指数とは、累乗または指数のことです。 指数または累乗は、ある数字が繰り返し掛け合わされる回数を表します。 たとえば、53という数字があったら、それは5が3回掛け合わされたことを意味します。 言い換えると、53 = 5 x 5 x 5 = 125です。

指数式は、bで示される底とnで示される指数の2つの部分から構成されています。

この記事では、指数の掛け算を学びますので、指数の問題に取り組むのがより快適になるはずです。

「指数の掛け算」には、次のようなサブトピックがあります。

• 同じ底を持つ指数の掛け算
• 異なる底を持つ指数の掛け算
• 負の指数の掛け算
• 指数と分数の掛け算
• 負の指数の掛け算
• 負の指数の掛け算
指数と分数の掛け算
指数と分数の掛け算
• 負の指数の掛け算
負の指数の掛け算 負の指数の掛け算 分数の指数
• 変数の指数との乗算
• 平方根の指数との乗算
• 同じ底の指数との乗算
• 底が違う指数の掛け算
• 練習問題
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同じ底の指数との乗算

同じ底の指数との乗算の場合。 指数を足し合わせる。 底が同じ場合の指数の足し算の法則は、次のように一般化できる。 a n x a m = a n+ m

例1

• m⁵× m³ = (m × m × m × m) × (m × m × m)

となる。

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-)3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²

底が違う指数の掛け算

底が違うが指数が同じ二つの変数を掛け合わせるときは、単に底を掛け合わせて同じ指数を置くだけである。 この法則は次のようにまとめられます。

a n・b n = (a ⋅ b) n

例2

• (x3) *(y3) = xxx*yy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

指数と基数がともに違う場合、指数と基数はともに同じである。 の場合、それぞれの数を別々に計算し、その結果を掛け合わせる。 この場合、式は次のようになります：a n ⋅ b m

例3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576
• 負の指数を掛けるには？

同じ底と負の指数の数には、指数を足せばいいのです。 一般に：a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

例4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.となります。0078125

同様に、底が違っていて指数が同じ場合は、まず底を掛け合わせて指数を使います。

a -n x b -n = (a x b) -n

例5

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.である。0069444
• 指数付きの分数のかけ算は？

同じ底を持つ分数をかけるときは、指数を足し算にします。 例えば：

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

例6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0.83 = 0.8 x 0.8 x 8 = 0…となる。512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16
• 分数指数の掛け算はどうすればよいのでしょうか？

この場合の一般式は、a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

例7

• 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63)=√216 = 14.7

同様に、基数は同じだが指数が異なる分数指数は、a (n/m) x a (k/j) = a

例8

• 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7.127

指数のある平方根はどう乗せるか？

底が同じ指数については、指数を足せばいいのです。

(√a)n×(√a)m = a (n+m)/2

例9

• (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = = となる。 53 = 125
• 変数と指数の乗算

同じ底を持つ指数についてです。 は、指数を足すことができます。

xn * x m = x n + m

例題10

• x2* x3 = (x * x) ・ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

練習問題

1. 直方体の長さは横長の2乗である。 この長方形の面積を64平方単位とすると、長方形の長さを求めよ＜1922＞＜3140＞光が太陽から地球まで行くのに5×102秒かかる。 光の速さを3×108m/sとすると、太陽と地球の間の距離はいくらか。

答え

1. 4単位
2. 1.5 × 1011 m

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