指数成長の限界

指数成長は、人口において出生率が死亡率を上回ったときに起こります。 たとえ出生率が死亡率よりわずかに大きくても、人口は最終的におなじみのJ字型カーブを描いて爆発する。 指数関数的な成長は、天然資源が無限にある場合にのみ可能であるが、現実の世界ではそうはいかない。 資源が限られている現実の世界では、指数関数的な成長を無限に続けることはできない。 個体数が少なく、資源が豊富にある環境では指数関数的な成長が起こるかもしれないが、個体数が多くなると資源が枯渇し、成長速度が遅くなる。 やがて、成長率はプラトー（横ばい）になる。 このように、ある環境が維持できる最大限の個体数を示すものを環境収容力といい、「閾値（いきち）」と呼ばれる。 この現実の挙動を記述した指数関数的成長の修正版を最初に発表したのは、1838年のピエール・ヴェルフルストである。

従来の指数関数的成長では、以前の集団に新たに加わる個体の数は、集団そのものに対する割合であった。 つまり、傾きは人口に比例する。 たとえば、毎年5％で成長している集団は、人口が100人のときには5人の新しい個体が加わるが、人口が3000人のときには150人の新しい個体が加わることになる。 バーフルのモデルは、人口と利用可能な資源に比例して成長するという点で異なっていた。 利用可能な資源の数は、最初は100％利用可能で、人口が環境収容力に達すると0％になるというように、あくまで割合として扱われたのです。

指数関数的に増加する人口の式は次のように書ける：

一方、環境収容力のところでプラトーに達する人口は次のように書ける： P = start \cdot \left(1 + rentaright)^t

従来の指数成長式から変わったのは、人口と環境収容力の差をパーセントで表した係数である「閾値」を加えたことだけで、「閾値」は「P = start」「閾値」は「P = start」「閾値」「P = start」「閾値」「K = start」「K = start」「K = start」「K = start」「閾値」「K = start」となります。 例えば、環境収容力が100で、人口が95の場合、(100-95)/100=5%なので、追加成長のために利用できる資源は5%である。 その場合、成長率は5%にしかならない。 \⑭(P=start ⑭left(1 + 5% ⑭right)^t)

指数的成長が減速してプラトーになると、曲線はややS字に見えるようになります。 これはギリシャ文字の「シグマ」に対応し、成長モデルはシグモイド成長（sigmoidal growth）と呼ばれる。 また、「ロジスティック成長」と呼ばれることもありますが、これは対数をもとにした全く別の成長モデルと混同を生じることがあります。 指数関数的成長とロジスティック成長の比較は、成長率5%、初期人口100人、環境収容力2000人の場合の下のグラフに示されています。

Notice that initially, the exponential model and the sigmoidal model are almost identical.初期には指数関数モデルとシグモイダルモデルはほぼ同じであることに注意してください。 人口が環境収容力よりはるかに小さいとき、資源は基本的に無限であり、人口は指数関数的に増加する。 人口が環境収容力に向かって上昇するときだけ、成長速度が明らかに遅くなり、シグモイド曲線がプラトーになります。

また、シグモイド成長モデルは指数成長モデルのようにどんどん急になっていかないことに注意してください。 シグモイド曲線の最も急な部分は最大人口のちょうど半分、つまりK/2にある K/2より小さい人口に対しては、成長が加速される。