De spotkoers van een obligatie is het huidige rendement voor een bepaalde looptijd. De contante marktkoersen voor bepaalde looptijden zijn gelijk aan het rendement tot de vervaldatum van nulcouponobligaties met die looptijd. De contante koers neemt toe naarmate de looptijd langer is, maar dit patroon wijkt vaak af. Obligaties met een langere looptijd hebben dus over het algemeen een hoger rendement. Een grafiek van de spotkoersen voor verschillende looptijden vormt de rendementscurve, en de vorm van deze curve bepaalt vaak de effectiviteit van bepaalde obligatiestrategieën, vooral die om het renterisico te verlagen, zoals obligatie-immunisatiestrategieën. Bovendien willen sommige houders van couponobligaties de obligaties strippen tot een reeks nulcouponobligaties, hetzij om het risico te beperken door de looptijd van activa en passiva beter op elkaar af te stemmen, hetzij om winst te maken door de nullen te verkopen. Winst kan ook worden gemaakt door de obligaties met nulcoupon weer samen te stellen in de oorspronkelijke obligatie, als de som van de nullen goedkoper is dan de opnieuw samengestelde obligatie. De verkoop van nullen of de wedersamenstelling van nullen afhankelijk van de marktprijzen is een vorm van arbitrage, een middel om een risicoloze winst te maken. Of het rendabel is om nullen uit te geven, coupons te strippen of coupons opnieuw samen te stellen, hangt echter af van de spot-rentecurve, of de rendementscurve, die de belegger in staat stelt de marktprijs voor een obligatie met een bepaalde looptijd te schatten. Vaak worden er echter niet genoeg nulcouponobligaties op de markt verkocht om duidelijk aan te geven wat de werkelijke obligatiekoersen op een bepaalde vervaldatum zouden zijn. Hoe kan de spotkoers worden bepaald voor looptijden waarvoor marktinformatie ontbreekt?
Nauw verbonden met de spotkoers is de termijnkoers, dat wil zeggen de rente voor een bepaalde termijn die in de toekomst begint en later eindigt. Dus als een bedrijf over 1 jaar geld wil lenen voor een termijn van 2 jaar tegen een vandaag bekende rentevoet, dan kan een bank die rentevoet garanderen door gebruik te maken van een forward rate contract waarbij de forward rate wordt gebruikt als rente op de lening. Rentetermijncontracten, een veel voorkomend type derivaat, zijn gebaseerd op termijnkoersen. Termijnkoersen zijn ook nodig voor de evaluatie van obligaties met ingebouwde opties. Maar aangezien termijnkoersen toekomstige spotprijzen voor rentetarieven zijn, die niet te kennen zijn, hoe worden termijnkoersen bepaald?
Spot rate curves en termijnkoersen geïmpliceerd door marktprijzen kunnen worden bepaald uit de marktprijzen van couponobligaties door middel van een proces dat bootstrapping wordt genoemd.
Forward Rates
De prijs van een obligatie = de contante waarde van al zijn kasstromen. De gebruikelijke techniek is om een constante yield to maturity (YTM) te gebruiken bij de berekening van de contante waarde van de kasstromen. De obligatieprijsvergelijking kan echter worden gebruikt om de termijnkoersen te berekenen zoals die worden geïmpliceerd door de huidige marktprijzen van obligaties met verschillende coupons.
| Obligatieprijs | = | C1(1+YTM)1 | + | C2(1+YTM)2 | + … + | Cn(1+YTM)n | + | P(1+YTM)n |
|
||||||||
Een couponobligatie kan worden beschouwd als een groep van nul-couponobligaties, waarbij een nul overeenkomt met elke couponbetaling en met de uiteindelijke hoofdsomaflossing. Op deze wijze moet elke kasstroom worden verdisconteerd tegen de rentevoet die past bij de periode waarin de kasstroom zal worden ontvangen. De waarde van de nulcouponobligaties moet gelijk zijn aan de couponobligatie; anders zou een arbitrageur de obligatie kunnen strippen en de nullen met winst kunnen verkopen, zoals hij soms doet.
De aldus berekende termijnkoersen zijn geen voorspellingen van toekomstige rentevoeten, aangezien toekomstige rentevoeten onbekend zijn. Vandaar dat ze soms impliciete forward rates worden genoemd, omdat ze worden geïmpliceerd door obligatiemarktprijzen op dezelfde manier als impliciete volatiliteit wordt bepaald door optiemarktprijzen.
Bootstrapping
Treasuries zijn het ideale type obligatie om te gebruiken om een rendementscurve te construeren, omdat ze geen kredietrisico hebben, zodat de koersen van Treasuries meer afhangen van de marktrente. Treasuries definiëren een risicovrije rendementscurve, maar de marktprijzen impliceren ook forward rates, die rendementen zijn voor bepaalde perioden in de toekomst.
Omdat Treasury notes en obligaties over het algemeen worden uitgegeven als couponobligaties, kunnen hun prijzen niet simpelweg worden gebruikt om de spot rate curve te construeren of forward rates te berekenen. In plaats daarvan worden een theoretische spot-rentecurve en impliciete termijnkoersen geconstrueerd door middel van bootstrapping, waarbij de termijnkoersen worden berekend door de waarde van de nulcouponobligaties die equivalent zijn aan de schatkistobligaties in aanmerking te nemen. Met de berekende termijnkoersen kan vervolgens de spot-rentecurve worden samengesteld door de rendementen voor elke termijn op te tellen tot de gewenste looptijd.
De bootstrapping-techniek is gebaseerd op de prijs-rendement-vergelijking met gebruikmaking van verschillende tarieven voor elk van de 6-maandstermijnen, zoals bepaald door de marktprijzen:
| Obligatieprijs | = | C1(1+r1)1 | + | C2(1+r2)2 | + … + | Cn(1+rn)n | + | P(1+rn)n |
|
||||||||
De rentevoet wordt eerst berekend voor de obligatie met een looptijd van 6 maanden waarvan de marktprijs bekend is en die op de eindvervaldag slechts één enkele betaling kent, bestaande uit de couponbetaling en de aflossing van de hoofdsom. Nadat de rentevoet is berekend voor de eerste periode met de obligatie op 6 maanden, wordt die rentevoet gebruikt om de rentevoet te berekenen voor de tweede periode van een obligatie op 1 jaar, enzovoort, totdat alle rentevoeten voor het gewenste aantal termijnen waarvoor marktprijzen beschikbaar zijn, zijn bepaald. Dit wordt de bootstrapping-techniek genoemd, omdat de eerder berekende contante koersen worden gebruikt om in opeenvolgende stappen latere contante koersen te berekenen.
Voorbeeld: Bootstrapping
Twee 6% coupon obligaties zonder credit-default risico en met een nominale nominale waarde van $100 hebben de volgende zuivere marktprijzen (geen opgelopen rente) en resterende looptijden. Merk op dat het rendement op jaarbasis door 2 gedeeld wordt omdat elke termijn slechts ½ jaar beslaat:
- obligatie op 6 maanden: $99
- obligatie op 1 jaar: $98
- y = rendement op jaarbasis tot vervaldatum
- Bepaal het rendement voor de obligatie op 6 maanden aan de hand van de marktprijs van $99. Aan het eind van de 6 maanden betaalt de obligatie een coupon van $3 plus de hoofdsom, voor een totaal van $103:
- 99 = 103/(1+y/2)
- 99 × (1+y/2) = 103
- 1+y/2 = 103/99 = 1.0404
- y/2 = 1.0404 – 1 = .0404
- y = .0404 × 2 = .0808 = 8.08%
- Bepaal het rendement op de tweede termijn voor de obligatie op 1 jaar door gebruik te maken van de marktprijs van $98 voor de obligatie en het rendement voor de eerste termijn berekend in stap 1:
- Contante waarde van de eerste couponbetaling + contante waarde van de laatste betaling = 98
- 3/1.0404 + 103/(1 + y/2)2 = 2,88 + 103/(1 + y/2)2 = 98
- 103/(1 + y/2)2 = 98 – 2,88 = 95,12
- 103 = 95.12 × (1 + y/2)2
- (1 + y/2)2 = 103/95.12 = 1.082883
- Getekende waarde van de laatste obligatiebetaling = 103/1.082883 = 95.12
- Marktprijs van obligatie = $2,88 + $95,12 = $98
Op basis van deze marktprijzen bedraagt de contante rente voor de huidige looptijd van 6 maanden op jaarbasis dus 8,0808% en de termijnrente voor de 2e looptijd van 6 maanden op jaarbasis 8,2883%.
Conclusie
De bootstrapping-techniek is eenvoudig, maar het vinden van de reële rendementscurve en het afvlakken ervan vereist ingewikkelder wiskunde, omdat de obligatieprijzen niet alleen door de rentevoet worden beïnvloed, maar ook door andere factoren, zoals kredietrisico, belastingen, liquiditeit, en de eenvoudige variantie in vraag en aanbod voor elke looptijd. Er worden meer gesofisticeerde wiskundige technieken gebruikt om meer realistische koersen te bepalen, maar deze vallen buiten het bestek van dit artikel. Niettemin illustreert bootstrapping hoe termijnkoersen kunnen worden berekend op basis van de huidige obligatieprijzen, die vervolgens kunnen worden samengevoegd om de gaten in de spot-rentecurve op te vullen.