A taxa spot de uma obrigação é o rendimento actual para um determinado prazo. As taxas à vista do mercado para certos prazos são iguais ao rendimento até à maturidade das obrigações de cupão zero com esses prazos. A taxa à vista aumenta à medida que o prazo aumenta, mas este padrão desvia-se frequentemente. Assim, as obrigações com prazos de vencimento mais longos têm geralmente rendimentos mais elevados. Um gráfico das taxas à vista para diferentes vencimentos forma a curva de rendimentos, e a forma desta curva determina frequentemente a eficácia de certas estratégias de títulos, especialmente as que visam reduzir o risco de taxa de juro, tais como as estratégias de imunização de títulos. Além disso, alguns titulares de obrigações de cupão querem despojar as obrigações numa série de obrigações de cupão zero, quer para mitigar o risco através de uma correspondência mais estreita entre a duração dos activos e os passivos, quer para obterem lucros através da venda dos zeros. O lucro também pode ser obtido reconstituindo as obrigações de cupão zero na obrigação original, se a soma dos zeros for mais barata do que a obrigação reconstituída. Vender os zeros ou reconstituir os zeros dependendo dos preços de mercado é uma forma de arbitragem, um meio de obter um lucro sem risco. No entanto, se seria rentável emitir zeros, cupons de faixa ou cupons reconstituídos depende da curva de taxa à vista, ou da curva de juros, o que permite ao investidor estimar o preço de mercado para um título com um determinado prazo. No entanto, muitas vezes, não são vendidas no mercado obrigações com cupão zero suficientes para indicar claramente quais seriam os preços reais das obrigações a um determinado prazo. Como podem ser determinadas taxas à vista para vencimentos onde falta informação de mercado?

Closamente relacionada com a taxa à vista é a taxa a prazo, que é a taxa de juro para um determinado prazo que começa no futuro e termina mais tarde. Assim, se uma empresa quiser pedir dinheiro emprestado daqui a 1 ano por um prazo de 2 anos a uma taxa de juros conhecida hoje, então um banco pode garantir essa taxa através do uso de um contrato de taxa a termo usando a taxa a termo como juros sobre o empréstimo. Os contratos de taxa a prazo, um tipo comum de derivado, são baseados em taxas a prazo. As taxas a termo também são necessárias para avaliar obrigações com opções incorporadas. Mas como as taxas forward são preços futuros à vista para taxas de juros, o que é desconhecido, como são determinadas as taxas forward?

Curvas de taxas à vista e taxas forward implícitas nos preços de mercado podem ser determinadas a partir dos preços de mercado das obrigações de cupão através de um processo chamado bootstrapping.

Taxas forward

O preço de uma obrigação = o valor presente de todos os seus fluxos de caixa. A técnica usual é usar um rendimento constante até o vencimento (YTM) no cálculo do valor presente dos fluxos de caixa. No entanto, a equação do preço da obrigação pode ser usada para calcular as taxas a termo, como implícito pelos preços atuais de mercado de diferentes obrigações de cupom.

Preço da obrigação calculado usando um rendimento constante até o vencimento

Preço da obrigação	=	C1(1+YTM)1	+	C2(1+YTM)2	>+ … +	Cn(1+YTM)n	+	P(1+YTM)n
C = pagamento de cupão por período P = valor nominal da obrigação n = número de anos até ao vencimento YTM = rendimento até ao vencimento

Um cupão obrigacionista pode ser considerado como um grupo de zeroobrigações de cupão com um zero correspondente a cada pagamento de cupão e ao reembolso final do capital. Desta forma, cada fluxo de caixa deve ser descontado à taxa de juros apropriada para o período em que o fluxo de caixa será recebido. O valor das obrigações de cupão zero deve ser igual ao da obrigação de cupão; caso contrário, uma arbitragem poderia retirar a obrigação e vender os zeros para obter um lucro, como por vezes fazem.

As taxas forward assim calculadas não são previsões de taxas de juro futuras, uma vez que as taxas de juro futuras são desconhecidas. Pelo contrário, as taxas forward são simplesmente calculadas a partir dos preços actuais das obrigações; por isso, são por vezes chamadas taxas forward implícitas, porque estão implícitas nos preços de mercado das obrigações da mesma forma que a volatilidade implícita é determinada pelos preços de mercado das opções.

Bootstrapping

Treasuries são o tipo ideal de obrigações a utilizar para construir uma curva de rendimento porque não têm risco de crédito, pelo que os preços do Tesouro dependem mais das taxas de juro de mercado. Os Tesouros definem uma curva de juros sem risco, mas os preços de mercado também implicam taxas a termo, que são taxas de rendimento para determinados períodos no futuro.

Porque as notas e obrigações do Tesouro são geralmente emitidas como obrigações de cupão, os seus preços não podem ser simplesmente usados para construir a curva de taxas à vista ou para calcular taxas a termo. Em vez disso, uma curva teórica de taxa à vista e taxas forward implícitas são construídas através do processo de bootstrapping que calcula as taxas forward, considerando o valor das obrigações de cupão zero equivalentes às obrigações do Tesouro. As taxas a termo calculadas podem então construir a curva de taxa à vista somando os rendimentos para cada prazo até o prazo desejado.

A técnica de bootstrapping baseia-se na equação preço-rendimento usando taxas diferentes para cada um dos prazos de 6 meses, conforme determinado pelos preços de mercado:

Equação de rendimento de títulos usando taxas diferentes para cada fluxo de caixa

Preço do título	=	C1(1+r1)1	+	C2(1+r2)2	>+ … +	Cn(1+rn)n	+	P(1+rn)n
r = taxa de juros por período If r = rendimento anual, mas o prazo é para ½ ano, depois dividir por 2

A taxa de juro é calculada em 1º lugar para a obrigação a 6 meses que tem um preço de mercado conhecido, que tem apenas um único pagamento, que consiste no pagamento do cupão e no reembolso do capital, no seu vencimento. Após o cálculo da taxa para o 1º período com o título a 6 meses, essa taxa é utilizada para calcular a taxa para o 2º período de um título a 1 ano, e assim por diante, até que todas as taxas para o número desejado de prazos para os quais existem preços de mercado disponíveis tenham sido determinadas. Isto chama-se técnica de bootstrapping, porque as taxas à vista calculadas anteriormente são usadas para calcular taxas à vista posteriores em etapas sucessivas.

Conclusão

A técnica de bootstrapping é simples, mas encontrar a curva de juros real e alisá-la requer uma matemática mais complicada, pois os preços das obrigações não são afetados apenas pelas taxas de juros, mas também por outros fatores, como o risco de crédito, impostos, liquidez e a simples variação na oferta e na procura para cada vencimento. São utilizadas técnicas matemáticas mais sofisticadas para determinar taxas mais realistas, mas estas estão para além do âmbito deste artigo. No entanto, o bootstrapping ilustra como as taxas a prazo podem ser calculadas a partir dos preços das obrigações correntes, que podem então ser fragmentadas para preencher as lacunas da curva de taxa à vista.