Wykładniki to potęgi lub indeksy. Wykładnik lub moc oznacza liczbę razy liczba jest wielokrotnie pomnożona przez siebie. Na przykład, gdy spotykamy liczbę zapisaną jako, 53, oznacza to po prostu, że 5 jest pomnożone przez siebie trzy razy. Innymi słowy, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Wyrażenie wykładnicze składa się z dwóch części, mianowicie podstawy, oznaczanej jako b i wykładnika, oznaczanego jako n. Ogólna forma wyrażenia wykładniczego to b n.

Jak mnożyć wykładniki?

Mnożenie wykładników stanowi kluczową część matematyki na wyższym poziomie, jednak wielu studentów ma problemy ze zrozumieniem, jak wykonać tę operację. Chociaż wyrażenia zawierające ujemne i wielokrotne wykładniki wydają się mylące.

W tym artykule, będziemy uczyć się mnożenia wykładników i dlatego, to pomoże Ci czuć się o wiele bardziej komfortowo w rozwiązywaniu problemów z wykładnikami.

Mnożenie wykładników pociąga za sobą następujące podtematy:

• Multiplikacja wykładników o tej samej podstawie
• Multiplikacja wykładników o różnych podstawach
• Multiplikacja wykładników ujemnych
• Multiplikacja ułamków o wykładnikach
• Multiplikacja m.in. wykładników ułamków
• Mnożenie zmiennych przez wykładniki
• Mnożenie pierwiastków kwadratowych przez wykładniki

Mnożenie wykładników o tej samej podstawie

W mnożeniu wykładników o tych samych podstawach, wykładniki są dodawane do siebie. Reguła mnożenia polegająca na dodawaniu wykładników, gdy podstawy są takie same, może być uogólniona jako: a n x a m = a n+ m

Przykład 1

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m) × (m × m × m)

.

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-)3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Mnożenie wykładników o różnych podstawach

Przy mnożeniu dwóch zmiennych o różnych podstawach, ale takich samych wykładnikach, po prostu mnożymy podstawy i wstawiamy taki sam wykładnik. Reguła ta może być podsumowana jako:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Przykład 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Jeśli zarówno wykładniki jak i podstawy są różne, wtedy każda liczba jest obliczana osobno, a następnie wyniki są mnożone razem. W tym przypadku wzór ma postać: a n ⋅ b m

Przykład 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Jak mnożyć ujemne wykładniki?

Dla liczb o tej samej podstawie i ujemnych wykładnikach po prostu dodajemy wykładniki. W ogólności: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Przykład 4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

Podobnie, jeśli podstawy są różne, a wykładniki takie same, to najpierw mnożymy podstawy i wykorzystujemy wykładniki.

a -n x b -n = (a x b) -n

Przykład 5

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444

• Jak mnożyć ułamki o wykładnikach?

Przy mnożeniu ułamków o tej samej podstawie dodajemy wykładniki. Na przykład:

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

Przykład 6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16

• Jak mnożyć wykładniki ułamkowe?

Ogólny wzór dla tego przypadku brzmi: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Przykład 7

• 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

Podobnie wykładniki ułamkowe o tych samych podstawach, ale różnych wykładnikach mają wzór ogólny dany przez: a (n/m) x a (k/j) = a

Przykład 8

• 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127

• Jak mnożyć pierwiastki kwadratowe z wykładnikami?

Dla wykładników o tej samej podstawie możemy dodać wykładniki:

(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

Przykład 9

• (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 =. 53 = 125

• Mnożenie zmiennych z wykładnikami

Dla wykładników o tej samej podstawie, możemy dodać wykładniki:

xn * x m = x n + m

Przykład 10

• x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

Pytania praktyczne

1. Długość prostokąta jest kwadratem jego szerokości. Jeżeli pole tego prostokąta wynosi 64 jednostki kwadratowe, to znajdź długość prostokąta.
2. Przejście światła od Słońca do Ziemi zajmuje 5 × 102 sekundy. Jeśli prędkość światła wynosi 3 × 108 m/s, to jaka jest odległość między Słońcem a Ziemią?

Odpowiedzi

1. 4 jednostki
2. 1.5 × 1011 m

Poprzednia lekcja |Strona główna |Następna lekcja

.