtidos por uma abordagem numérica FEM. O problema apresentado das vigas de flexão com consideração do efeito de corte é uma continuação da pesquisa apresentada por Magnucki e Lewinski e Magnucki et al. .