Este capítulo discute algumas questões filosóficas relativas à natureza da lógica formal. Será dada particular atenção ao conceito de forma lógica, ao objetivo da lógica formal na captura da forma lógica e à explicação da validade em termos de forma lógica. Veremos como esta compreensão da noção de validade nos permite identificar o que chamamos de falácias formais, que são erros em uma discussão devido à sua forma lógica. Também vamos discutir alguns problemas filosóficos sobre a natureza das formas lógicas. Por uma questão de simplicidade, o nosso foco será a lógica proposicional. Mas muitos dos resultados a serem discutidos não dependem desta escolha, e são aplicáveis a sistemas lógicos mais avançados.

Lógica, validade e formas lógicas

As diferentes ciências têm diferentes assuntos: a física tenta descobrir as propriedades da matéria, a história visa descobrir o que aconteceu no passado, a biologia estuda o desenvolvimento e evolução dos organismos vivos, a matemática é, ou pelo menos parece ser, sobre números, conjuntos, espaços geométricos, e afins. Mas o que é que a lógica investiga? O que, de facto, é a lógica?

Esta é uma questão essencialmente filosófica, mas a sua resposta requer uma reflexão sobre o estatuto e o comportamento das regras e inferências lógicas. Os livros didáticos tipicamente apresentam a lógica como a ciência da relação de consequência que se mantém entre as premissas e a conclusão de um argumento válido, onde um argumento é válido se não for possível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Se a lógica é a ciência da relação de consequência que se mantém entre as premissas e a conclusão de um argumento válido, podemos dizer que os lógicos se preocuparão se a conclusão de um argumento é ou não uma consequência das suas premissas.

Vamos examinar a noção de validade com mais cuidado. Por exemplo, considere o seguinte argumento:

1. Se Alex é uma dourada do mar, então Alex não é uma rosa.
2. Alex é uma rosa.
3. / \por isso Alex não é uma dourada do mar.

Pode ser mostrado que não é possível que (1) e (2) sejam verdadeiros ainda (3) falsos. Portanto, todo o argumento é válido. Por conveniência, vamos representar cada frase do argumento na lógica proposicional padrão, que visa analisar a estrutura e o significado de várias proposições. Para isso, devemos primeiro introduzir a linguagem da nossa lógica.

O alfabeto da lógica proposicional contém letras que representam as frases: A, B, C, e assim por diante. Por exemplo, podemos traduzir “Alex é uma rosa” usando apenas B. Da mesma forma, podemos usar S para traduzir “I would love to smell it” (Eu adoraria cheirá-la). O alfabeto da lógica proposicional contém outros símbolos conhecidos como conectivos lógicos. Um deles é um símbolo para “não” ou negação (\neg ). Quando dizemos que Alex não é uma rosa, nós, na verdade, dizemos que não é o caso de Alex ser uma rosa. Se traduzimos “Alex é uma rosa” por B, traduzimos “Alex não é uma rosa” por “\neg B”. Outro é um símbolo (seta de direita) para frases condicionais da forma “se … então ….”. Por exemplo, podemos traduzir “Se Alex é uma rosa, então eu adoraria cheirá-la” como “B \rightarrow A”. Quando dizemos que se Alex é uma rosa, então eu adoraria cheirá-la, dizemos algo condicional: com a condição de que Alex seja uma rosa, eu adoraria cheirá-la. Em geral, uma sentença condicional tem dois componentes. Chamamos ao primeiro componente o antecedente, ao segundo componente o conseqüente, e a toda a proposta um condicional. A linguagem da nossa lógica também inclui o “e” (ou “wedge”), também conhecido como conjunção, e o “ou” (ou “vee”), também conhecido como disjunção. Mas, neste capítulo, trataremos apenas da negação e do condicional.

Assim, se usarmos A para “Alex é uma dourada”, podemos representar (1) com A \neg B, e representar o nosso argumento acima (1)-(3) como se segue:

1. A \aneg B
2. B
3. / antes \aneg A

Mas, lembrem-se, o nosso objectivo era examinar porque é que este argumento, se é que é válido. A mera representação de “não” por “\neg” e “se … então” por “\rightarrow” não será suficiente para verificar a validade ou invalidade de um determinado argumento: precisamos também saber o que significam esses símbolos e as proposições que eles expressam. Mas como podemos especificar o significado de “\neg” e “\rightarrow”?

É plausível dizer que se A é verdadeiro, então a sua negação é falsa, e vice-versa. Por exemplo, se “Alex é uma rosa” é verdadeiro, então “Alex não é uma rosa” é falso. Isto nos dá o significado de “\neg”. Podemos representar esta informação sobre o significado da negação em termos de uma tabela de verdade da seguinte forma (com T simbolizando verdadeiro, e F falso):

Aqui, podemos ler cada fila da tabela da verdade como uma maneira que o mundo poderia ser. Isto é, em situações ou mundos possíveis onde A é verdadeiro (por exemplo, onde Alex é realmente uma dourada do mar), {A} é falso (é falso que Alex é uma dourada do mar); e vice versa. Assim interpretado, uma tabela de verdades nos dá as situações em que uma proposta como A é verdadeira, e aquelas em que ela é falsa. \”O “righttarrow” é verdadeiro ou falso. Aqui está a tabela de verdades padrão para o “rightarrow”:

Como pode ser visto, há apenas uma fila na qual o textit{A} \O “righttarrow” é falso, ou seja, a segunda fila em que o conseqüente é falso, mas o antecedente é verdadeiro. Como a primeira fila nos diz, se ambos A e B são verdadeiros, então também o é o texto A. \righttarrow (B). Além disso, a terceira e quarta linhas nos dizem que se o antecedente é falso, então todo o condicional é verdadeiro, independentemente de o conseqüente ser verdadeiro ou falso. Portanto, todos os condicionantes com antecedentes falsos são verdadeiros.

Mas como é possível que um condicional seja verdadeiro se o seu antecedente é falso? Aqui está uma sugestão para responder a esta pergunta: se sua suposição é falsa, então você pode legitimamente concluir o que quiser. Por exemplo, se você assumir que Amsterdã é a capital da Inglaterra, você pode legitimamente concluir qualquer coisa; não importa se ela é verdadeira ou falsa. Assim, a partir da suposição de que Amesterdão é a capital da Inglaterra, pode concluir que Paris é a capital da França. Você também pode concluir que Paris é a capital do Brasil.

Vemos que uma informação importante que as tabelas de verdades transmitem diz respeito a como a verdade ou falsidade de frases complexas como \textit{A} \O texto e o texto não oficial dependem da verdade ou falsidade das cartas proposicionais que contêm: a verdade ou falsidade do texto. \A verdade ou falsidade de A e de B. Da mesma forma, a verdade ou falsidade de A.

Agora estamos em posição de verificar se o nosso argumento (1)-(3) é válido ou não. E, como veremos dentro de momentos, a validade ou invalidade de um argumento depende do significado dos conectivos lógicos (como “\rightarrow” e “\neg”) que é especificado pelas tabelas de verdades correspondentes. Em outras palavras, se as tabelas de verdades destes conectivos fossem diferentes do que eles realmente são, teríamos uma coleção diferente de argumentos válidos.

Definimos um argumento como válido se não for possível que suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Desenhando uma tabela de verdades, podemos ver sob que condições as premissas (\textit{A}, \textit{B}, \textit{B}) e a conclusão (\neg \neg \neg \neg) do nosso argumento (1)-(3) são verdadeiras ou falsas:

Desde a verdade acima…Mesa, não há nenhuma fila em que as premissas (\textit{A}rightarrow \textit{B}, \textit{B}) sejam verdadeiras e a conclusão (\neg A) falsa, o argumento é válido. A única linha em que as premissas são ambas verdadeiras é a terceira linha, e nessa linha a conclusão também é verdadeira. Em outras palavras, não há mundo ou situação em que (1) e (2) são verdadeiros, mas (3) não é. Isto só significa que o argumento é válido.

Agora, considere o seguinte argumento:

1. Se Alex é um tigre, então Alex é um animal.
2. Alex não é um tigre.
3. /Por isso Alex não é um animal.

Existem situações em que o argumento funciona perfeitamente bem. Por exemplo, suponha que Alex não é um tigre mas sim, de fato, uma mesa. Neste caso, Alex também não seria um animal. E assim, as frases (4), (5), e (6) seriam verdadeiras. Mas nem sempre é assim, pois podemos imaginar uma situação em que as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa, como quando Alex não é um tigre, mas é, de fato, um cão. Assim, ao imaginarmos a situação descrita, teríamos produzido um contra-exemplo: nesta situação, (6) seria falsa, e portanto não seria uma consequência de (4) e (5). O argumento é inválido.

Que o argumento é inválido também pode ser verificado pelo método das tabelas de verdades. Pois podemos encontrar uma situação em que (4) e (5) são ambos verdadeiros e ainda assim (6) falsos. Isto é, na tabela de verdades, se representarmos (4) como \textit{C}. \(5) como “direito de seta”, (5) como “não-neg” e (6) como “não-neg”, haverá pelo menos uma fila na qual as premissas são verdadeiras e a conclusão falsa (que fila é essa?):

Dissemos que os lógicos estão preocupados com a validade ou invalidade dos argumentos, e nós propusemos o método de tabelas da verdade para realizar esta tarefa. Mas que argumentos são válidos, e quais não são? É aqui que emerge a noção de forma lógica. Suponha que um lógico embarca na tarefa ridícula de registrar cada um dos argumentos válidos. Neste caso, ela certamente registraria que (1)-(3) é válido. Agora, suponha que ela enfrenta o seguinte argumento:

1. Se Alice está lendo Hegel, ela não está frustrada.
2. Alice está frustrada.
3. / \por isso Alice não está lendo Hegel.

Para ver se este argumento é válido ou não, ela pode reescrever cada frase do argumento em sua linguagem lógica: Alice está lendo Hegel (\textit{P}); Alice está frustrada (\textit{Q}); e, se Alice está lendo Hegel, então Alice não está frustrada) (\textit{P} \\P). Ela pode então desenhar uma tabela de verdades adequada, e verificar se existe alguma linha ou situação em que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Como não existe tal linha (por quê?), ela anunciará corretamente que o argumento é válido.

Mas é óbvio que para verificar a validade de (7)-(9), nosso lógico não precisava ir a este esforço. Seria suficiente se ela apenas notasse que os dois argumentos (1)-(3) e (7)-(9), e suas respectivas tabelas de verdades, são em grande parte semelhantes; eles têm a mesma forma. Na verdade, sua única diferença é que no primeiro, as letras A e B foram usadas, e no segundo foram substituídas por P e Q, respectivamente. Os conectivos lógicos \rightarrow e \neg não mudaram.

Para ver o ponto, vamos traduzir cada argumento para a linguagem da lógica proposicional que introduzimos acima:

1. \textit{A} \Copyrighttarrow {Q}
2. >textit{Q}
3. /então {P}

Os dois argumentos têm algo em comum. Digamos que o que eles têm em comum é a sua forma lógica. Como você pode ver, os conectivos lógicos dos argumentos não mudaram. Como os dois argumentos têm a mesma forma, se um é válido, então o outro também deve ser válido. Mais genericamente, todos os argumentos desta mesma forma são válidos. A notícia libertadora é que nosso lógico não precisa embarcar na tarefa exasperante de verificar a validade de cada argumento separadamente. Pois se ela já sabe que um dado argumento é válido, e se ela também pode mostrar que outro argumento tem a mesma forma que o primeiro, então ela pode ter certeza que o segundo argumento é válido sem ter que desenhar sua tabela de verdades.

Dissemos que um argumento é válido se não for possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Agora, podemos dizer que todo argumento que compartilha sua forma com um argumento válido também é válido, e consequentemente, todo argumento que compartilha sua forma com um argumento inválido também é inválido. É neste sentido que a idéia de forma lógica pode ser usada para estabelecer a (in)validade dos argumentos. Por exemplo, suponha que queremos verificar a validade do seguinte argumento:

1. Se Alice está lendo Russell, então Alice está pensando em lógica.
2. Alice não está lendo Russell.
3. / \ portanto Alice não está pensando em lógica.

A partir do momento em que vemos que (10)-(12) tem a mesma forma que (4)-(6), que já sabemos ser inválida, podemos ter a certeza que a primeira também é inválida sem ter de construir a sua tabela de verdades.

Assim, podemos ver que a compreensão da noção de validade em termos de forma lógica nos permite identificar várias falácias formais. Por exemplo, o argumento (10)-(12) é um exemplo da falácia de negar o antecedente. Assim, todo argumento que compartilha sua forma com (10)-(12) também é inválido.

Há mais três perguntas que podemos fazer sobre formas lógicas: (i) Como podemos “extrair” a forma lógica dos argumentos que eles compartilham? Ou seja, como podemos mostrar que vários argumentos são instâncias de uma forma lógica comum? (ii) Qual é a natureza de um formulário lógico? Uma forma lógica é uma coisa, e se sim, que tipo de coisa é? (iii) Será que cada argumento tem apenas uma forma lógica? Nas três seções seguintes, falaremos sobre estas três questões, respectivamente.

Extraindo Formulários Lógicos

Deixe-nos, novamente, considerar os argumentos (1)-(3) e (7)-(9) que parecem compartilhar uma e a mesma forma lógica. Como podemos mostrar que eles têm uma forma lógica comum? Primeiro, devemos representá-los em símbolos lógicos:

1. \textit{A} \Copyrighttarrow {Q}
2. >textit{Q}
3. / Antes de mais {P}

Para ver o que estes dois argumentos têm em comum, devemos abstrair (ou ignorar ou deixar de lado) o conteúdo específico das suas premissas e conclusões particulares, e assim revelar uma forma geral que é comum a estes argumentos. Por exemplo, devemos ignorar se Alex é ou não uma rosa; tudo o que importa é substituir “Alex é uma rosa” por B. Neste sentido, para obter ou extrair a forma lógica de um argumento, devemos abstrair do conteúdo das premissas e da conclusão, considerando-as como meros detentores de lugar na forma que o argumento exibe. Como você deve ter notado, nós não extraímos o conteúdo dos conectivos lógicos. É uma questão importante sobre o porquê de não abstrairmos dos conectivos lógicos. O pensamento básico é que o seu significado constitui uma parte importante da forma lógica de um argumento, e assim, na determinação da sua (in)validade.

Para falar de formas lógicas, devemos usar as letras minúsculas gregas como \alpha, \beta, \gamma, e \delta. Por exemplo, podemos representar a forma lógica que (1)-(3) e (7)-(9) compartilham da seguinte forma:

1. \i>alpha \i>rightarrow \i
2. \i>beta
3. /então \i

Uma analogia pode ajudar aqui: Em matemática, pensamos em propostas aritméticas particulares como “1 + 2 = 2 + 1” e “0 + 2 = 2 + 0”. Mas quando queremos generalizar, usamos fórmulas que contêm variáveis, e não números específicos. Por exemplo, “x + y = y + x” expressa algo geral sobre o comportamento dos números naturais. Qualquer que seja o significado dos números naturais x e y, “x + y = y + x” permanece verdadeiro. O mesmo vale para as variáveis alfa, beta, gamma e delta, que nos permitem falar de uma forma geral sobre as premissas e a conclusão dos argumentos. Seja qual for o significado dado a alfa e a beta, ou seja, quaisquer que sejam as proposições que elas expressam, (i)-(iii) permanecem válidas, assim como todas as suas instâncias, tais como (1)-(3) e (7)-(9).

Como mencionado acima, extrair uma certa forma lógica permite-nos falar, de uma forma geral, sobre as premissas e conclusões dos argumentos. Não importa de que objetos e propriedades específicas – de que assunto específico – eles falam. E isso nos leva, novamente, à nossa preocupação inicial com o verdadeiro assunto da lógica:

A forma pode, portanto, ser estudada independentemente do assunto-matéria, e é principalmente em virtude da sua forma, como acontece, e não do seu assunto-matéria, que os argumentos são válidos ou inválidos. Daí que sejam as formas de argumento, mais do que os argumentos propriamente ditos, que a lógica investiga. (Lemmon 1971, 4)

De acordo com esta concepção de lógica, os lógicos estão em posição de avaliar a validade de um argumento, mesmo que não compreendam estritamente o conteúdo das alegações dentro do argumento, nem sob que condições seriam verdadeiras. Se as alegações dentro dos argumentos são ou não verdadeiras, portanto, não é uma questão de lógica. Em vez disso, o que a lógica faz é explorar as formas lógicas dos argumentos, e assim estabelecer sua (in)validade.

A Natureza das Formas Lógicas

Na presente e na próxima seção, vamos olhar para questões mais filosóficas. Nesta seção, discutiremos nossa segunda questão: qual é a natureza de uma forma lógica? A pergunta sobre a natureza da forma lógica lembra a antiga pergunta sobre a natureza dos universais. Todas as rosas vermelhas têm algo em comum; todas elas compartilham ou instanciam algo. Mas o que é essa coisa, se é mesmo uma coisa? A propriedade de ser vermelho é semelhante a um universal platônico que existe independentemente das rosas vermelhas que o instanciam? Ou é como um universal aristotélico cuja existência depende da existência das rosas particulares? Talvez não tenha existência alguma; nada mais é do que um nome ou um rótulo que usamos para falar das rosas vermelhas. Podemos fazer exatamente as perguntas paralelas sobre as formas lógicas: O que é que todos os argumentos válidos de uma mesma forma partilham ou instanciam? É uma entidade no mundo, ou um símbolo na linguagem, ou uma construção mental formada e criada por nós?

Sumindo que as formas lógicas existem, quais são elas? Há, de uma maneira geral, duas linhas de pensamento aqui. De acordo com a primeira, as formas lógicas são esquemas, e portanto, são entidades linguísticas. De acordo com a segunda, as formas lógicas são propriedades: são entidades extra-linguísticas, semelhantes aos universais. Elas são o que os esquemas expressam ou representam. (Uma analogia pode ajudar aqui: A expressão “é feliz” é um predicado; é um item linguístico. Mas ela expressa uma entidade extra-linguística, como a propriedade de ser feliz.)

Identificar formas lógicas com esquemas parece ser bastante intuitivo. Mas isso leva a uma falácia. Como aponta Timothy Smiley, a falácia está em “tratar o meio como a mensagem” (Smiley 1982, 3). Considere a forma lógica de (1)-(3):

1. \alpha \neg \neg \beta
2. \beta
3. /então \neg \neg \alpha

Você pode gostar, com igual direito, de identificar a forma lógica de (1)-(3) com:

1. gamma {\an1}gamma {\an1}rightarrow {\an1}neg
2. \an1}eta
3. / antes {\an1}gamma

E ainda outro lógico pode preferir capturar a sua forma lógica com um conjunto distinto de variáveis:

1. \i
2. chi \i
3. \i
4. / antes do \i

Quais destas são a forma lógica de (1)-(3)? Há muitas formas diferentes de capturar a sua forma lógica. Qual delas tem o direito de ser qualificada como a forma lógica de (1)-(3)? Esta questão é premente se as formas lógicas são tomadas como esquemas, e portanto, como entidades linguísticas. Se uma forma lógica é apenas uma seqüência de símbolos, então ela varia através do uso de um conjunto distinto de variáveis. Não haverá uma forma não arbitrária de escolher uma em oposição a qualquer outra como a forma lógica de um dado argumento. Em outras palavras, não haverá nada para escolher entre estas entidades linguisticamente distintas e, portanto, nenhuma delas poderá ser identificada com a forma lógica do argumento original.

Isto pode nos encorajar a identificar formas lógicas como entidades independentes do idioma ou variáveis do idioma. Nesta visão, as formas lógicas são identificadas não com esquemas, mas com o que os esquemas expressam ou representam. Elas são entidades mundanas, e não linguísticas. Esta visão não sucumbe ao problema acima. Uma vez que, nesta visão, as formas lógicas são entidades mundanas, nenhum dos candidatos acima – ou seja, (i)-(iii), (iv)-(vi), e (vii)-(ix)-é a forma lógica de (1)-(3). Pelo contrário, cada um deles expressa ou representa a sua forma lógica.

Uma Forma Lógica ou Muitas?

Parece então que estaremos numa posição melhor se assumirmos que as formas lógicas são entidades mundanas. Mas isto também não nos deixa completamente em casa e secos. Até agora, assumimos que as formas lógicas são entidades únicas. Ou seja, assumimos que argumentos como (1)-(3) e (7)-(9) têm uma e a mesma forma lógica. Mas é que o caso?

Em geral, os objetos podem assumir muitas formas. Por exemplo, um soneto em particular pode ser tanto Petrarchan quanto Miltonic, e um vaso pode ser tanto um cubóide quanto um cubo. Além disso, parece que uma única frase pode tomar muitas (pelo menos, mais do que uma) formas. Considere {\i1}neg(P}rightarrow {\i}rightarrow {\i}neg(Q)). Qual é a sua forma lógica? Parece que cada uma das seguintes opções funciona perfeitamente como uma resposta à nossa pergunta: é uma negação; é uma negação de um condicional; e é uma negação de um condicional cuja consequência é uma negação.

Agora, suponha que cada uma destas formas lógicas é uma forma lógica de um dado argumento. Em virtude do que cada uma delas é uma forma lógica de um e o mesmo argumento? Ou seja, o que explica o fato de que diferentes formas lógicas são formas de um mesmo argumento? O que as unifica neste aspecto? Uma resposta é dizer que todas essas formas têm uma forma lógica comum. Mas então você pode fazer a mesma pergunta sobre essa forma lógica comum, já que essa mesma forma tem outras formas diferentes. Em virtude do que são estas formas lógicas de uma e da mesma forma? E este processo pode ir infinitamente. Você tem uma forma lógica que por si só tem outras formas lógicas, e assim por diante. Mas isto não é compatível com a tese de que as formas lógicas são entidades únicas.

Sumário

Este capítulo começou com uma pergunta sobre o assunto da lógica formal: o que é que a lógica formal estuda? Discutimos a tese de que a lógica formal estuda a conseqüência lógica através da forma de argumentos. Explicamos então a noção de validade em termos de tabelas de verdades, que especificam as condições sob as quais uma proposição é verdadeira ou falsa – por exemplo, uma proposição condicional só é falsa quando seu antecedente é verdadeiro e sua conseqüência falsa; caso contrário, ela é verdadeira. Assim, como discutimos acima, tabelas de verdades podem ser usadas para determinar se argumentos formulados na linguagem da lógica proposicional são válidos.

Depois, nós cavamos mais fundo no que significa para os argumentos ter uma forma lógica, e como a sua forma lógica impacta a sua (in)validade. A idéia principal é que todo argumento que compartilha sua forma lógica com um argumento válido também é válido, e consequentemente, todo argumento que compartilha sua forma lógica com um argumento inválido também é inválido. Vimos como este entendimento da noção de validade nos permite identificar falácias formais, tais como a falácia de afirmar o conseqüente. Terminamos este capítulo fazendo três perguntas filosóficas sobre a natureza, existência e singularidade das formas lógicas.