Limieten aan exponentiële groei

Exponentiële groei treedt op wanneer het geboortecijfer hoger is dan het sterftecijfer in een bevolking. Zelfs als het geboortecijfer slechts iets hoger is dan het sterftecijfer, zal de bevolking uiteindelijk exploderen in de bekende J-vormige curve. Exponentiële groei is alleen mogelijk als er oneindig veel natuurlijke hulpbronnen beschikbaar zijn, maar dat is in de echte wereld niet het geval. In de echte wereld, met zijn beperkte hulpbronnen, kan exponentiële groei niet oneindig doorgaan. Exponentiële groei kan optreden in omgevingen met weinig individuen en overvloedige hulpbronnen, maar wanneer het aantal individuen groot genoeg wordt, zullen de hulpbronnen uitgeput raken, waardoor de groeisnelheid vertraagt. Uiteindelijk zal de groeisnelheid een plateau bereiken of afvlakken. Deze bevolkingsgrootte, die de maximale bevolkingsgrootte vertegenwoordigt die een bepaalde omgeving kan ondersteunen, wordt de draagkracht genoemd en wordt aangeduid met het label (K). De eerste persoon die een modificatie van exponentiële groei publiceerde die dit gedrag in de praktijk beschrijft was Pierre Verhulst, in 1838.

In traditionele exponentiële groei is het aantal nieuwe individuen dat aan de vorige populatie wordt toegevoegd een percentage van de populatie zelf. Met andere woorden, de helling is evenredig met de populatie. Bijvoorbeeld, een populatie die elk jaar met 5% groeit zou 5 nieuwe individuen toevoegen als de populatie 100 was, maar zou 150 nieuwe individuen toevoegen als de populatie 3000 was. Het model van Verhulst was anders in die zin dat de groei evenredig was met de bevolking en de beschikbare hulpbronnen. Het aantal beschikbare hulpbronnen werd gewoon behandeld als een percentage, met 100% beschikbaar in het begin en 0% beschikbaar wanneer de bevolking de draagkracht bereikte.

De formule voor de exponentieel groeiende bevolking, P, kan worden geschreven als:
(P = start \cdot \left(1 + r\right)^t)

terwijl een bevolking die een plateau bereikt bij de draagkracht kan worden geschreven als:
(P = start \links(1 + (\frac{K-P}{K}) \rechts)^t)

De enige verandering in de traditionele exponentiële groeivergelijking is de toevoeging van de factor \(\frac{K-P}{K}), die het verschil tussen de bevolking en de draagkracht in procenten weergeeft. Bijvoorbeeld, als de draagkracht 100 zou zijn en de bevolking 95, dan zou er 5% van de middelen beschikbaar zijn voor extra groei omdat \(100-95)/100=5%). In dat geval zou de groeisnelheid slechts 5% van zijn oorspronkelijke waarde zijn:

Wanneer de exponentiële groei vertraagt en een plateau bereikt, ziet de kromme er enigszins S-vormig uit. De bijbehorende Griekse letter “sigma”, en het groeimodel wordt sigmoïdale groei genoemd. Het wordt soms ook “logistische groei” genoemd, hoewel dat verwarring kan stichten met een heel ander groeimodel dat op de logaritme is gebaseerd. Een vergelijking van exponentiële en logistische groei wordt getoond in de onderstaande grafiek voor een groeisnelheid van 5%, een beginpopulatie van 100 individuen, en een draagkracht van 2000 individuen.

Merk op dat het exponentiële model en het sigmoïdale model aanvankelijk bijna identiek zijn. Wanneer de bevolking veel kleiner is dan de draagkracht, zijn de hulpbronnen in wezen onbeperkt en groeit de bevolking exponentieel. Pas wanneer de bevolking in de buurt van de draagkracht komt, neemt de groei merkbaar af en plateert de sigmoïdale curve.

Ook valt op dat het sigmoïdale groeimodel niet steiler en steiler wordt zoals het exponentiële groeimodel. Het steilste deel van de sigmoïdale curve ligt precies op de helft van de maximale populatie, of K/2 Voor populaties die kleiner zijn dan K/2, versnelt de groei. Voor populaties die groter zijn dan K/2, vertraagt de groei.