Mnożenie wykładników – Objaśnienia i przykłady

Wykładniki to potęgi lub indeksy. Wykładnik lub moc oznacza liczbę razy liczba jest wielokrotnie pomnożona przez siebie. Na przykład, gdy spotykamy liczbę zapisaną jako, 53, oznacza to po prostu, że 5 jest pomnożone przez siebie trzy razy. Innymi słowy, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Wyrażenie wykładnicze składa się z dwóch części, mianowicie podstawy, oznaczanej jako b i wykładnika, oznaczanego jako n. Ogólna forma wyrażenia wykładniczego to b n.

Jak mnożyć wykładniki?

Mnożenie wykładników stanowi kluczową część matematyki na wyższym poziomie, jednak wielu studentów ma problemy ze zrozumieniem, jak wykonać tę operację. Chociaż wyrażenia zawierające ujemne i wielokrotne wykładniki wydają się mylące.

W tym artykule, będziemy uczyć się mnożenia wykładników i dlatego, to pomoże Ci czuć się o wiele bardziej komfortowo w rozwiązywaniu problemów z wykładnikami.

Mnożenie wykładników pociąga za sobą następujące podtematy:

  • Multiplikacja wykładników o tej samej podstawie
  • Multiplikacja wykładników o różnych podstawach
  • Multiplikacja wykładników ujemnych
  • Multiplikacja ułamków o wykładnikach
  • Multiplikacja m.in. wykładników ułamków
  • Mnożenie zmiennych przez wykładniki
  • Mnożenie pierwiastków kwadratowych przez wykładniki

Mnożenie wykładników o tej samej podstawie

W mnożeniu wykładników o tych samych podstawach, wykładniki są dodawane do siebie. Reguła mnożenia polegająca na dodawaniu wykładników, gdy podstawy są takie same, może być uogólniona jako: a n x a m = a n+ m

Przykład 1

  • m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m) × (m × m × m)

.

= m5 + 3

= m⁸

  • 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
  • (-)3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

  • 5³ ×5⁶
    = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
    = 53+6

= 5⁹

  • (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Mnożenie wykładników o różnych podstawach

Przy mnożeniu dwóch zmiennych o różnych podstawach, ale takich samych wykładnikach, po prostu mnożymy podstawy i wstawiamy taki sam wykładnik. Reguła ta może być podsumowana jako:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Przykład 2

  • (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
  • 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Jeśli zarówno wykładniki jak i podstawy są różne, wtedy każda liczba jest obliczana osobno, a następnie wyniki są mnożone razem. W tym przypadku wzór ma postać: a n ⋅ b m

Przykład 3

  • 32x 43 = 9 x 64 = 576
  • Jak mnożyć ujemne wykładniki?

Dla liczb o tej samej podstawie i ujemnych wykładnikach po prostu dodajemy wykładniki. W ogólności: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Przykład 4

  • 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

Podobnie, jeśli podstawy są różne, a wykładniki takie same, to najpierw mnożymy podstawy i wykorzystujemy wykładniki.

a -n x b -n = (a x b) -n

Przykład 5

  • 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444
  • Jak mnożyć ułamki o wykładnikach?

Przy mnożeniu ułamków o tej samej podstawie dodajemy wykładniki. Na przykład:

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

Przykład 6

  • (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
  • (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
  • (-1/4)-3× (-1/4)-2
    (-1/4)-3 × (-1/4)-2
    = (4/-1)3 × (4/-1)2
    = (-4)3 × (-4)2
    = (-4) (3 + 2)
    = (-4)5
    = -45
    = -1024.
  • (-2/7)-4× (-5/7)2
    (-2/7)-4 × (-5/7)2
    = (7/-2)4 × (-5/7)2
    = (-7/2)4 × (-5/7)2
    = (-7)4/24 × (-5)2/72
    = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
    = {72 × (-5)2 }/24
    = /16
    = 1225/16
  • Jak mnożyć wykładniki ułamkowe?

Ogólny wzór dla tego przypadku brzmi: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Przykład 7

  • 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

Podobnie wykładniki ułamkowe o tych samych podstawach, ale różnych wykładnikach mają wzór ogólny dany przez: a (n/m) x a (k/j) = a

Przykład 8

  • 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127
  • Jak mnożyć pierwiastki kwadratowe z wykładnikami?

Dla wykładników o tej samej podstawie możemy dodać wykładniki:

(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

Przykład 9

  • (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 =. 53 = 125
  • Mnożenie zmiennych z wykładnikami

Dla wykładników o tej samej podstawie, możemy dodać wykładniki:

xn * x m = x n + m

Przykład 10

  • x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

Pytania praktyczne

  1. Długość prostokąta jest kwadratem jego szerokości. Jeżeli pole tego prostokąta wynosi 64 jednostki kwadratowe, to znajdź długość prostokąta.
  2. Przejście światła od Słońca do Ziemi zajmuje 5 × 102 sekundy. Jeśli prędkość światła wynosi 3 × 108 m/s, to jaka jest odległość między Słońcem a Ziemią?

Odpowiedzi

  1. 4 jednostki
  2. 1.5 × 1011 m

Poprzednia lekcja |Strona główna |Następna lekcja

.