Efekt ścinania występujący w konstrukcjach zginanych został zauważony już w XIX wieku, a szczegółowo zbadany dla konstrukcji jednorodnych i warstwowych w XX wieku. Założenie odpowiedniej teorii odkształcenia prostej normalnej do powierzchni neutralnej stanowi podstawę do analitycznego modelowania konstrukcji niejednorodnych, zwłaszcza o właściwościach mechanicznych zmieniających się w kierunku grubości ścianki.

Reddy opracował teoretyczny model zginania funkcjonalnie stopniowanych płyt prostokątnych z uwzględnieniem efektu ścinania. Szczegółowa analiza została przeprowadzona z uwzględnieniem teorii odkształceń ścinających pierwszego i trzeciego rzędu. Zenkour przedstawił uogólnioną teorię odkształcenia przy ścinaniu i jej zastosowanie do analizy funkcjonalnie stopniowanych płyt prostokątnych poddanych równomiernie rozłożonemu obciążeniu. Efekt poprzecznego ścinania jest szczegółowo badany. Aydogdu zaproponował nową teorię odkształcenia przy ścinaniu dla laminowanych płyt kompozytowych. Teoria ta dokładnie spełnia warunki zerowania naprężeń ścinających na górnej i dolnej powierzchni płyty. Reddy przedstawił przeformułowanie klasycznych i ścinających teorii deformacji belek i płyt z uwzględnieniem nielokalnych różnicowych relacji konstytutywnych Eringena i nieliniowych odkształceń von Kármána. Sformułowano równania równowagi nielokalnych teorii belek oraz klasycznych i pierwszorzędowych teorii odkształceń ścinających płyt. Carrera et al. szczegółowo opisali klasyczne i zaawansowane teorie, w tym: podstawy teorii ciał odkształcalnych, teorie belek Eulera-Bernoulliego i Timoshenki, teorie nieliniowe, np. teorie belek parabolicznych, sześciennych, kwartalnych i n-rzędowych, a także modelowanie belek wykonanych z materiałów funkcjonalnie stopniowanych. Meiche i in. przedstawili nową hiperboliczną teorię odkształcenia ścinającego na przykładzie analizy wyboczenia i drgań swobodnych grubych funkcjonalnie stopniowanych płyt warstwowych. Teoria ta jest bardziej doskonała w stosunku do prostych teorii odkształceń ścinających Mindlina i Reissnera. Ponadto, zapewnia ona paraboliczną zmienność poprzecznych naprężeń ścinających w całej grubości, a także ich zerowanie na powierzchniach zewnętrznych. Thai i Vo opracowali różne teorie odkształcenia ścinającego wyższego rzędu do badania zginania i drgań swobodnych belek funkcjonalnie stopniowanych. Teorie te uwzględniają wyższego rzędu zmiany poprzecznego odkształcenia ścinającego w kierunku głębokości belki i spełniają beznaprężeniowe warunki brzegowe na górnej i dolnej powierzchni belki. Thai i Vo opracowali nową teorię sinusoidalnego odkształcenia przy ścinaniu dla funkcjonalnie stopniowanych płyt prostokątnych. Teoria ta opisuje sinusoidalny rozkład poprzecznych naprężeń ścinających i spełnia warunki zerowania naprężeń ścinających na zewnętrznych powierzchniach płyty. Przeprowadzono szczegółowe badania dotyczące zginania, wyboczenia i drgań tych płyt.

Akgöz i Civalek przedstawili nowy analityczny model belki z odkształceniem ścinającym wyższego rzędu z uwzględnieniem teorii sprężystości gradientowej. Model ten opisuje efekty mikrostrukturalne i odkształcenia ścinającego bez konieczności stosowania współczynników korekcyjnych ścinania. Badane są problemy zginania statycznego i drgań swobodnych swobodnie podpartych mikrobelek. Grover et al. zaproponował nową odwróconą hiperboliczną teorię deformacji ścinającej laminowanych płyt kompozytowych i warstwowych. Teoria ta jest sformułowana w oparciu o funkcję kształtu odkształcenia ścinającego i zweryfikowana przez badania numeryczne problemu zginania i wyboczenia płyt prostokątnych. Sahoo i Singh zaproponowali nową odwróconą trygonometryczną teorię zig-zag dla laminowanych płyt kompozytowych i warstwowych. Teoria ta zapewnia warunki ciągłości na stykach warstw oraz zerowanie naprężeń ścinających na zewnętrznych powierzchniach płyty. Opracowano efektywny model elementów skończonych do badań numerycznych problemów statycznych tych płyt. Xiang udoskonalił teorię odkształceń ścinających n-rzędu uwzględniając warunek zerowania naprężeń ścinających na zewnętrznych powierzchniach funkcjonalnie stopniowanej belki. Analizowane są problemy drgań swobodnych tej belki. Kumar i Chakraverty zaproponowali cztery nowe odwrotne trygonometryczne teorie odkształcenia ścinającego pozwalające na badanie drgań swobodnych izotropowych grubych płyt prostokątnych. Teorie te zapewniają spełnienie warunków brzegowych naprężeń poprzecznych na obu powierzchniach płyt. Przeprowadzono test zbieżności i walidację z przypadkami z dostępnej literatury. Mahi et al. przedstawili nową hiperboliczną teorię odkształcenia ścinającego opisującą zginanie i drgania swobodne izotropowych, funkcjonalnie stopniowanych, sandwiczowych i laminowanych płyt kompozytowych. Podejście to nie wymaga zastosowania współczynnika korekcyjnego ścinania. W oparciu o zasadę Hamiltona otrzymano funkcję energetyczną układu. Dokładność metody wykazano przez porównanie z rozwiązaniem numerycznym problemu.

Darijani i Shahdadi zaproponowali nową teorię płyt odkształcalnych z uwzględnieniem odkształceń ścinających. Poprzeczne naprężenia ścinające zmieniają się na całej grubości płyty zgodnie z zależnością power-law. Górna i dolna powierzchnia płyty są wolne od naprężeń ścinających. Równania rządzące i warunki brzegowe płyty są wyprowadzone z wykorzystaniem zasady Hamiltona. Uzyskane wyniki są porównywalne z wynikami otrzymanymi przy użyciu teorii wyższego rzędu. Lezgy-Nazargah rozważał zjawiska termo-mechaniczne w belkach wykonanych z materiału funkcjonalnie stopniowanego. Wykorzystano do tego celu wyrafinowaną teorię wysokiego rzędu, a pole przemieszczeń w płaszczyźnie przedstawiono za pomocą wyrażeń wielomianowych i wykładniczych. Uzyskane w ten sposób wyniki numeryczne porównano z rozwiązaniami innych autorów. Sobhy wykorzystał nową, czterozmienną teorię płyt odkształconych przy ścinaniu do przedstawienia drgań i wyboczenia funkcjonalnie stopniowanych płyt warstwowych podpartych na sprężystych fundamentach. Równania ruchu wyprowadzono w oparciu o zasadę Hamiltona. Poprawność teorii została zweryfikowana przez porównanie uzyskanych wyników z wcześniejszymi. Sarangan i Singh opracowali kilka nowych teorii odkształceń ścinających, które można zastosować do analizy zachowania się laminowanych płyt kompozytowych i warstwowych w warunkach statyki, wyboczenia i drgań swobodnych. Teorie te zapewniają zerowanie poprzecznych naprężeń ścinających na zewnętrznych powierzchniach płyty. Dokładność modeli została pozytywnie zweryfikowana przez porównanie z wynikami rozwiązań sprężystości 3D i istniejącymi teoriami. Chen et al. badali drgania swobodne i wymuszone funkcjonalnie stopniowanych belek porowatych. Teoria belki Timoshenko z uwzględnieniem wpływu poprzecznego odkształcenia ścinającego pozwoliła na wyprowadzenie równania ruchu. Podejście to umożliwiło efektywne obliczenie częstotliwości drgań własnych i nieustalonych ugięć dynamicznych dla belek porowatych poddanych różnym warunkom obciążenia. Singh i Singh zajmowali się laminowanymi i trójwymiarowymi plecionymi płytami kompozytowymi. W tym celu autorzy opracowali dwie nowe teorie odkształcenia ścinającego. Rządzące równania różniczkowe zostały sformułowane w oparciu o zasadę pracy wirtualnej. Wyniki uzyskane za pomocą metody elementów skończonych potwierdziły dobrą skuteczność obu zaproponowanych teorii. Shi i in. sformułowali nową teorię odkształcenia ścinającego stosowaną do analizy drgań swobodnych i wyboczenia laminowanych płyt kompozytowych. Teoria ta zapewnia zanikanie naprężeń ścinających na powierzchniach płyt. Ponadto, nie są wymagane współczynniki korekcyjne ścinania. Rozwiązania dostępne w literaturze potwierdzają wysoką dokładność i efektywność nowej metody. Thai et al. przedstawili prostą teorię belki stosowaną do analizy statycznego zginania i drgań swobodnych izotropowych nanobelek. Równanie rządzące zostało wyprowadzone w oparciu o równania równowagi teorii sprężystości. Otrzymano rozwiązania analityczne dla belek nielokalnych, narzucając różne rodzaje warunków brzegowych. Weryfikacja wykazała dobrą dokładność i efektywność teorii. Pei et al. opracowali zmodyfikowaną teorię wyższego rzędu belek funkcjonalnie stopniowanych z wykorzystaniem zasady pracy wirtualnej. W teorii tej rozróżnia się centroid i punkt neutralny przekroju poprzecznego. Dodatkowo wyjaśniono jej związek z tradycyjną teorią wyższego rzędu, co upraszcza studium porównawcze różnych teorii belek wyższego rzędu. Kumar et al. analizowali płyty z materiałów funkcjonalnie stopniowanych, stosując dwie własne, nowe teorie odkształcenia poprzecznego ścinania wyższego rzędu. Do wyprowadzenia rządzącego równania różniczkowego płyty wykorzystano zasadę energii. Uzyskane wyniki ugięć i naprężeń porównano z innymi opublikowanymi danymi. Zbadano wpływ różnych rodzajów obciążeń, stosunku rozpiętości do grubości oraz wskaźnika gradacji. Magnucki i Lewiński rozważali belki swobodnie podparte o symetrycznie zmiennych właściwościach mechanicznych w kierunku głębokościowym, poddane różnym rodzajom obciążeń – od równomiernie rozłożonych do skupionych. Odkształcenie przekroju płaskiego belki po zginaniu wyznaczono w oparciu o własną hipotezę nieliniowego „wielomianu”. Różniczkowe równanie równowagi sformułowano w oparciu o definicje momentu zginającego i siły poprzecznej ścinającej, a następnie rozwiązano dla kilku przykładów belek. Magnucki et al. zaproponował nowe sformułowanie funkcji określających zmianę własności mechanicznych belki w kierunku głębokościowym. Podejście to polega na uogólnieniu umożliwiającym opisywanie konstrukcji jednorodnych, nieliniowo zmiennych i warstwowych za pomocą uniwersalnego modelu analitycznego. Równania ruchu wyprowadzono w oparciu o zasadę Hamiltona i rozwiązano analitycznie. Wyniki zweryfikowano za pomocą obliczeń metodą elementów skończonych. Katili i in. zaproponowali dwuwęzłowy element belkowy wyższego rzędu opracowany do rozwiązywania zagadnień statyki i drgań swobodnych. Teoria belki Timoshenko została zmodyfikowana w celu właściwego uwzględnienia efektu ścinania poprzecznego. Efektywność podejścia zweryfikowano przez porównanie z innymi danymi opublikowanymi w literaturze. Lezgy-Nazargah opracował globalno-lokalną teorię odkształceń ścinających, która pozwala dokładnie przewidzieć statyczne i dynamiczne zachowanie cienkich i grubych warstwowych belek zakrzywionych. Zmienność naprężenia ścinającego w kierunku grubości belki jest aproksymowana funkcją paraboliczną. Zerowanie naprężeń ścinających na powierzchniach granicznych belki jest zapewnione bez konieczności stosowania współczynnika korekcji ścinania. Wyniki uzyskane z obliczeń statycznych i drgań swobodnych są pozytywnie zweryfikowane przez wyniki obliczeń metodą elementów skończonych.

Głównym celem niniejszej pracy jest udoskonalenie teorii odkształceń ścinających przy zginaniu w przypadku symetrycznie zmiennych własności mechanicznych materiału w kierunku głębokości przekroju poprzecznego. Zaproponowano indywidualną nieliniową funkcję odkształcenia przekroju planarnego. Ulepszoną teorię odkształcenia przy ścinaniu zastosowano do przykładowych belek, których model analityczny został opracowany. Opracowano model analityczny tych belek. Wyniki analityczne są porównywane z wynikami uzyskanymi metodą numeryczną FEM. Przedstawiony problem belek zginanych z uwzględnieniem efektu ścinania jest kontynuacją badań przedstawionych przez Magnuckiego i Lewińskiego oraz Magnuckiego i in. .