哲学入門。 論理学

12月 9, 2021
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この章では、形式論理学の本質に関するいくつかの哲学的な問題について論じます。 特に、論理形式の概念、論理形式を捉える形式論理の目標、論理形式の観点からの妥当性の説明などに注目する。 また、このような妥当性の概念の理解によって、論理形式に起因する議論の誤りである形式的誤謬と呼ばれるものをどのように特定することができるかを見る。 また、論理形式の性質に関するいくつかの哲学的な問題についても議論する。 簡単のために、命題論理に焦点を当てることにする。 物理学は物質の性質を、歴史学は過去に何が起こったかを、生物学は生物の発生と進化を、数学は数、集合、幾何学的空間などを研究対象としている。 しかし、論理学は何を研究しているのだろうか。 1381>

これは本質的に哲学的な質問ですが、その答えは論理的な規則と推論の状態と動作についての考察を必要とします。 教科書では一般に、論理学は有効な議論の前提条件と結論の間に成り立つ帰結関係の科学であり、その前提条件が真で結論が偽であることが不可能であれば、議論は有効であるとしている。 論理学が有効な議論の前提条件と結論の間に成り立つ帰結の関係の科学であるならば、論理学者は議論の結論がその前提条件の帰結であるか否かに関心を持つことになると言える。 たとえば、次のような議論を考えてみましょう。

  1. If Alex is a sea bream, then Alex is not a rose.
  2. Alex is a rose.
  3. / \therefore Alex is not a sea bream.

（1）と（2）は真で（3）が偽ということはないことが示されるでしょう。 したがって、この議論はすべて有効である。 便宜上、この論証の各文を、様々な命題の構造や意味を分析することを目的とした標準的な命題論理に置き換えて表現してみましょう。 そのためには、まず論理の言語を紹介しなければならない。

命題論理のアルファベットには、文を表す文字が含まれている。 A, B, C, といった具合である。 例えば、”Alex is a rose “はBだけで訳せますし、同様に、”I would love to smell it “はSで訳せます。 命題論理のアルファベットには、他にも論理接続詞と呼ばれる記号があります。 その1つは、”ではない”、つまり否定を表す記号（ \neg ）です。 アレックスはバラではない」というのは、「アレックスがバラであることは事実ではない」ということです。 アレックスはバラだ」をBと訳すと、「アレックスはバラではない」と訳すのです。 もうひとつは、”もし…ならば… “という形の条件文の記号（ \rightarrow ）である。 例えば、”アレックスがバラなら、私はその匂いを嗅ぎたい “は、”B \rightarrow A. “と訳すことができるのです。 もしアレックスがバラなら、私はその匂いを嗅ぐのが好きだ」と言うと、「アレックスがバラであるという条件で、私はその匂いを嗅ぐのが好きだ」という条件付きのことを言うのである。 一般に、条件文には2つの要素がある。 最初の構成要素を先行詞、2番目の構成要素を帰結詞、そして命題全体を条件文と呼ぶ。 また、我々の論理学には、接続詞として知られる “and” (\wedge) と、離接子として知られる “or” (\vee) がある。 しかし、この章では、否定と条件のみを扱う。

したがって、「アレックスは鯛である」をAで表すと、(1)はA \rightarrow \neg Bで表し、上記の(1)～(3)を次のように表現することができます。

  1. A ╱B
  2. B
  3. / ╱A

しかし、我々の目的はこの議論がなぜ成立するのかを検討することだったことを思い出してください。 論証の有効・無効を検証するには、”not “を”˶‾‾‾”で、”if‾‾‾”を “rightarrow “で表現するだけでは不十分で、これらの記号とそれが表す命題の意味を知らなければならないのである。 しかし、「♪neg」や「♪rightarrow」の意味はどのように特定できるのでしょうか。

「Aが真ならば、その否定は偽であり、その逆も真である」というのはもっともなことです。 たとえば、「アレックスはバラだ」が真なら、「アレックスはバラではない」は偽です。 このことから、”neg “の意味がわかります。 この否定の意味を真理値表で表すと、次のようになります（Tは真、Fは偽）。

Truth table for negation
A Negative A
T F
F T

ここです。 真理値表の各行が、世界のありうる姿として読めるのである。 つまり、Aが真である状況または可能世界（例えば、アレックスが本当に鯛である場合）において、 \textit{A} は偽（アレックスが鯛であることは偽）であり、その逆もまた然りである。 このように、真理値表はAのような命題が真となる状況と偽となる状況を与えてくれます。 同様に、” \textit{A}” という形の条件付き命題がどのような状況で真になり、どのような状況で偽になるかを指定することで、”rightarrow” の意味を特定することができる。 \rightarrow \textit{B}” が真か偽か。 以下は”˶‾‾‾˶”の標準的な真理値表です。

のようになります。

Truth table for material conditional
A B A \rightarrow B
T T T
T F F
F T T

見てわかるように。 が1行だけあります。 \つまり、2行目は結果論が偽で先行詞が真なのです。 1行目からわかるように、AとBの両方が真であれば、♪textit{A}も真である。 \୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘) さらに、3行目と4行目から、先行詞が偽であれば、結果詞が真か偽かにかかわらず、条件全体が真であることがわかります。 したがって、先行詞が偽の条件文はすべて真である。

しかし、先行詞が偽の場合、条件文が真であることはあり得るのだろうか。 この質問に答えるための一つの提案です。もしあなたの前提が偽であるなら、あなたは合法的にどんな結論でも出すことができます。 例えば、アムステルダムがイギリスの首都であると仮定すれば、それが真か偽かは関係なく、どんなことでも正当に結論づけることができます。 したがって、アムステルダムがイギリスの首都であるという仮定から、パリがフランスの首都であると結論づけることができる。 1381>

このように、真理値表が伝える重要な情報の1つは、「textit{A}」のような複雑な文の真偽がどのように決まるかに関わるものであることが分かる。 \rightarrow \textit{B} and \neg \textit{A} depends on truth or falsity of their propositional letters contain: \textit{A} の真実性または虚偽性は、これらの命題文字に依存します。 \同様に、”neg \textit{A}” の真偽は “A” の真偽にのみ依存します。 そして、これから見るように、論証の有効・無効は、対応する真理値表によって規定される論理接続詞（例えば、”Ⓐライトアロー”、”Ⓑネグ”）の意味によって決まるのである。 言い換えれば、もしこれらの接続詞の真理値表が実際と異なっていれば、我々は異なる有効な論証のコレクションを持つことになる。 真理値表を設計すれば、我々の議論(1)～(3)の前提( \textit{A}, \textit{B}) と結論( \neg \textit{A})がどんな条件の下で真か偽かが分かる。

。

Truth table for argument (1)-(3)(3)
A B NTEG A NTEG B A \neg B
t t f f f
t f f
t t f t t
f t t f t
F F T T T

上記の真理の中にあるから。テーブルを使用します。 前提（ \textit{A}, \textit{B} ）が真で結論（ \textit{A} ）を偽とする行はないので、この議論は有効である。 前提が両方とも真である行は3行目だけであり、その行では結論も真である。 つまり、①と②が真で、③が真でない世界や状況は存在しないのです。

さて、次の議論を考えてみよう。

  1. If Alex is a tiger, then Alex is an animal.
  2. Alex is not a tiger.
  3. / \therefore Alex is not an animal.

この議論が完全に機能する状況も存在する。 例えば、アレックスは虎ではなく、実はテーブルだとします。 この場合、アレックスは動物でもないだろう。 したがって、(4)(5)(6)の文は真となる。 しかし、必ずしもそうなるとは限らない。例えば、アレックスは虎ではなく、実は犬であるというように、前提は真であるが結論は偽であるという状況を想像することができる。 この状況では、(6)は偽であり、(4)と(5)の結果にはならないのである。 この議論は無効である。

この議論が無効であることは、真理値表の方法によっても検証することができる。 なぜなら、(4)と(5)がともに真で、なおかつ(6)が偽であるという状況を見出すことができるからである。 すなわち、真理値表において、(4)を \textit{C} と表せば、(6)は偽となる。 \(5)を⑷、(6)を⑸とすると、前提が真で結論が偽の行が少なくとも1つ存在することになります（それはどの行でしょうか）。):

論証(4)-の真理値表(6)
C D Centarightarrow D neg C neg D
t t t f f
t f f f t
f t t t f
f f T T T

論理学者は議論の妥当性、無効性に関心があると言った。 そして、そのために真理値表という方法を提案した。 しかし、どの論証が有効で、どの論証が無効なのだろうか。 ここで、論理形式の概念が出てくる。 例えば、論理学者が有効な論証を一つ一つ記録するという馬鹿げた仕事に着手したとしよう。 この場合、(1)～(3)が有効であることを記録することは間違いない。 さて、彼女が次のような議論に直面したとする：

  1. If Alice is reading Hegel, she is not frustrated.
  2. Alice is frustrated.
  3. / \thore Alice is not reading Hegel.

この議論が有効かどうか確かめるために、彼女は議論の各文を自分の論理言語で書き直してみればよいだろう。 アリスはヘーゲルを読んでいる (\textit{P}); アリスは欲求不満だ (\textit{Q}); そして、アリスがヘーゲルを読んでいるなら、アリスは欲求不満ではない) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q})。 そして、適当な真理値表を設計し、前提がともに真で結論が偽である行や状況があるかどうかを確認すればよい。 しかし、(7)〜(9)の妥当性を確認するために、論理学者がこのような努力をする必要がないことは明らかである。 (1)-(3)と(7)-(9)の二つの論証とそれぞれの真理値表は、かなりの程度似ていて、同じ形をしていることだけを書いておけば十分だろう。 実際、前者ではA、Bという文字が使われ、後者ではそれぞれP、Qに置き換えられているのが唯一の相違点である。 論理接続詞の “rightarrow “と “neg “は変わっていない。

ここで、各論文を先に紹介した命題論理の言語に翻訳してみよう。 \୧⃛(๑⃙⃘◡̈︎๑⃙⃘)୨⃛

  • textit{B}
  • / ୨⃛୨⃛
    1. textit{P \୧⃛(๑⃙⃘◡̈︎๑⃙⃘)୨⃛ 2つの議論には共通点があります。 その共通点とは、論理形式であるとしましょう。 見ての通り、引数の論理接続詞は変わっていない。 2つの論証は同じ形をしているので、一方が有効なら他方も有効であるはずです。 より一般的には、この同じ形式の論証はすべて有効である。 このように、論理学者にとっては、一つ一つの論証の有効性を個別に確認するという気の遠くなるような作業をする必要がない、ということが解放的なニュースなのである。 なぜなら、ある議論が有効であることをすでに知っていて、別の議論が最初の議論と同じ形式であることを示すことができれば、その真理値表を設計することなく、2番目の議論が有効であることを確認することができるからだ。 さて、有効な議論と形式を共有するすべての議論はまた有効であり、その結果、無効な議論と形式を共有するすべての議論はまた無効であると言うことができる。 このような意味で、論理形式の考え方は、論証の（中略）妥当性を証明するために用いることができるのである。 例えば、次のような論証の有効性を確認したいとする：
      1. If Alice is reading Russell, then Alice is thinking of logic.
      2. Alice is not reading Russell.
      3. / \thore Alice is not thinking of logic.例えば、次のような論証が有効かどうか確認するとする。

      このように、有効性の概念を論理形式で理解することで、様々な形式的誤謬を識別することができることがわかる。 例えば、(10)-(12)の論証は先行詞の否定の誤謬の例である。 したがって、(10)-(12)と形式を共有するすべての議論は無効である。

      論理形式について、さらに3つの質問がある。 (i)論証が共有する論理形式をどのように「抽出」できるのか。 すなわち、様々な論証が共通の論理形式のインスタンスであることをどのようにして示すことができるのか。 (ii）論理形式の性質は何か？ 論理形式は物なのか、物だとしたらどのような物なのか？ (各論理はただ一つの論理形式を持つか？ 1381＞＜3951＞論理形式の抽出＜7509＞＜7172＞ここでもう一度、同じ論理形式を持つように見える（1）～（3）と（7）～（9）の議論を考えてみよう。 それらが共通の論理形式を持つことを示すにはどうしたらよいでしょうか。 まず、これらを論理記号で表現する：

      1. textit{A} \୧⃛(๑⃙⃘◡̈︎๑⃙⃘)୨⃛
      2. textit{B}
      3. / ୨⃛
      1. textit{P \therefore \textit{P}

      この二つの論証の共通点を見るためには、それぞれの前提や結論の具体的な内容を抽象化して（あるいは無視して）、それによってこれらの論証に共通する一般形式を明らかにしなければなりません。 例えば、アレックスがバラかバラでないかということは無視して、「アレックスはバラである」をBに置き換えればよいのです。この意味で、論証の論理形式を得る、あるいは抽出するには、前提や結論の内容を、論証の示す形式の単なる置き物として抽象化しなければならないのです。 お気づきのように、論理接続詞の内容は抜き出さない。 なぜ論理的接続語を捨象しないのか、これは重要な問題である。 基本的な考え方は、論理接続詞の意味が論証の論理形式の重要な部分を構成し、それによってその（中略）妥当性を決定しているからである。 例えば、(1)～(3)と(7)～(9)が共有する論理形式は次のように表すことができます。

      1. alpha \rightarrow \neg \beta
      2. beta
      3. / \therefore \neg \alpha

      ここで類推が役に立つかもしれません。 数学では、”1 + 2 = 2 + 1″ や “0 + 2 = 2 + 0” といった特定の算術的命題について考えます。 しかし、一般化したいときには、特定の数ではなく、変数を含む数式を使う。 例えば、「x + y = y + x」は、自然数の振る舞いについて一般的なことを表現しています。 xとyがどんな自然数であっても、「x＋y＝y＋x」は真であることに変わりはない。 変数 “alpha”、”beta”、”gamma”、”delta “も同様で、論証の前提や結論について一般的な言い方をすることができる。 ⑬はどんな意味、つまりどんな命題を表現しても成立し、②は①～③や⑦～⑨のようにすべて成立する＜1381＞＜7172＞このように、ある論理形式を抽出することによって、一般的に議論の前提や結論について話すことができる。 それは、どのような具体的な対象や性質、つまりどのような具体的な主題について語るのか、ということは問題ではない。 そして、このことは、再び、論理学の本当の主題についての最初の関心につながります：

      形式は、したがって、主題から独立して研究することができ、議論が有効か無効かは、主題よりもむしろその形式のおかげであることが判明しているのです。 したがって、論理学が調査するのは、実際の議論そのものではなく、議論の形式なのです。 (Lemmon 1971, 4)

      この論理学の概念によれば、論理学者は、たとえ議論の中の主張の内容や、それがどんな条件のもとで真となるかを厳密に理解していなくても、議論の有効性を評価する立場にあるのである。 したがって、論証の内容が正しいかどうかは、論理学には関係ない。 1381>

      論理形式の性質

      今回と次回は、より哲学的な事柄について見ていくことにする。 この節では、第二の疑問である「論理形式の性質とは何か」について述べることにする。 論理形式の本質に関する問いは、普遍の本質に関する古代の問いを想起させる。 赤いバラはすべて何かを共有している、つまり何かをインスタンス化している。 しかし、もしそれが物であるとすれば、それは何であろうか。 赤いという性質は、それをインスタンス化する赤いバラとは無関係に存在するプラトン的な普遍に近いものなのだろうか。 それとも、その存在が特定のバラの存在に依存するアリストテレス的普遍のようなものなのだろうか。 おそらく、赤いバラについて話すときに使う名前やラベルに過ぎないのだろう。 論理的形式についても、これとまったく同じような問いを立てることができる。 同じ形式のすべての有効な論証が共有するもの、あるいはインスタンス化するものは何なのか。 それは世界の実体なのか、言語の記号なのか、あるいは私たちによって形成され、創造された精神的な構築物なのか。

      論理的形式が存在すると仮定すると、それらは何なのか。 一般的に言って、ここには2つの考え方がある。 一つ目によれば、論理的形式はスキーマであり、したがって言語的実体である。 もう一つは、論理的形式は性質であり、普遍的な言語外の存在であるとするものである。 スキーマが表現するもの、表すものである。 (ここで例えが役に立つかもしれない。 幸せである」という表現は述語であり、言語項目である。 1381>

      論理形式をスキーマと同一視することは、非常に直感的であるように思われる。 しかし、それは誤謬につながる。 ティモシー・スマイリーが指摘するように、その誤謬は「媒体をメッセージとして扱う」ことにある（Smiley 1982, 3）。 (1)-(3)の論理形式を考えてみよう：

      1. \alpha \rightarrow \neg \beta
      2. beta
      3. / \therefore \alpha

      あなたは、同等の権利を持って、 (1) -(3) の論理形式と識別することが好きなのかもしれない。

      1. gamma \rightarrow \neg \eta
      2. eta

        3. / \therefore \gamma

    そしてさらに別の論理学者は、その論理形式を変数の別セットでとらえることを好むかもしれない。

    1. chi \delta
    2. delta
    3. / \therefore \neg

    これらのうち、(1)～(3)の論理形式はどれでしょうか。 その論理形式のとらえ方はさまざまです。 その中で、(1)～(3)の論理形式と認定される権利があるのはどれでしょうか？ この問いは、論理形式がスキーマであり、したがって言語的実体であるとするならば、切実な問題である。 論理形式が単なる記号列であるならば、それは明確な変数の集合を用いることによって変化する。 ある論証の論理形式として、あるものを他のものと区別して選択する非恣意的な方法はないだろう。 言い換えれば、これらの言語的に異なる実体の間で選択するものは何もなく、したがって、それらのどれもが元の議論の論理形式と識別されることはない。 この見解では、論理的形式はスキーマではなく、スキーマが表現したり表したりするものと同定される。 それは言語的というよりむしろ世界的な存在である。 この考え方は、上記の問題には屈しない。 この見解では、論理形式は世界的な実体であるから、上記の候補、すなわち、（i）-（iii）、（iv）-（vi）、（vii）-（ix）はいずれも（1）-（3）の論理形式とはならない。 1381>

    One Logical Form or Many?

    そうなると、論理形式はこの世のものだとした方が、立場は上でしょう。 しかし、これで完全に一件落着というわけでもありません。 これまで私たちは、論理形式が一意的な存在であると仮定してきた。 つまり、(1)～(3)や(7)～(9)のような論証は、同じ一つの論理形式を持つと仮定したのである。 しかし、そうなのだろうか？

    一般に、対象は多くの形をとることができる。 例えば、あるソネットはペトラルカ風にもミルトン風にもなりうるし、花瓶は立方体にも立方体にもなりうるのである。 また、一つの文が多くの（少なくとも、複数の）形をとることもあるようです。 例えば、”neg “を考えてみよう。 その論理形は何でしょうか？ それは否定である、それは条件の否定である、そしてそれは結果が否定である条件の否定である。 これらの各論理形式は何によって同一の論証の論理形式であるのか。 つまり、異なる論理形式が一つの同じ議論の形式であるという事実は何によって説明されるのか。 この点で、何がそれらを統一しているのだろうか。 一つの答えは、これらの形式はすべて共通の論理形式を持っていると言うことである。 しかし、この共通の論理形式がさらに異なる形式を持つので、この共通の論理形式について同じ質問をすることができます。 これらの論理的形式は、何によって、一つの同じ形式を形成しているのか？ そして、このプロセスは無限に続くことができます。 ある論理形式があり、それ自体が他の論理形式を持つ、というように。 しかし、これは論理形式がユニークな実体であるというテーゼとは相容れない。

    ある議論や様々な議論が共有している論理形式について、常に語ることはできないようだ。 もしこの見解が正しいなら、その哲学的な意味は何だろうか。 それでも論理形式の概念から妥当性の概念を理解できるだろうか？

    まとめ

    本章は形式論理学の主題に関する疑問から始まった：形式論理学が研究するものは何だろう？ 形式論理学は論証の形式を通じて論理的帰結を研究するというテーゼを論じた。 例えば、条件付命題は先行詞が真で結果が偽のときだけ偽となり、それ以外は真であるというように、ある命題が真か偽かの条件を規定する真理値表から妥当性の概念を説明した。 このように、真理値表は命題論理の言語で定式化された議論が有効であるかどうかを判断するために用いることができる。

    次に、議論が論理形式を持つことの意味と、論理形式がその有効性にどのように影響するかをさらに掘り下げた。 主な考え方は、有効な引数と論理形式を共有するすべての引数は有効であり、その結果、無効な引数と論理形式を共有するすべての引数は無効であるということです。 このような有効性の概念を理解することで、結果論を肯定する誤りのような形式的誤謬を識別することができることを確認した。 1381>

    練習問題1

    真理値表を用いて、帰納的誤謬として知られる次の論証が無効であることを示せ。 A \rightarrow B, B; / \therefore A.

    Exercise Two

    真理値表を用いて、仮説的三段論法と呼ばれる次の論法が成り立つかどうかを示せ。 A \rightarrow B, B \rightarrow C; / \therefore A \rightarrow C.

    練習3

    すでに与えられた条件表(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ )と否定表(˶‾᷅˵ )、そして新たに、以下の二つの接続表(˶‾᷅˵ )と離接表(˶‾᷅˵ )、それぞれ俗にいう「と」か「と」の使い方を論理的に表すのに使ってみてください。

    を真理値で表すと

    接続詞
    A B A \wedge B
    T T T
    T F F
    F T F
    Truth table for the disjunction
    A B A \B
    T T T
    T F T
    F T T

    以下の引数が有効か無効かを評価しなさい。 まず、その論理形式を確認し、次に真理値表を用いてその（中略）妥当性を立証せよ。

    1. 我々は今、状況を知っている。 ヤンキースはレッドソックスに勝たないとワールドシリーズに出られないが、前者はやらないだろう。
    2. サラは集合論を知っていなければ離散数学の試験に合格できない。 幸いなことに、彼女は集合論をよく知っているので、試験に合格するでしょう。
    3. ただ、リベラルでありながら共和党員であるということはありえないので、共和党員でないかリベラルでないかのどちらかです。
    4. ディランが法律か医学部に行けば経済的に大丈夫でしょう。 幸いなことに、彼はロースクールに行くことになった。
    1. 無効な議論と形式を共有するすべての議論は、その論理内でも無効であると言う方が正確だが、すべての論理についてそうであるとは限らない。 例えば命題論理では、
      1. All men are mortal
      2. Socrates is a man
      3. / \therefore Socrates is mortal

      と同じ論理形である。

      1. All men are immortal
      2. Socrates is a man
      3. / \therefore Socrates is mortal

      これらの議論は両方とも次のように訳すことができる。

      1. P
      2. Q
      3. / \therefore R

      しかし、④-⑥は①-③とは逆に無効であり、全ての人間が不死でありソクラテスが人間ならば、ソクラテスは不死であることになるからだ。 このように、命題論理では、これらの論証はどちらも同じ論理形式を持つが、「すべて」「いくつか」といった量詞が論証内で果たす役割を説明する一階論理のような、より表現力の高い論理の観点からは、前者のみが有効であると言えるのである。 このように、有効な議論と形式を共有するすべての議論は、その論理の中では有効であるが、必ずしも全面的に有効であるとは限らないのである。 ↵

    2. オリバー（2010、172）がストローソン（195、54）に異を唱えているのを参照。 ↵
    3. このような指摘の仕方は、スミス（2012、81）によるものである。 ↵
    4. これはプラトンの形相論に対するアリストテレスの第三人称論を彷彿とさせるものである。 ↵

    （文言論理ともいう）哲学者が用いる形式論理で、「ボブは水泳が好き」「ボブは50m自由形に勝った」などの原子命題と、これらの命題をつなぐ特殊な論理項（論理接続詞と呼ばれる）を区別して命題間の論理関係を研究するものである。 論理接続詞の例としては、”and”(接続詞)、”or”(論理和)、”not”(否定)、”もし…ならば…”(論理和)などがある。 (物質的条件と呼ばれる)。

    An argument in which it is impossible for the premises to be true and the conclusion false.

    Those parts of a language which according to the formal logic, play a significant role within the (in-)validity of an argument.If the propositional logic, the validity of arguments can often be explained with the behaviour of the logical connectives within the arguments.という具合に。

    「もしAならB」という形式の命題で、2つの単純な命題AとBを接続すること。 形式論理学によれば、論理形式は論証の（中略）妥当性を決定する上で重要な役割を担っている。

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