Dit hoofdstuk behandelt enkele filosofische vraagstukken betreffende de aard van de formele logica. Bijzondere aandacht zal worden besteed aan het begrip logische vorm, het doel van de formele logica in het vastleggen van logische vorm, en de verklaring van geldigheid in termen van logische vorm. Wij zullen zien hoe dit begrip van geldigheid ons in staat stelt te identificeren wat wij formele drogredenen noemen, dat wil zeggen fouten in een argument als gevolg van zijn logische vorm. Wij zullen ook enkele filosofische problemen over de aard van logische vormen bespreken. Omwille van de eenvoud zullen wij ons concentreren op de propositionele logica. Maar veel van de te bespreken resultaten hangen niet van deze keuze af, en zijn toepasbaar op meer geavanceerde logische systemen.

Logica, geldigheid, en logische vormen

Verschillende wetenschappen hebben verschillende onderwerpen: de natuurkunde probeert de eigenschappen van materie te ontdekken, de geschiedenis probeert te ontdekken wat er in het verleden gebeurd is, de biologie bestudeert de ontwikkeling en evolutie van levende organismen, de wiskunde gaat, of lijkt tenminste te gaan over getallen, verzamelingen, meetkundige ruimten, enzovoort. Maar wat is het dat de logica onderzoekt? Wat is logica eigenlijk?

Dit is een in wezen filosofische vraag, maar het antwoord erop vereist reflectie op de status en het gedrag van logische regels en gevolgtrekkingen. In leerboeken wordt logica gewoonlijk voorgesteld als de wetenschap van de consequentierelatie die bestaat tussen de premissen en de conclusie van een geldig argument, waarbij een argument geldig is als het niet mogelijk is dat de premissen waar zijn en de conclusie onwaar. Als logica de wetenschap is van het verband tussen de gevolgen die gelden tussen de premissen en de conclusie van een geldig argument, kunnen we zeggen dat logici zich zullen bezighouden met de vraag of een conclusie van een argument al dan niet een gevolg is van de premissen ervan.

Laten we het begrip geldigheid eens wat zorgvuldiger bekijken. Beschouw bijvoorbeeld het volgende argument:

1. Als Alex een zeebrasem is, dan is Alex geen roos.
2. Alex is een roos.
3. / Daarom is Alex geen zeebrasem.

Er kan worden aangetoond dat het niet mogelijk is dat (1) en (2) waar zijn en (3) onwaar. De hele redenering is dus geldig. Laten we gemakshalve elke zin van het argument weergeven in de standaard propositielogica, die tot doel heeft de structuur en de betekenis van verschillende proposities te analyseren. Daartoe moeten we eerst de taal van onze logica introduceren.

Het alfabet van de propositionele logica bevat letters die staan voor zinnen: A, B, C, enzovoort. We kunnen bijvoorbeeld “Alex is een roos” vertalen door gewoon B te gebruiken. Op dezelfde manier kunnen we S gebruiken om “Ik zou er graag aan ruiken” te vertalen. Het alfabet van de propositielogica bevat nog andere symbolen, die logische connectieven worden genoemd. Een daarvan is een symbool voor “niet” of ontkenning (\neg ). Als we zeggen dat Alex geen roos is, zeggen we in feite dat het niet waar is dat Alex een roos is. Als we “Alex is een roos” vertalen met B, vertalen we “Alex is geen roos” als “\neg B.” Een ander is een symbool (pijltje) voor voorwaardelijke zinnen van de vorm “als … dan ….” Bijvoorbeeld, we kunnen “Als Alex een roos is, dan zou ik er graag aan ruiken” vertalen als “B-pijltje A.” Als we zeggen dat als Alex een roos is, dan zou ik er graag aan ruiken, dan zeggen we iets voorwaardelijks: op de voorwaarde dat Alex een roos is, zou ik er graag aan ruiken. In het algemeen heeft een voorwaardelijke zin twee componenten. We noemen de eerste component het antecedent, de tweede component het consequent, en de hele propositie een voorwaardelijke. De taal van onze logica bevat ook “en”, ook wel conjunctie genoemd, en “of”, ook wel loskoppeling genoemd. Maar in dit hoofdstuk zullen we alleen negatie en voorwaardelijk behandelen.

Dus, als we A gebruiken voor “Alex is een zeebrasem,” dan kunnen we (1) weergeven met A \rightarrow \neg B, en ons bovenstaande argument (1)-(3) als volgt weergeven:

1. A \rechtspijl \neg B
2. B
3. / \daarom \neg A

Maar, let wel, ons doel was te onderzoeken waarom dit argument, als het al geldig is, geldig is. De loutere weergave van “niet” door “\neg” en “als … dan” door “\rechtsarrow” zal niet voldoende zijn om de geldigheid of ongeldigheid van een gegeven argument na te gaan: we moeten ook weten wat deze symbolen en de proposities die ze uitdrukken betekenen. Maar hoe kunnen we de betekenis van “negatie” en “rechtse pijl” specificeren?

Het is aannemelijk om te zeggen dat als A waar is, de negatie onwaar is, en omgekeerd. Bijvoorbeeld, als “Alex is een roos” waar is, dan is “Alex is geen roos” onwaar. Dit geeft ons de betekenis van “ontkenning”. We kunnen deze informatie over de betekenis van negatie als volgt in een waarheidstabel weergeven (waarbij T staat voor waar, en F voor onwaar):

Hier, kunnen we elke rij van de waarheidstabel lezen als een manier waarop de wereld zou kunnen zijn. Dat wil zeggen, in situaties of mogelijke werelden waarin A waar is (bijvoorbeeld, waarin Alex inderdaad een zeebrasem is), is A onwaar (het is onwaar dat Alex een zeebrasem is); en vice versa. Zo opgevat geeft een waarheidstabel ons de situaties waarin een stelling als A waar is, en die waarin ze onwaar is. Bovendien geeft de tabel aan in welke situaties A waar is, en in welke situaties A onwaar is.

Op vergelijkbare wijze kunnen we de betekenis van “pijl-recht/pijl” specificeren door de situaties te specificeren waarin voorwaardelijke proposities van de vorm “pijl-recht/pijl” waar zijn, en in welke situaties ze onwaar zijn.

Op vergelijkbare wijze kunnen we de betekenis van “pijl-recht/pijl” specificeren door de situaties te specificeren waarin voorwaardelijke proposities van de vorm “pijl-recht” waar zijn, en in welke situaties ze onwaar zijn. \pijlrechts \textit{B}” waar of onwaar zijn. Hier is de standaard waarheidstabel voor “\Tekstpijl”:

Zoals men kan zien, is er slechts één rij waarin tekst{A} \onwaar is; d.w.z. de tweede rij waarin het consequens onwaar is, maar het antecedent waar. Zoals de eerste rij ons vertelt, als A en B waar zijn, dan is \textit{A} \pijl-recht-recht-textit{B}. Verder vertellen de derde en vierde regel ons dat als het antecedent onwaar is, de hele conditie waar is, ongeacht of het consequent waar of onwaar is. Alle voorwaarden met een onwaar antecedent zijn dus waar.

Maar hoe kan een voorwaarde waar zijn als het antecedent onwaar is? Hier is een suggestie om deze vraag te beantwoorden: als je aanname onwaar is, dan kun je legitiem concluderen wat je maar wilt. Als je bijvoorbeeld aanneemt dat Amsterdam de hoofdstad van Engeland is, dan kun je legitiem alles concluderen; het maakt niet uit of het waar of onwaar is. Dus, uit de veronderstelling dat Amsterdam de hoofdstad van Engeland is, kunt u concluderen dat Parijs de hoofdstad van Frankrijk is. Je kunt ook concluderen dat Parijs de hoofdstad van Brazilië is.

We zien dat een belangrijk stukje informatie dat waarheidstabellen overbrengen, betrekking heeft op hoe de waarheid of onwaarheid van complexe zinnen zoals \textit{A} \en \neg \textit{A} afhangt van de waarheid of onwaarheid van de propositionele letters die ze bevatten: de waarheid of onwaarheid van \textit{A} \hangt uitsluitend af van de waarheid of onwaarheid van A en van B. Evenzo hangt de waarheid of onwaarheid van \neg \textit{A} uitsluitend af van die van A.

Nu kunnen we nagaan of ons argument (1)-(3) geldig is of niet. En, zoals we zo dadelijk zullen zien, hangt de geldigheid of ongeldigheid van een argument af van de betekenis van de logische verbindingswoorden (zoals “rechtlijnig” en “neg”) die door de overeenkomstige waarheidstabellen wordt gespecificeerd. Met andere woorden, als de waarheidstabellen van deze connectieven anders zouden zijn dan ze in werkelijkheid zijn, dan zouden we een andere verzameling geldige argumenten hebben.

We hebben een argument als geldig gedefinieerd als het niet mogelijk is dat de premissen waar zijn en de conclusie onwaar. Door een waarheidstabel op te stellen, kunnen we zien onder welke voorwaarden de premissen (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) en de conclusie (\neg \textit{A}) van ons argument (1)-(3) waar of onwaar zijn:

Omdat in de bovenstaande waarheid-tabel, er geen rij is waarin de premissen (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) waar zijn en de conclusie (\neg A) onwaar, is het argument geldig. De enige rij waarin de premissen allebei waar zijn is de derde rij, en in die rij is de conclusie ook waar. Met andere woorden, er is geen wereld of situatie waarin (1) en (2) waar zijn, maar (3) niet. Dit betekent gewoon dat het argument geldig is.

Nu, beschouw het volgende argument:

1. Als Alex een tijger is, dan is Alex een dier.
2. Alex is geen tijger.
3. / Er zijn situaties waarin het argument prima werkt. Stel bijvoorbeeld dat Alex geen tijger is, maar in feite een tafel. In dat geval zou Alex ook geen dier zijn. En dus zouden de zinnen (4), (5), en (6) waar zijn. Maar dit is niet altijd het geval, want we kunnen ons een situatie voorstellen waarin de premissen waar zijn, maar de conclusie onwaar, bijvoorbeeld wanneer Alex geen tijger is, maar in feite een hond. Door ons de zojuist beschreven situatie voor te stellen, zouden we dus een tegenvoorbeeld hebben geproduceerd: in deze situatie zou (6) onwaar zijn, en dus zou het geen gevolg zijn van (4) en (5). Het argument is ongeldig.

   Dat het argument ongeldig is, kan ook worden geverifieerd met de methode van waarheidstabellen. Want we kunnen een situatie vinden waarin (4) en (5) beide waar zijn en toch (6) onwaar. Dat wil zeggen, in de waarheidstabel, als we (4) voorstellen als \textit{C} \pijlrechts \textit{D}, (5) als \neg \textit{C}, en (6) als \neg \textit{D}, dan is er minstens één rij waarin de premissen waar zijn en de conclusie onwaar (welke rij is dat?):

   (6)

   Waarheidstabel voor argument (4)-(6)

   C	D	Carrow D	neg C	neg D
   T	T	T	F	F
   T	F	F	F	T
   F	T	T	T	F
   F	F	T	T	T

   We zeiden dat logici zich bezighouden met de geldigheid of ongeldigheid van argumenten, en we stelden de methode van waarheidstabellen voor om deze taak uit te voeren. Maar welke argumenten zijn geldig en welke niet? Het is hier dat het begrip logische vorm naar voren komt. Stel dat een logicus de belachelijke taak op zich neemt om elk geldig argument op te schrijven. In dit geval zou zij zeker noteren dat (1)-(3) geldig is. Stel nu dat zij geconfronteerd wordt met het volgende argument:

   1. Als Alice Hegel leest, is zij niet gefrustreerd.
   2. Alice is gefrustreerd.
   3. / Daarom leest Alice Hegel niet.

   Om te zien of dit argument geldig is of niet, kan zij elke zin van het argument in haar logische taal herschrijven: Alice leest Hegel (\textit{P}); Alice is gefrustreerd (\textit{Q}); en, als Alice Hegel leest, dan is Alice niet gefrustreerd) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Zij kan dan een geschikte waarheidstabel ontwerpen, en nagaan of er een rij of situatie is waarin de premissen beide waar zijn en de conclusie onwaar. Omdat zo’n rij niet bestaat (waarom?), zal zij correct meedelen dat het argument geldig is.

   Maar het is duidelijk dat onze logica deze moeite niet hoefde te doen om de geldigheid van (7)-(9) te controleren. Het zou voldoende zijn als zij alleen maar opmerkte dat de twee argumenten (1)-(3) en (7)-(9), en hun respectievelijke waarheidstabellen, in hoge mate gelijksoortig zijn; zij hebben dezelfde vorm. In feite is hun enige verschil dat in het eerste de letters A en B zijn gebruikt, en in het tweede deze zijn vervangen door respectievelijk P en Q. De logische connectieven pijlrecht en nul zijn niet veranderd.

   Om het punt te zien, laten we elk argument vertalen in de taal van de propositielogica die we hierboven hebben geïntroduceerd:

   1. textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
   2. textit{B}
   3. / \daarom \neg \textit{A}
   1. textit{P}
   2. / \daarom \neg \textit{Q}

   De twee argumenten hebben iets gemeen. Laten we zeggen dat wat ze gemeen hebben hun logische vorm is. Zoals je ziet, zijn de logische verbindingswoorden van de argumenten niet veranderd. Aangezien de twee argumenten dezelfde vorm hebben, als het ene geldig is, dan moet het andere ook geldig zijn. Meer in het algemeen zijn alle argumenten van dezelfde vorm geldig. Het bevrijdende nieuws is dat onze logica zich niet hoeft te wijden aan de ergerlijke taak om de geldigheid van elk argument afzonderlijk na te gaan. Want als zij al weet dat een bepaald argument geldig is, en als zij ook kan aantonen dat een ander argument dezelfde vorm heeft als het eerste, dan kan zij er zeker van zijn dat het tweede argument geldig is zonder de waarheidstabel ervan te hoeven ontwerpen.

   We zeiden dat een argument geldig is als het niet mogelijk is dat de premissen waar zijn en de conclusie onwaar. Nu kunnen we zeggen dat elk argument dat zijn vorm deelt met een geldig argument, ook geldig is, en dat bijgevolg elk argument dat zijn vorm deelt met een ongeldig argument, ook ongeldig is. In die zin kan het idee van de logische vorm gebruikt worden om de (on)geldigheid van argumenten vast te stellen. Stel bijvoorbeeld dat we de geldigheid van het volgende argument willen controleren:

   1. Als Alice Russell leest, dan denkt Alice aan logica.
   2. Alice leest Russell niet.
   3. / Daarom denkt Alice niet aan logica.

   Zodra we zien dat (10)-(12) dezelfde vorm heeft als (4)-(6), waarvan we al weten dat het ongeldig is, kunnen we er zeker van zijn dat het eerste ook ongeldig is zonder dat we de waarheidstabel ervan hoeven te construeren.

   Dus zien we dat het begrip geldigheid in termen van logische vorm ons in staat stelt verschillende formele drogredenen te identificeren. Bijvoorbeeld, het argument (10)-(12) is een voorbeeld van de drogreden van de ontkenning van het antecedent. Dus elk argument dat zijn vorm deelt met (10)-(12) is ook ongeldig.

   Er zijn nog drie vragen die we kunnen stellen over logische vormen: (i) Hoe kunnen we de logische vorm “extraheren” uit argumenten die ze delen? Dat wil zeggen, hoe kunnen we aantonen dat verschillende argumenten instanties zijn van een gemeenschappelijke logische vorm? (ii) Wat is de aard van een logische vorm? Is een logische vorm een ding, en zo ja, wat voor ding is het? (iii) Heeft elk argument slechts één logische vorm? In de volgende drie paragrafen zullen we het respectievelijk over deze drie vragen hebben.

   Extractie van logische vormen

   Laten we opnieuw de argumenten (1)-(3) en (7)-(9) beschouwen, die één en dezelfde logische vorm lijken te hebben. Hoe kunnen wij aantonen dat zij een gemeenschappelijke logische vorm hebben? Eerst moeten we ze in logische symbolen weergeven:

   1. \rightarrow \neg \textit{B}
   2. \textit{B}
   3. / \daarom \neg \textit{A}
   1. textit{P} \Om te zien wat deze twee argumenten gemeen hebben, moeten we abstraheren (of negeren of terzijde laten) van de specifieke inhoud van hun specifieke premissen en conclusies, en zo een algemene vorm onthullen die deze argumenten gemeen hebben. Zo moeten we bijvoorbeeld negeren of Alex al dan niet een roos is; het enige dat telt is “Alex is een roos” te vervangen door B. In die zin moeten we, om de logische vorm van een argument te verkrijgen of te extraheren, abstraheren van de inhoud van de premissen en de conclusie door ze te beschouwen als loutere plaatshouders in de vorm die het argument aanneemt. Zoals u wellicht hebt opgemerkt, onttrekken wij ons niet aan de inhoud van de logische connectieven. Het is een belangrijke vraag waarom wij niet abstraheren van de logische connectieven. De basisgedachte is dat hun betekenis een belangrijk deel uitmaakt van de logische vorm van een argument, en daarmee van de (on)geldigheid ervan.

      Om over logische vormen te spreken, zullen we de Griekse kleine letters gebruiken, zoals \alpha, \beta, \gamma, en \delta. Zo kunnen we de logische vorm die (1)-(3) en (7)-(9) gemeen hebben als volgt weergeven:

      1. alpha \rightarrow \neg \beta
      2. \beta
      3. / \daarom \neg \alpha

      Een analogie kan hier helpen: In de wiskunde denken we na over bepaalde rekenkundige stellingen zoals “1 + 2 = 2 + 1” en “0 + 2 = 2 + 0.” Maar als we willen veralgemenen, gebruiken we formules die variabelen bevatten, en geen specifieke getallen. Bijvoorbeeld, “x + y = y + x” drukt iets algemeens uit over het gedrag van de natuurlijke getallen. Voor welke natuurlijke getallen x en y ook staan, “x + y = y + x” blijft waar. Hetzelfde geldt voor de variabelen \alpha, \beta, \gamma, en \delta, die ons in staat stellen om op een algemene manier te spreken over de premissen en conclusies van argumenten. Welke betekenis men ook geeft aan de variabelen \alpha en \beta, d.w.z. welke proposities men ook uitdrukt, (i)-(iii) blijft geldig, evenals alle instanties ervan, zoals (1)-(3) en (7)-(9).

      Zoals boven vermeld, kan men door een bepaalde logische vorm te extraheren, op een algemene manier spreken over premissen en conclusies van argumenten. Het doet er niet toe over welke specifieke objecten en eigenschappen – over welk specifiek onderwerp – zij het hebben. En dit brengt ons weer bij onze aanvankelijke zorg over het werkelijke onderwerp van de logica:

      De vorm kan dus onafhankelijk van het onderwerp worden bestudeerd, en het is vooral op grond van de vorm, zo blijkt, en niet zozeer op grond van het onderwerp, dat argumenten geldig of ongeldig zijn. Het zijn dus de vormen van argumenten, en niet de eigenlijke argumenten zelf, die de logica onderzoekt. (Lemmon 1971, 4)

      Volgens deze opvatting van de logica zijn logici in staat de geldigheid van een argument te beoordelen, ook al begrijpen zij niet precies wat de inhoud is van de beweringen binnen het argument, noch onder welke omstandigheden deze waar zouden zijn. Of de beweringen in een argument al dan niet waar zijn, is dus geen zaak voor de logica. Wat de logica doet, is de logische vormen van argumenten onderzoeken, en zo hun (on)geldigheid vaststellen.

      De aard van logische vormen

      In dit en het volgende deel zullen we meer filosofische zaken bekijken. In deze sectie zullen wij onze tweede vraag bespreken: wat is de aard van een logische vorm? De vraag naar de aard van een logische vorm doet denken aan de oude vraag naar de aard van universalia. Alle rode rozen hebben iets gemeen; ze delen of instantiëren allemaal iets. Maar wat is dat ding, als het al een ding is? Is de eigenschap rood te zijn verwant aan een Platoons universeel iets dat onafhankelijk bestaat van de rode rozen die het instantiëren? Of is het een Aristotelische universele waarvan het bestaan afhangt van het bestaan van de specifieke rozen? Misschien bestaat het helemaal niet en is het niets meer dan een naam of een etiket dat we gebruiken om over rode rozen te praten. We kunnen precies dezelfde vragen stellen over logische vormen: Wat is het dat alle geldige argumenten van dezelfde vorm delen of instantiëren? Is het een entiteit in de wereld, of een symbool in de taal, of een mentale constructie door ons gevormd en gecreëerd? Er zijn, in het algemeen, twee denkrichtingen. Volgens de eerste zijn logische vormen schemata, en dus linguïstische entiteiten. Volgens de tweede zijn logische vormen eigenschappen: het zijn extra-linguïstische entiteiten, verwant aan universalia. Zij zijn wat schema’s uitdrukken of vertegenwoordigen. (Een analogie kan hier helpen: De uitdrukking “is gelukkig” is een predicaat; het is een linguïstisch item. Maar het drukt een extra-linguïstische entiteit uit, zoals de eigenschap gelukkig te zijn.)

      Het identificeren van logische vormen met schemata lijkt vrij intuïtief. Maar het leidt tot een denkfout. Zoals Timothy Smiley opmerkt, ligt de denkfout in het “behandelen van het medium als de boodschap” (Smiley 1982, 3). Beschouw de logische vorm van (1)-(3):

      1. alpha \rightarrow \neg \beta
      3. / \daarom \neg \alpha

      Je kunt met evenveel recht de logische vorm van (1)-(3) identificeren met:

      1. gamma
      2. gamma

      En weer een andere logicus kan er de voorkeur aan geven de logische vorm vast te leggen met een aparte verzameling variabelen:

      1. chi \rightarrow \neg \delta
      2. delta
      3. / \daarom \neg \chi

      Welke van deze vormen is de logische vorm van (1)-(3)? Er zijn veel verschillende manieren om de logische vorm vast te leggen. Welke daarvan heeft het recht om als de logische vorm van (1)-(3) te worden gekwalificeerd? Deze vraag dringt zich op als logische vormen worden opgevat als schemata, en dus als linguïstische entiteiten. Als een logische vorm slechts een reeks symbolen is, dan varieert zij door gebruik te maken van een afzonderlijke reeks variabelen. Er zal geen niet-arbitraire manier zijn om de ene logische vorm te kiezen tegenover de andere als de logische vorm van een gegeven argument. Met andere woorden, er valt niets te kiezen tussen deze linguïstisch verschillende entiteiten en dus kan geen van hen worden geïdentificeerd met de logische vorm van het oorspronkelijke argument.

      Dit kan ons ertoe aanzetten logische vormen te identificeren als taalonafhankelijke of taalinvariante entiteiten. In deze opvatting worden logische vormen niet geïdentificeerd met schemata, maar met wat schemata uitdrukken of vertegenwoordigen. Het zijn eerder wereldlijke dan taalkundige entiteiten. Deze opvatting bezwijkt niet onder het bovengenoemde probleem. Aangezien logische vormen in deze opvatting wereldlijke entiteiten zijn, is geen van de bovenstaande kandidaten – i)-(iii), (iv)-(vi), en (vii)-(ix)-de logische vorm van (1)-(3). Integendeel, elk van hen drukt zijn logische vorm uit of vertegenwoordigt die.

      Een logische vorm of vele?

      Het lijkt er dan op dat we beter af zijn als we aannemen dat logische vormen wereldlijke entiteiten zijn. Maar ook daarmee zijn we er nog niet helemaal uit. Tot nu toe hebben we aangenomen dat logische vormen unieke entiteiten zijn. Dat wil zeggen, we zijn ervan uitgegaan dat argumenten als (1)-(3) en (7)-(9) één en dezelfde logische vorm hebben. Maar is dat wel zo?

      In het algemeen kunnen objecten vele vormen aannemen. Een bepaald sonnet kan bijvoorbeeld zowel Petrarcaans als Miltoniaans zijn, en een vaas kan zowel een kubus als een kubus zijn. Ook lijkt het erop dat een enkele zin vele (althans meer dan één) vormen kan aannemen. Neem nu \neg(\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Wat is de logische vorm? Het lijkt erop dat elk van de volgende opties prima werkt als antwoord op onze vraag: het is een negatie; het is een negatie van een voorwaardelijke; en het is een negatie van een voorwaardelijke waarvan de consequentie een negatie is.

      Nu, stel dat elk van deze logische vormen een logische vorm is van een gegeven argument. Op grond waarvan is elk van hen een logische vorm van een en hetzelfde argument? Dat wil zeggen, wat verklaart het feit dat verschillende logische vormen vormen zijn van een en hetzelfde argument? Wat verenigt hen in dit opzicht? Eén antwoord is te zeggen dat al deze vormen een gemeenschappelijke logische vorm hebben. Maar dan kun je dezelfde vraag stellen over deze gemeenschappelijke logische vorm, want juist deze vorm heeft weer andere verschillende vormen. Op grond waarvan zijn deze logische vormen vormen van één en dezelfde vorm? En dit proces kan eindeloos doorgaan. Je hebt een logische vorm die zelf weer andere logische vormen heeft, enzovoort. Maar dit is niet verenigbaar met de stelling dat logische vormen unieke entiteiten zijn.

      Het lijkt erop dat we niet altijd kunnen spreken van de logische vorm die een argument of verschillende argumenten delen. Als deze opvatting juist is, wat zijn dan de filosofische implicaties ervan? Kunnen we het begrip geldigheid nog begrijpen in termen van het begrip logische vorm?

      Samenvatting

      Dit hoofdstuk begon met een vraag over het onderwerp van de formele logica: wat is het dat de formele logica bestudeert? We bespraken de stelling dat de formele logica logische consequenties bestudeert door middel van de vorm van argumenten. Vervolgens hebben we het begrip geldigheid uitgelegd in termen van waarheidstabellen, die de voorwaarden specificeren waaronder een propositie waar of onwaar is – bijvoorbeeld, een voorwaardelijke propositie is alleen onwaar als haar antecedent waar is en haar gevolg onwaar; anders is zij waar. Zoals we hierboven hebben besproken, kunnen waarheidstabellen dus worden gebruikt om te bepalen of argumenten die in de taal van de propositielogica zijn geformuleerd, geldig zijn.

      Vervolgens zijn we dieper ingegaan op wat het betekent dat argumenten een logische vorm hebben, en hoe hun logische vorm van invloed is op hun (on)geldigheid. Het hoofdidee is dat elk argument dat zijn logische vorm deelt met een geldig argument, ook geldig is, en dat bijgevolg elk argument dat zijn logische vorm deelt met een ongeldig argument, ook ongeldig is. We zagen hoe dit begrip van het begrip geldigheid ons in staat stelt om formele drogredenen te identificeren, zoals de drogreden van het bevestigen van het consequente. We sloten dit hoofdstuk af met drie filosofische vragen over de aard, het bestaan en de uniciteit van logische vormen.

      Oefening één

      Gebruik makend van een waarheidstabel, toon aan dat het volgende argument, dat bekend staat als de drogreden van het bevestigen van het consequens, ongeldig is: A/pijltje B, B; / daarom A.

      Oefening twee

      Ontdek met behulp van een waarheidstabel dat het volgende argument, dat bekend staat als het hypothetisch syllogisme, ongeldig is: A/pijl B, B/pijl C; /daarom A/pijl C.

      Oefening drie

      Gebruik de waarheidstabellen die u reeds gegeven zijn voor de voorwaardelijkheid (pijltje naar rechts) en de ontkenning (negatie), en de twee nieuwe waarheidstabellen voor voegwoord (wenkbrauw) en loswoord (loskoppeling) hieronder, die gebruikt worden om veelvoorkomend gebruik van respectievelijk het spreekwoordelijke ‘en’ en ‘of’ logisch uit te drukken:

      Waarheidstabel voor conjunctie

      A	B	A \wedge B
      T	T	T
      T	F	F
      F	T	F
      F	F	F

      Waarheidstabel voor disjunctie

      A	B	A \ B
      T	T	T
      T	F	T
      F	T	T
      F	F	F

      Bepaal of de volgende argumenten geldig of ongeldig zijn. Stel eerst hun logische vorm vast, en gebruik dan waarheidstabellen om hun (on)geldigheid vast te stellen.

      1. We kennen nu de situatie. De Yankees moeten de Red Sox verslaan of ze halen de World Series niet, en het eerste zullen ze niet doen.
      2. Sarah zal alleen slagen voor het examen discrete wiskunde als ze haar verzamelingenleer kent. Gelukkig kent ze de verzamelingen goed, dus ze zal het examen halen.
      3. Het is gewoon niet zo dat je een liberaal en een Republikein kunt zijn, dus of je bent geen Republikein of je bent geen liberaal.
      4. Als Dylan rechten of medicijnen gaat studeren, komt het financieel wel goed met hem. Gelukkig gaat hij rechten studeren.
      1. Het is nauwkeuriger om te zeggen dat elk argument dat zijn vorm deelt met een ongeldig argument ook ongeldig is binnen die logica, maar niet noodzakelijk voor elke logica. In de propositielogica bijvoorbeeld heeft
         1. Alle mensen zijn sterfelijk
         2. Socrates is een man
         3. / dus Socrates is sterfelijk

         dezelfde logische vorm als:

         1. Alle mensen zijn onsterfelijk
         2. Socrates is een man
         3. / \daarom is Socrates sterfelijk

         Beide argumenten kunnen als volgt vertaald worden:

         1. P
         2. Q
         3. / \daarom R

         Maar (4)-(6), in tegenstelling tot (1)-(3), is ongeldig, want als alle mensen onsterfelijk zijn en Socrates is een man, dan is Socrates onsterfelijk. In de propositielogica hebben beide argumenten dus dezelfde logische vorm, ook al is, vanuit het perspectief van een meer expressieve logica, zoals de eerste-orde logica, die de rol verklaart die kwantoren als “alle” en “sommige” in argumenten spelen, alleen het eerste geldig. Elk argument dat zijn vorm deelt met een geldig argument is dus geldig binnen die logica, maar niet noodzakelijkerwijs over de hele linie. ↵

      2. Zie Oliver (2010, 172), waar hij het oneens is met Strawson (195, 54). ↵
      3. Deze manier van formuleren is te danken aan Smith (2012, 81). ↵
      4. Dit doet denken aan het Aristotelische Derde Mens-argument tegen Plato’s theorie van de Vormen. ↵

      (Ook wel sententiële logica genoemd.) Een door filosofen gebruikte formele logica die de logische relaties tussen proposities bestudeert door onderscheid te maken tussen atomaire proposities, zoals “Bob houdt van zwemmen” en “Bob heeft de 50 meter vrije slag gewonnen”, en de speciale logische termen die deze proposities met elkaar verbinden, bekend als de logische connectieven. Voorbeelden van deze verbindingswoorden zijn “en” (bekend als conjunctie), “of” (bekend als splitsing), “niet” (bekend als negatie), en “als…dan…” (bekend als de materiële voorwaardelijkheid). Volgens de propositielogica kan de geldigheid van argumenten vaak worden verklaard aan de hand van het gedrag van de logische connectieven binnen de argumenten.

      Een argument waarin het onmogelijk is dat de premissen waar zijn en de conclusie onwaar.

      Die onderdelen van een taal die volgens de formele logica een belangrijke rol spelen bij de (on)geldigheid van een argument.

      Een propositie van de vorm “Als A dan B”, die twee eenvoudiger proposities A en B verbindt. De A in een conditionele staat bekend als het antecedent, en B als het consequent.

      De diepe, verborgen vorm van een argument door het voorkomen van de logische connectieven erbinnen. Volgens de formele logica speelt de logische vorm een belangrijke rol bij het dicteren van de (on)geldigheid van een argument.