Limites ao Crescimento Exponencial

Crescimento exponencial ocorre sempre que a taxa de natalidade excede a taxa de mortalidade em uma população. Mesmo que a taxa de natalidade seja apenas ligeiramente maior do que a taxa de mortalidade, a população eventualmente explodirá na curva familiar em forma de J. O crescimento exponencial só é possível quando há infinitos recursos naturais disponíveis, mas não é o caso no mundo real. No mundo real, com seus recursos limitados, o crescimento exponencial não pode continuar indefinidamente. O crescimento exponencial pode ocorrer em ambientes onde há poucos indivíduos e recursos abundantes, mas quando o número de indivíduos se torna suficientemente grande, os recursos se esgotam, diminuindo a taxa de crescimento. Eventualmente, a taxa de crescimento atingirá um patamar ou nivelamento. Este tamanho populacional, que representa o tamanho máximo da população que um determinado ambiente pode suportar, é chamado de capacidade de carga, e é rotulado como K. A primeira pessoa a publicar uma modificação no crescimento exponencial que descreve este comportamento do mundo real foi Pierre Verhulst, em 1838.

No crescimento exponencial tradicional, o número de novos indivíduos que são adicionados à população anterior é uma percentagem da própria população. Em outras palavras, a declividade é proporcional à população. Por exemplo, uma população crescendo a 5% a cada ano adicionaria 5 novos indivíduos quando a população fosse 100, mas adicionaria 150 novos indivíduos quando a população fosse 3000. O modelo de Verhulst era diferente no sentido em que o crescimento era proporcional à população e aos recursos disponíveis. O número de recursos disponíveis era tratado apenas como uma percentagem, com 100% disponíveis no início e 0% disponíveis quando a população atingisse a capacidade de carga.

A fórmula para a população, \(P\), que está crescendo exponencialmente pode ser escrita como:
\(P = start \cdot \cdot ^t(1 + r\direita)^t\)

enquanto que uma população que atinge um planalto na capacidade de carga pode ser escrita como:
(P = start \cdot {K-P}{K}} ^t)

A única mudança para a equação tradicional de crescimento exponencial é a inclusão do fator ^(frac{K-P}{K-P), que representa a diferença entre a população e a capacidade de carga como uma porcentagem. Por exemplo, se a capacidade de carga fosse 100, e a população fosse 95, então haveria 5% dos recursos disponíveis para crescimento adicional porque \\((100-95)/100=5\%). Nesse caso, a taxa de crescimento seria de apenas 5% do seu valor original: \(P=start \cdot \cdot \cdot \cdot r=direita)^t)

Quando o crescimento exponencial abranda e plaquetas, a curva parece um pouco em forma de S. A correspondente letra grega “sigma”, e o modelo de crescimento é chamado de crescimento sigmoidal. Também é às vezes chamado de “crescimento logístico”, embora isso possa criar confusão com um modelo de crescimento muito diferente, baseado no logaritmo. Uma comparação de crescimento exponencial e logístico é mostrada no gráfico abaixo para uma taxa de crescimento de 5%, uma população inicial de 100 indivíduos e uma capacidade de carga de 2000 indivíduos.

Nota que inicialmente, o modelo exponencial e o modelo sigmoidal são quase idênticos. Quando a população é muito menor do que a capacidade de carga, os recursos são essencialmente ilimitados, e a população cresce exponencialmente. É somente quando a população aumenta em direção à capacidade de carga que a taxa de crescimento diminui visivelmente, e os planaltos da curva sigmoidal.

Notem também que o modelo de crescimento sigmoidal não fica cada vez mais íngreme como o modelo de crescimento exponencial. A parte mais íngreme da curva sigmoidal está exatamente na metade da população máxima, ou K/2 Para populações menores que K/2, o crescimento está acelerando. Para populações maiores que K/2, o crescimento está diminuindo.

Sumário

Crescimento sigmoidal é uma modificação do crescimento exponencial em que a mudança percentual fica menor conforme a população se aproxima da capacidade de carga. A taxa de crescimento atual é o produto da taxa de crescimento inicial e da porcentagem de recursos disponíveis. Inicialmente, há 100% dos recursos disponíveis, portanto a taxa de crescimento sigmoidal coincide com a taxa exponencial. Eventualmente, há 0% dos recursos disponíveis, e a taxa de crescimento sigmoidal aproxima-se de zero.

Sistemas reais raramente se ajustam exatamente ao modelo de crescimento sigmoidal, mas ainda é uma aproximação muito útil. Além das populações animais, o crescimento sigmoidal pode modelar a propagação de doenças ou a disseminação de tecnologia ou a propagação de rumores. Sistemas reais frequentemente exibem um ciclo de superpopulação seguido por um colapso populacional ou mesmo uma extinção. Isto surge quando a taxa de crescimento é suficientemente grande para fazer com que a população ultrapasse a capacidade de carga.