Het afschuivingseffect dat optreedt in gebogen constructies werd al in de negentiende eeuw opgemerkt, en in detail bestudeerd voor homogene en gelaagde constructies in de twintigste eeuw. Veronderstelling van een juiste theorie van de vervorming van de rechte lijn normaal aan het neutrale oppervlak maakt een basis voor analytische modellering van heterogene constructies, vooral die met mechanische eigenschappen variërend in de wanddikte-richting.

Reddy ontwikkelde een theoretisch model van buiging van functioneel ingedeelde rechthoekige platen rekening houdend met het afschuivingseffect. Een gedetailleerde analyse wordt gemaakt rekening houdend met de eerste en derde orde afschuifvervormingstheorie. Zenkour stelde een veralgemeende afschuifvervormingstheorie voor en de toepassing ervan op de analyse van functioneel ingedeelde rechthoekige platen onderworpen aan een uniform verdeelde belasting. Het transversale afschuivingseffect wordt in detail bestudeerd. Aydogdu stelde een nieuwe afschuivingsvervormingstheorie voor gelamineerde samengestelde platen voor. Deze theorie voldoet precies aan de voorwaarden voor nulstelling van de afschuifspanningen op het boven- en onderoppervlak van de plaat. Reddy presenteerde een herformulering van de klassieke en afschuifvervormingstheorieën voor balken en platen, rekening houdend met de niet-lokale differentiële constitutieve relaties van Eringen en de niet-lineaire spanningen van von Kármán. De evenwichtsvergelijkingen van de niet-lokale balkentheorieën en de klassieke en eerste-orde afschuivingsdeformatietheorieën van platen worden geformuleerd. Carrera et al. beschreven in detail klassieke en geavanceerde theorieën, waaronder: de grondbeginselen van de theorie van vervormbare lichamen, Euler-Bernoulli en Timoshenko theorieën van balken, niet-lineaire theorieën, b.v. de parabolische, kubische, kwartische, en n-orde balktheorieën, alsmede modellering van balken gemaakt van functioneel gesorteerde materialen. Meiche et al. presenteerden een nieuwe hyperbolische afschuivingsvervormingstheorie aan de hand van het voorbeeld van knik- en vrije trillingsanalyse van dikke functioneel ingedeelde sandwichplaten. Deze theorie is perfecter in vergelijking met de eenvoudige afschuivingsvervormingstheorieën van Mindlin en Reissner. Bovendien geeft zij een parabolische variatie van de transversale afschuifspanningen over de dikte, en ook hun nulstelling op buitenoppervlakken. Thai en Vo ontwikkelden verschillende hogere-orde afschuivingsvervormingstheorieën voor het testen van buiging en vrije trilling van functioneel ingedeelde balken. Deze theorieën houden rekening met de hogere-orde variatie van de transversale afschuifspanning in de diepterichting van de balk, en voldoen aan de spanningsvrije randvoorwaarden aan de boven- en onderzijde van de balk. Thai en Vo ontwikkelden een nieuwe sinusoïdale afschuivingsvervormingstheorie voor functioneel ingedeelde rechthoekige platen. Deze theorie beschrijft de sinusoïdale verdeling van de transversale afschuifspanning en voldoet aan de voorwaarden voor nulstelling van de afschuifspanning op de buitenoppervlakken van de plaat. Gedetailleerde proeven betreffende buiging, knik en trilling van deze platen zijn uitgevoerd.

Akgöz en Civalek stelden een nieuw hogere-orde afschuifvervorming analytisch balkmodel voor met inachtneming van de spanningsgradiënt elasticiteitstheorie. Dit model beschrijft de microstructurele en afschuivingsvervormingseffecten zonder de noodzaak van afschuivingscorrectiefactoren. De problemen van statische buiging en vrije trilling van eenvoudig ondersteunde microbalken worden onderzocht. Grover et al. stelden een nieuwe inverse hyperbolische afschuivingsvervormingstheorie voor van gelamineerde samengestelde en sandwichplaten. Deze theorie is geformuleerd op basis van de vormfunctie van de schuifspanning en gevalideerd door numerieke studies van het buig- en knikprobleem van rechthoekige platen. Sahoo en Singh stelden een nieuwe inverse trigonometrische zig-zag theorie voor gelamineerde composiet- en sandwichplaten voor. Deze theorie verzekert de continuïteitsvoorwaarden aan de laaginterfaces en nulstelling van de afschuifspanning op de buitenoppervlakken van de plaat. Het effectieve eindige elementen model wordt ontwikkeld voor numerieke studies van statische problemen van deze platen. Xiang verbeterde de n-orde afschuifvervormingstheorie met inachtneming van de voorwaarde voor nulstelling van de afschuifspanning op de buitenoppervlakken van de functioneel ingedeelde balk. De vrije trillingsproblemen van deze balk worden geanalyseerd. Kumar en Chakraverty stelden vier nieuwe inverse trigonometrische afschuivingsvervormingstheorieën voor om de vrije trilling van isotrope dikke rechthoekige platen te bestuderen. De theorieën zorgen ervoor dat aan de transversale spanningsrandvoorwaarden op beide plaatoppervlakken wordt voldaan. Een convergentietest en validatie werd uitgevoerd met de gevallen uit de beschikbare literatuur. Mahi et al. presenteerden een nieuwe hyperbolische afschuivingsvervormingstheorie die buiging en vrije trilling beschrijft van isotrope, functioneel ingedeelde, sandwich- en gelamineerde samengestelde platen. De benadering vereist geen afschuivingscorrectiefactor. Op basis van het principe van Hamilton werd de energiefunctie van het systeem verkregen. De nauwkeurigheid van de methode werd aangetoond door vergelijkingen met de numerieke oplossing van het probleem.

Darijani en Shahdadi stelden een nieuwe vervormingstheorie van de plaat voor met inachtneming van de afschuifvervormingen. De transversale afschuifspanningen variëren over de plaatdikte volgens een power-law relatie. Het boven- en onderoppervlak van de plaat zijn vrij van afschuifspanningen. De regerende vergelijkingen en randvoorwaarden van de plaat worden afgeleid met gebruikmaking van het principe van Hamilton. De resultaten zijn vergelijkbaar met die welke met theorieën van hogere orde worden verkregen. Lezgy-Nazargah beschouwde de thermo-mechanische verschijnselen in de balken van een functioneel samengesteld materiaal. Hiervoor werd een verfijnde hoge-orde-theorie gebruikt, terwijl het in-vlak verplaatsingsveld werd weergegeven door polynomiale en exponentiële uitdrukkingen. De aldus verkregen numerieke resultaten werden vergeleken met de oplossingen van andere auteurs. Sobhy gebruikte een nieuwe vier-variabele afschuivingsvervormingstheorie voor het weergeven van trillingen en knikken van functioneel ingedeelde sandwichplaten ondersteund door elastische funderingen. De bewegingsvergelijkingen werden afgeleid op basis van het principe van Hamilton. De geldigheid van de theorie werd geverifieerd door vergelijking van de verkregen resultaten met de voorgaande. Sarangan en Singh ontwikkelden verschillende nieuwe afschuivingsvervormingstheorieën voor de analyse van het statische, knik- en vrije trillingsgedrag van gelamineerde samengestelde en sandwichplaten. De theorieën verzekeren de nulstelling van de transversale afschuifspanningen aan de buitenoppervlakken van de plaat. De nauwkeurigheid van de modellen werd positief geverifieerd door vergelijking met de resultaten van 3D-elasticiteitsoplossingen en bestaande theorieën. Chen et al. onderzochten de vrije en gedwongen trillingen van functioneel ingedeelde poreuze balken. De Timoshenko balkentheorie met inachtneming van het effect van dwarsdwarsverdraaiing maakte het mogelijk de bewegingsvergelijking af te leiden. Deze benadering maakte het mogelijk de natuurlijke frequenties en de dynamische doorbuigingen te berekenen voor poreuze balken die aan verschillende belastingstoestanden worden onderworpen. Singh en Singh behandelden gelamineerde en driedimensionale gevlochten samengestelde platen. De auteurs ontwikkelden twee nieuwe afschuivingstheorieën voor dit doel. De leidende differentiaalvergelijkingen werden geformuleerd op basis van het principe van virtueel werk. De resultaten verkregen met behulp van de eindige elementen methode bevestigden de goede effectiviteit van beide voorgestelde theorieën. Shi et al. formuleerden een nieuwe afschuivingstheorie die toepasbaar is voor vrije trillingen en knikanalyse van gelamineerde composietplaten. De theorie verzekert het verdwijnen van de afschuifspanningen aan de oppervlakken van de platen. Bovendien zijn de afschuivingscorrectiefactoren niet vereist. De in de literatuur beschikbare oplossingen bevestigden de hoge nauwkeurigheid en efficiëntie van de nieuwe methode. Thai et al. stelden een eenvoudige balkentheorie voor die gebruikt wordt voor de analyse van statische buiging en vrije trilling van isotrope nano-balken. De leidende vergelijking werd afgeleid op basis van de evenwichtsvergelijkingen van de elasticiteitstheorie. Analytische oplossingen werden verkregen voor niet-lokale balken, waarbij verschillende soorten randvoorwaarden werden opgelegd. Verificatie heeft een goede nauwkeurigheid en effectiviteit van de theorie aangetoond. Pei et al. werkten een aangepaste hogere-orde theorie uit van functioneel geklasseerde balken met gebruikmaking van het principe van virtueel werk. De theorie maakt onderscheid tussen het zwaartepunt en het neutrale punt van de doorsnede. Bovendien wordt de relatie met de traditionele hogere-orde theorie uitgelegd, wat een vergelijkende studie van verschillende hogere-orde beam theorieën vereenvoudigt. Kumar et al. analyseerden functioneel gegradeerde materiaalplaten met behulp van twee eigen nieuwe hogere orde dwarsvervormingstheorieën. Het energieprincipe werd gebruikt om de regerende differentiaalvergelijking van de plaat af te leiden. De verkregen resultaten van doorbuiging en spanningen werden vergeleken met andere gepubliceerde gegevens. De effecten van verschillende belastingstypes, overspanning/dikte-verhouding, en gradatie-index werden onderzocht. Magnucki en Lewiński beschouwden eenvoudig ondersteunde balken met symmetrisch variërende mechanische eigenschappen in de lengterichting, onderworpen aan verschillende belastingtypes – van gelijkmatig verdeeld tot geconcentreerd. De vervorming van een vlakke doorsnede van een balk na buiging werd bepaald op basis van een eigen niet-lineaire “polynomiale” hypothese. De differentiële evenwichtsvergelijking werd geformuleerd op basis van de definities van buigmoment en dwarskracht en vervolgens opgelost voor verschillende balkvoorbeelden. Magnucki et al. stelden een nieuwe formulering voor van de functies die de variatie van de mechanische eigenschappen van een balk in de lengterichting bepalen. De benadering bestaat in een veralgemening die het mogelijk maakt homogene, niet-lineair variabele en sandwichconstructies te beschrijven met gebruikmaking van een universeel analytisch model. De bewegingsvergelijkingen werden afgeleid op basis van het principe van Hamilton en analytisch opgelost. De resultaten werden geverifieerd met FEM-berekeningen. Katili et al. stelden een hogere-orde balkelement met twee knopen voor om de statische en vrije trillingsproblemen op te lossen. De Timoshenko-balktheorie werd gewijzigd om op de juiste wijze rekening te houden met het transversale afschuivingseffect. De doeltreffendheid van de aanpak werd geverifieerd door vergelijking met andere in de literatuur gepubliceerde gegevens. Lezgy-Nazargah ontwikkelde een globaal-lokale afschuivingsvervormingstheorie die het statische en dynamische gedrag van dunne en dikke gelaagde gekromde balken nauwkeurig voorspelt. De variatie van de afschuifspanning in de richting van de balkdikte wordt benaderd door een parabolische functie. Nulstelling van de afschuifspanning op de balkgrensvlakken wordt verzekerd zonder de noodzaak van een afschuifcorrectiecoëfficiënt. De resultaten verkregen uit statische en vrije trillingsberekeningen worden positief gevalideerd door die berekend met FEM.

Het hoofddoel van dit artikel bestaat in het verbeteren van de afschuivingsvervormingstheorie van buiging in geval van symmetrisch variërende mechanische eigenschappen van het materiaal in de dieptelijn van de dwarsdoorsnede. De individuele niet-lineaire functie van de vervorming van de vlakke doorsnede wordt voorgesteld. De verbeterde afschuivingsvervormingstheorie wordt toegepast op de voorbeeldliggers, waarvan het analytisch model is ontwikkeld. Het analytische model van deze balken is ontwikkeld. De analytische resultaten worden vergeleken met die verkregen met een FEM numerieke benadering. Het gepresenteerde probleem van buigbalken met inachtneming van het afschuivingseffect is een voortzetting van het onderzoek dat is ingediend door Magnucki en Lewinski en Magnucki e.a. .