債券のスポットレートは、与えられた期間に対する現在の利回りのことです。 ある期間の市場スポットレートは、その期間のゼロクーポン債の満期までの利回りと等しくなります。 スポットレートは期間が長くなるにつれて上昇するが、このパターンは頻繁に外れる。 つまり、一般に満期が長い債券は利回りが高い。 満期の異なるスポットレートのグラフはイールドカーブを形成し、このカーブの形状は、特定の債券戦略、特に債券免疫戦略のような金利リスクを下げる戦略の有効性を決定することが多い。 さらに、クーポン債の保有者の中には、資産と負債のデュレーションをより緊密に一致させることによってリスクを軽減するため、あるいはゼロを売却することによって利益を得るために、債券を一連のゼロクーポン債に剥がすことを望む人もいる。 また、ゼロクーポンの債券を元の債券に再構成することで、ゼロの合計が再構成された債券よりも安価である場合、利益を得ることができます。 市場価格に応じてゼロを売ったり、ゼロを組み替えたりすることは、アービトラージの一種で、無リスクの利益を得る手段である。 しかし、ゼロの発行、クーポンの剥奪、クーポンの再構成のいずれが利益になるかは、投資家がある期間の債券の市場価格を推定することができるスポット・レート・カーブ、すなわちイールド・カーブに依存する。 しかし、ゼロクーポン債が十分に市場で販売されていないため、実際の債券価格がある満期でどのようになるかを明確に示すことができないことがよくあります。
スポット・レートと密接な関係にあるのが、フォワード・レートです。これは、将来始まり、後に終わるある期間の金利を指します。 つまり、ある企業が1年後に2年分のお金を、現在わかっている金利で借りたい場合、銀行はフォワードレート契約によってその金利を保証し、フォワードレートをローンの利息として使用することができるのです。 デリバティブの一種であるフォワード・レート契約は、フォワード・レートに基づいて行われる。 また、オプションが組み込まれた債券の評価にもフォワード・レートは必要である。 しかし、フォワードレートは将来の金利のスポット価格であり、それはわからないため、フォワードレートはどのように決定されるのでしょうか。
スポットレートカーブと市場価格が示唆するフォワードレートは、クーポン債の市場価格からブートストラップというプロセスで決定できます。
Forward Rates
債券の価格＝すべてのキャッシュフローの現在価値であり、債券の価格は、そのキャッシュフローから、その時点の市場価格によって決定される。 通常、キャッシュフローの現在価値を計算する際には、一定の満期までの利回り（YTM）を用いる手法が一般的です。 しかし、債券価格の方程式は、異なるクーポンの債券の現在の市場価格によって暗示されるフォワードレートを計算するために使用することができます。
| 債券価格 | = | C1(1+YTM)1 | + | C2(1+YTM)2 | + …。 + | Cn(1+YTM)n | + | P(1+YTM)n |
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クーポン債はゼロの集まりと考えることができる。クーポン債は、各クーポンの支払いと最終的な元本返済に対応するゼロを持つ。 このように、各キャッシュフローは、そのキャッシュフローが受け取られる期間に適した金利で割り引かれる必要があります。 このように計算されたフォワード・レートは、将来の金利が不明であるため、将来の金利を予測するものではない。
ブートストラップ
国債は、信用リスクがないため、イールドカーブを構築するのに最適な債券であり、国債価格はより市場金利に依存します。 国債は無リスクのイールドカーブを定義しますが、市場価格は将来の一定期間の利回りであるフォワードレートも意味します。
財務省証券と債券は一般にクーポン債として発行されるため、その価格は単にスポットレートカーブの構築やフォワードレートの計算に使用できません。 その代わりに、国債に相当するゼロクーポン債の価値を考慮してフォワードレートを計算するブートストラップというプロセスを通じて、理論的なスポットレートカーブとインプライド・フォワードレートを構築しているのである。 そして、算出されたフォワードレートは、希望する満期までの各期の利回りを加算することでスポットレートカーブを構築することができる。
ブートストラップ法は、市場価格によって決定される6ヶ月の各タームの異なるレートを使用して、価格-利回り方程式に基づいています。
| ボンド価格 | = | C1(1+r1)1 | + | C2(1+r2)2 | +・・・。.. + | Cn(1+rn)n | + | P(1+rn)n |
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市場価格が分かっている6ヶ月債で、満期時にクーポン払いと元本返済の1回払いのみで金利を計算するのが最初です。 6ヶ月債で1期分の金利を計算したら、その金利で1年債の2期分の金利を計算し、といった具合に、市場価格がある希望の期間数の金利がすべて決定する。 これはブートストラップ法と呼ばれ、事前に計算されたスポットレートを使って、順次後のスポットレートを計算していくからです。
例: ブートストラップ法
信用失墜リスクのない額面100ドルの6%クーポン債が2つあり、次のような市場価格（経過利子なし）と満期までの残り時間を持っています。
- 6 ヶ月債: $99
- 1 年債: $98
- y = 満期までの年率
- 6 ヶ月債は、$99 の市場価格を用いて収量を決定する。 6ヶ月後にはクーポン$3と元本返済の合計$103が支払われます：
- 99 = 103/(1+y/2)
- 99 × (1+y/2) = 103
- 1+y/2 = 103/99 = 1.0404
- y/2 = 1.0404 – 1 = .0404
- y = .0404 × 2 = .0808 = 8.0404(0)です。08%
- 1年債の市場価格98ドルとステップ1で計算した1期分の利回りを使って2期分の利回りを求める：
- 最初のクーポンの支払いの現在価値 + 最終支払いの現在価値 = 98
- 3/1.0404 + 103/(1 + y/2)2 = 2.88 + 103/(1 + y/2)2 = 98
- 103/(1 + y/2)2 = 98 – 2.88 = 95.12
- 103 = 95.12.12 × (1 + y/2)2
- (1 + y/2)2 = 103/95.12 = 1.082883
- 最終支払債の現在価値 = 103/1.082883 = 95.95。12
- 債券の市場価格 = $2.88 + $95.12 = $98
そこで、これらの市場価格によると、現在の6ヶ月定期のスポットレート年率は8.0808%、2番目の6ヶ月定期のフォワードレートは8.2883%であると言えるでしょう。
結論
ブートストラップ法は単純ですが、債券価格は金利だけでなく、信用リスク、税金、流動性、各満期の需給の単純分散など、他の要因の影響を受けるため、実際のイールドカーブを求めてそれを平滑化するには、より複雑な数学が必要となります。 より現実的な金利を決定するためには、より高度な数学的手法が用いられますが、この記事の範囲外です。 それでも、ブートストラップは、現在の債券価格からフォワードレートを計算し、それをつなぎ合わせて、スポットレート曲線のギャップを埋めることができることを示しています
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