Trójkąt Pitagorejski

Geometria > Geometria Płaszczyznowa > Trójkąty > Własności Trójkątów >
Teoria Liczb > Równania DiophantineEquations >
MathWorld DiophantineEquations > >
MathWorld Contributors > Knott >
MathWorld Contributors > Noe >

Mniej…

DOWNLOAD Mathematica NotebookPrzypisy do tego wpisu

Trójkąt pitagorejski to trójka dodatnich liczb całkowitych a, b i c takich, że istnieje trójkąt prosty o nogach a,b i przeciwprostokątnej c. Z twierdzenia pitagorejskiego wynika, że jest to równoważne znalezieniu dodatnich liczb całkowitych a, b i c spełniających warunki

 a^2+b^2=c^2.
(1)

Najmniejszym i najbardziej znanym trójkątem pitagorejskim jest (a,b,c)=(3,4,5). Trójkąt prosty o takich długościach boków jest czasem nazywany trójkątem 3, 4, 5.

PythagoreanTriples

Plany punktów w płaszczyźnie (a,b) takich, że (a,b,sqrt(a^2+b^2)) jest trójką pitagorejską są pokazane powyżej dla kolejno większych granic. Działki te zawierają ujemne wartości a i b, są więc symetryczne zarówno względem osi x, jak i y.

PythagoreanTriplesAC

Podobnie, działki punktów w płaszczyźnie (a,c) takich, że (a,sqrt(c^2-a^2),c) jest trójką pitagorejską są pokazane powyżej dla kolejno większych granic.

PrimitivePythagoreanTriple

Zwykło się rozważać tylko prymitywne trójki pitagorejskie (zwane też trójkami „zredukowanymi”), w których a i b są względnie pierwsze, gdyż inne rozwiązania można wygenerować trywialnie z prymitywnych. Prymitywne trójki są zilustrowane powyżej i można od razu zauważyć, że linie radialne odpowiadające prymitywnym trójkom w oryginalnym wykresie są nieobecne na tym rysunku. Dla prymitywnych rozwiązań, jedno z a lub b musi być parzyste, a drugie nieparzyste (Shanks 1993, s. 141), przy czym c zawsze jest nieparzyste.

Dodatkowo, jeden bok każdej trójki pitagorejskiej jest podzielny przez 3, inny przez 4, a jeszcze inny przez 5. Jeden bok może mieć dwa z tych dzielników, jak w (8, 15, 17), (7, 24, 25) i (20, 21, 29), a nawet wszystkie trzy, jak w (11, 60, 61).

Dając trójkę prymitywną (a_0,b_0,c_0), otrzymujemy trzy nowe trójki prymitywne z

(a_1,b_1,c_1) = (a_0,b_0,c_0)U
(2)
(a_2,b_2,c_2) = (a_0,b_0,c_0)A
(3)
(a_3,b_3,c_3) = (a_0,b_0,c_0)D,
(4)

gdzie

.

U =
(5)
A =
(6)
D =.
(7)

Hall (1970) i Roberts (1977) dowodzą, że (a,b,c) jest prymitywną trójką pitagorejską, jeśli

 (a,b,c)=(3,4,5)M,
(8)

gdzie M jest skończonym iloczynem macierzy U, A, D. Wynika stąd, że każda prymitywna trójka pitagorejska musi być członkiem nieskończonej macierzy

 ( 7, 24, 25); ( 5, 12, 13) ( 55, 48, 73); ( 45, 28, 53); ( 39, 80, 89); (3, 4, 5) ( 21, 20, 29) ( 119, 120, 169); ( 77, 36, 85); ( 33, 56, 65); ( 15, 8, 17) ( 65, 72, 97); ( 35, 12, 37).
(9)

Pythagoras i Babilończycy podali wzór na generowanie (niekoniecznie prymitywnych) trójek jako

 (2m,m^2-1,m^2+1),
(10)

dla m1, co generuje zbiór odrębnych trójek nie zawierający ani wszystkich trójek prymitywnych, ani wszystkich trójek imprimitywnych (i gdzie w szczególnym przypadku m=2, m^2-12m).

Wcześni Grecy podali

 (v^2-u^2,2uv,u^2+v^2),
(11)

gdzie u i vu są względnie pierwsze i o przeciwnej parzystości (Shanks 1993, s. 141), co generuje zbiór odrębnych trójek zawierający właśnie te prymitywne trójki (po odpowiednim posortowaniu v^2-u^2 i 2uv).

Pozwólmy F_n być liczbą Fibonacciego. Wtedy

 (F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(12)

generuje wyraźne trójki pitagorejskie (Dujella 1995), choć nie wyczerpująco ani dla trójek prymitywnych, ani imprimitywnych. Ogólniej, zaczynając od dodatnich liczb całkowitych a, b i konstruując ciąg podobny do ciągu Fibonacciego {F_n^'} o wyrazach a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, … generuje rozłączne trójki pitagorejskie

 (F_n^'F_(n+3)^',2F_(n+1)^'F_(n+2)^',F_(n+1)^'^2+F_(n+2)^'^2)
(13)

(Horadam 1961), gdzie

 F_n^'=1/2 dla a_0=0; 1/2 dla a_0=1
(24)

(Beiler 1966, s. 116). Zauważmy, że L(s)=1 iff s jest pierwsza lub dwa razy pierwsza. Kilka liczb pierwszych dla s=1, 2, … to 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 4, 1, … (OEIS A046079).

Aby znaleźć liczbę sposobów H_p(s), na jakie liczba s może być przeciwprostokątną prymitywnego trójkąta prostego, zapisz jej faktoryzację jako

 s=2^(a_0)(p_1^(a_1)...p_n^(a_n))(q_1^(b_1)...q_r^(b_r)),
(25)

gdzie ps jest postaci 4x-1, a qs jest postaci 4x+1. Liczba możliwych prymitywnych trójkątów prostych wynosi wtedy

 H_p(s)={2^(r-1) dla n=0 i a_0=0; 0 w przeciwnym razie,.
(26)

Na przykład, H_p(65)=2 ponieważ

.

65^2 = 16^2+63^2
(27)
= 33^2+56^2.
(28)

Wartości H_p(n) dla n=1, 2, … wynoszą 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, …. (OEIS A024362). Pierwsze kilka liczb pierwszych w postaci 4x+1 to 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, … (OEIS A002144), więc najmniejsze długości boków, które są przeciwprostokątnymi 1, 2, 4, 8, 16, … trójkątów prostokątnych to 5, 65, 1105, 32045, 1185665, 48612265, … (OEIS A006278).

Liczba możliwych prymitywnych lub nieprymitywnych trójkątów prostokątnych mających s jako przeciwprostokątną wynosi

.

H(s) = 1/2
(29)
= 1/8
(30)

(poprawiając literówkę z Beiler 1966, p. 117, w którym podano, że wzór ten podaje tylko liczbę rozwiązań nieprymitywnych), gdzie r_k(n) jest funkcją sumy kwadratów. Na przykład, istnieją cztery różne trójkąty całkowite o przeciwprostokątnej 65, ponieważ

 65^2=16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2.
(31)

Liczby pierwsze dla s=1, 2, … to 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, …. (OEIS A046080). Najmniejsze hipotensy mające n różnych trójek to 1, 5, 25, 125, 65, 3125, … (OEIS A006339). Poniższa tabela podaje hipotensy, dla których istnieje dokładnie n różnych trójkątów całkowitych prostych dla n=0, 1, …, 5.

n OEIS hipotenusy, dla których istnieje nróżnych trójkątów całkowitych
0 A004144 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, …
1 A084645 5, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, …
2 A084646 25, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, …
3 A084647 125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, …
4 A084648 65, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221, 255, …
5 A084649 3125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, …

Wobec tego całkowita liczba sposobów, na jakie s może być nogą lub przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, jest dana przez

 T(s)=L(s)+H(s).
(32)

Wartości dla s=1, 2, … wynoszą 0, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 3, …. (OEIS A046081). Najmniejszymi liczbami s, które mogą być bokami T ogólnych trójkątów prostokątnych dla T=1, 2, … są 3, 5, 16, 12, 15, 125, 24, 40, … (OEIS A006593; Beiler 1966, s. 114).

Istnieje 50 trójkątów pitagorejskich o hipotensjach mniejszych od 100, z których pierwsze kilka, uporządkowane według rosnących c, to (3, 4, 5), (6, 8,10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), … (OEIS A046083, A046084, i A009000).

Spośród nich, tylko 16 jest prymitywnymi trójkami o przeciwprostokątnej mniejszej niż 100: (3, 4,5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (33, 56, 65), (16, 63, 65), (48, 55, 73), (36, 77, 85), (13, 84, 85), (39, 80, 89), i (65, 72, 97) (OEIS A046086, A046087, i A020882).

Let the number of triples with hypotenuse N be denoted Delta(N), the number of triples with hypotenuse =N be denoted Delta^'(N), and the number of primitive triples less than N be denoted Delta_p(N). Następnie w poniższej tabeli zestawiono wartości dla potęg 10.

Delta OEIS Delta(10), Delta(10^2), …
Delta(N) A101929 1, 50, 878, 12467, …
Delta^'(N) A101930 2, 52, 881, 12471, …
Delta_p(N) A101931 1, 16, 158, 1593, ….

Lehmer (1900) udowodnił, że liczba rozwiązań prymitywnych o hipotensji mniejszej niż N spełnia

 lim_(N-infty)(Delta_p(N))/N=1/(2pi)=0,1591549....
(33)

(OEIS A086201).

PythagoreanIncircles

Intradycje kilku pierwszych prymitywnych trójkątów pitagorejskich uporządkowanych rosnąco c są dane przez 1, 2, 3, 3, 6, 5, 4, 10, 5, …. (OEIS A014498).

Istnieje ogólna metoda otrzymywania trójek trójkątów pitagorejskich o równych powierzchniach. Weźmy trzy zbiory generatorów jako

.

.

.

.

m_1 = r^2+rs+s^2
(34)
n_1 = r^2-.s^2
(35)
m_2 = r^2+rs+s^2
(36)
n_2 = 2rs+s^2
(37)
m_3 = r^2+2rs
(38)
n_3 = r^2+rs+s^2.
(39)

Wtedy trójkąt prosty generowany przez każdą trójkę (m_i^2-n_i^2,2m_w_i,m_i^2+n_i^2) ma pole wspólne

 A=rs(2r+s)(r+2s)(r+s)(r-s)(r^2+rs+s^2)
(40)

(Beiler 1966, s. 126-127). Jedyne ekstremum tej funkcji występuje w punkcie (r,s)=(0,0). Ponieważ A(r,s)=0 dla r=s, to najmniejszy obszar wspólny dla trzech nieprostokątnych trójkątów prostych jest dany przez (r,s)=(1,2), co daje obszar 840 i odpowiada trójkątom (24, 70, 74), (40, 42, 58) i (15, 112, 113) (Beiler 1966, s. 126).

Trójkąty proste, których pola składają się z jednej cyfry, to (3,4,5) (pole 6) i (693,1924,2045) (pole 666666; Wells 1986, s. 89).

W 1643 roku Fermat rzucił Mersenne’owi wyzwanie znalezienia trójkąta pitagorejskiego, którego przeciwprostokątna i suma nóg byłyby kwadratami. Fermat znalazł najmniejsze takie rozwiązanie:

.

X = 4565486027761
(41)
Y = 1061652293520
(42)
Z = 4687298610289,
(43)

z

.

Z = 2165017^2
(44)
X+Y = 2372159^2.
(45)

Pokrewnym problemem jest określenie, czy określona liczba całkowita N może być polem trójkąta prostokątnego o racjonalnych bokach. 1, 2, 3 i 4 nie są polami żadnych trójkątów prostokątnych o racjonalnych bokach, ale 5 jest (3/2, 20/3, 41/6), podobnie jak 6 (3, 4, 5). Rozwiązanie problemu dotyczy krzywej eliptycznej

 y^2=x^3-N^2x.
(46)

Rozwiązanie (a, b, c) istnieje, jeśli (46) ma racjonalne rozwiązanie, w którym to przypadku

x = 1/4c^2
(47)
y = 1/8(a^2-...b^2)c
(48)

(Koblitz 1993). Nie jest znana ogólna metoda pozwalająca określić, czy istnieje rozwiązanie dla dowolnych N, ale technika opracowana przez J. Tunnella w 1983 roku pozwala wykluczyć pewne wartości (Cipra 1996).

.