Stopa spot obligacji to bieżąca rentowność dla danego terminu. Rynkowe stopy spot dla pewnych terminów są równe rentowności do terminu zapadalności obligacji zerokuponowych o tych terminach. Stopa spot wzrasta wraz ze wzrostem terminu, ale ten wzór często odbiega od normy. Zatem obligacje o dłuższym terminie wykupu mają zazwyczaj wyższą rentowność. Wykres stóp spot dla różnych terminów wykupu tworzy krzywą rentowności, a kształt tej krzywej często określa skuteczność niektórych strategii obligacyjnych, zwłaszcza tych mających na celu obniżenie ryzyka stopy procentowej, takich jak strategie immunizacji obligacji. Ponadto niektórzy posiadacze obligacji kuponowych chcą przekształcić obligacje w serię obligacji zerokuponowych w celu ograniczenia ryzyka poprzez lepsze dopasowanie czasu trwania aktywów do czasu trwania pasywów lub w celu osiągnięcia zysku poprzez sprzedaż zer. Zysk można również osiągnąć poprzez odtworzenie obligacji zerokuponowych z powrotem w pierwotną obligację, jeżeli suma zer jest tańsza niż odtworzona obligacja. Sprzedaż zer lub odtworzenie zer w zależności od cen rynkowych jest formą arbitrażu, sposobem na osiągnięcie zysku bez ryzyka. Jednak to, czy opłaca się emitować zera, odcinać kupony lub odtwarzać kupony, zależy od krzywej spot-rate, czyli krzywej rentowności, która pozwala inwestorowi oszacować cenę rynkową obligacji o określonym terminie wykupu. Często jednak na rynku nie sprzedaje się wystarczająco dużo obligacji zerokuponowych, aby jednoznacznie wskazać, jakie byłyby rzeczywiste ceny obligacji w danym terminie wykupu. Jak można wyznaczyć stopy spot dla terminów zapadalności, dla których brakuje informacji rynkowych?

Blisko spokrewniona ze stopą spot jest stopa forward, która jest stopą procentową dla pewnego terminu, który zaczyna się w przyszłości i kończy się później. Jeśli więc firma chce pożyczyć pieniądze za rok od teraz na okres 2 lat przy znanej dzisiaj stopie procentowej, to bank może zagwarantować tę stopę poprzez wykorzystanie kontraktu terminowego na stopę procentową, używając stopy terminowej jako odsetek od kredytu. Kontrakty terminowe na stopę procentową, powszechny rodzaj instrumentów pochodnych, oparte są na stopach terminowych. Kursy terminowe są również niezbędne do oceny obligacji z wbudowanymi opcjami. Ale ponieważ stopy forward są przyszłymi cenami spot dla stóp procentowych, które są niewiadomą, jak są określane stopy forward?

Krzywe stóp spot i stopy forward implikowane przez ceny rynkowe mogą być określone z cen rynkowych obligacji kuponowych poprzez proces zwany bootstrappingiem.

Stopy forward

Cena obligacji = wartość bieżąca wszystkich jej przepływów pieniężnych. Zwykle w obliczeniach wartości bieżącej przepływów pieniężnych stosuje się stałą stopę zwrotu do wykupu (YTM). Jednakże równanie ceny obligacji może być wykorzystane do obliczenia stóp terminowych implikowanych przez bieżące ceny rynkowe obligacji o różnych kuponach.

Bond Price Calculated Using a Constant Yield to Maturity

Bond Price	=	C1(1+YTM)1	+	C2(1+YTM)2	+ … +	Cn(1+YTM)n	+	P(1+YTM)n
C = płatność kuponu za okres P = wartość nominalna obligacji . n = liczba lat do terminu wykupu YTM = rentowność do terminu wykupu

Obligacja kuponowa może być uważana za grupę obligacji zero-obligacji kuponowych z zerem odpowiadającym każdej płatności kuponowej i ostatecznej spłacie kapitału. W ten sposób każdy przepływ środków pieniężnych powinien być zdyskontowany przy zastosowaniu stopy procentowej odpowiedniej dla okresu, w którym przepływ środków pieniężnych zostanie otrzymany. Wartość obligacji zerokuponowych musi być równa wartości obligacji kuponowej; w przeciwnym razie arbitrażysta mógłby rozebrać obligację i sprzedać zera z zyskiem, jak to czasami robi.

Obliczone w ten sposób stopy terminowe nie są prognozami przyszłych stóp procentowych, ponieważ przyszłe stopy procentowe są nieznane. Stopy terminowe są raczej obliczane na podstawie bieżących cen obligacji; dlatego też czasami nazywa się je implikowanymi stopami terminowymi, ponieważ są one implikowane przez ceny rynkowe obligacji w taki sam sposób, w jaki implikowana zmienność jest określana przez ceny rynkowe opcji.

Bootstrapping

Treasuries są idealnym rodzajem obligacji do wykorzystania w celu skonstruowania krzywej dochodowości, ponieważ nie zawierają ryzyka kredytowego, więc ceny obligacji skarbowych w większym stopniu zależą od rynkowych stóp procentowych. Obligacje skarbowe wyznaczają krzywą dochodowości wolną od ryzyka, ale ceny rynkowe implikują również stopy terminowe, które są stopami dochodowości dla pewnych okresów w przyszłości.

Ponieważ obligacje skarbowe są zazwyczaj emitowane jako obligacje kuponowe, ich ceny nie mogą być po prostu wykorzystane do skonstruowania krzywej stóp kasowych lub obliczenia stóp terminowych. Zamiast tego, teoretyczna krzywa spot rate i implikowane stopy terminowe są konstruowane poprzez proces bootstrappingu, który oblicza stopy terminowe poprzez uwzględnienie wartości obligacji zerokuponowych równoważnych obligacjom skarbowym. Obliczone stopy terminowe mogą następnie skonstruować krzywą stóp kasowych poprzez dodanie rentowności dla każdego terminu do pożądanego terminu zapadalności.

Technika bootstrappingu opiera się na równaniu cena-zysk przy użyciu różnych stóp dla każdego z 6-miesięcznych terminów, określonych przez ceny rynkowe:

Bond-Yield Equation Using Different Rates for Each Cash Flow

Cena obligacji	=	C1(1+r1)1	+	C2(1+r2)2	+ … +	Cn(1+rn)n	+	P(1+rn)n
r = stopa procentowa na okres Jeśli r = roczny zysk, ale termin jest na ½ roku, to podziel przez 2

Oprocentowanie obliczamy najpierw dla obligacji 6-miesięcznej o znanej cenie rynkowej, która w terminie wykupu ma tylko jedną płatność, składającą się z kuponu i spłaty kapitału. Po obliczeniu stopy dla pierwszego okresu z 6-miesięczną obligacją, następnie stopa ta jest używana do obliczania stopy dla drugiego okresu 1-letniej obligacji, i tak dalej, aż wszystkie stopy dla pożądanej liczby terminów, dla których dostępne są ceny rynkowe, zostały określone. Nazywa się to techniką bootstrappingu, ponieważ wcześniej obliczone stopy spot są wykorzystywane do obliczania późniejszych stóp spot w kolejnych krokach.

Wniosek

Technika bootstrappingu jest prosta, ale znalezienie rzeczywistej krzywej dochodowości i jej wygładzenie wymaga bardziej skomplikowanej matematyki, ponieważ na ceny obligacji mają wpływ nie tylko stopy procentowe, ale również inne czynniki, takie jak ryzyko kredytowe, podatki, płynność oraz prosta wariancja podaży i popytu dla każdego terminu zapadalności. W celu określenia bardziej realistycznych stóp procentowych stosuje się bardziej zaawansowane techniki matematyczne, ale wykraczają one poza zakres niniejszego artykułu. Niemniej jednak, bootstrapping ilustruje, w jaki sposób można obliczyć stopy terminowe na podstawie bieżących cen obligacji, które mogą być następnie złożone razem, aby wypełnić luki w krzywej stóp kasowych.

.