L’effetto di taglio che si verifica nelle costruzioni piegate fu notato già nel diciannovesimo secolo, e studiato in dettaglio per costruzioni omogenee e stratificate nel ventesimo secolo. L’assunzione di una corretta teoria della deformazione della linea retta normale alla superficie neutra costituisce una base per la modellazione analitica di strutture eterogenee, specialmente quelle con proprietà meccaniche che variano nella direzione dello spessore della parete.

Reddy ha sviluppato un modello teorico di flessione di piastre rettangolari funzionalmente graduate considerando l’effetto di taglio. L’analisi dettagliata viene fatta prendendo in considerazione la teoria della deformazione di taglio del primo e del terzo ordine. Zenkour ha presentato una teoria generalizzata della deformazione di taglio e la sua applicazione all’analisi di piastre rettangolari funzionalmente graduate soggette a un carico uniformemente distribuito. L’effetto di taglio trasversale è studiato in dettaglio. Aydogdu ha proposto una nuova teoria della deformazione di taglio per piastre composite laminate. Questa teoria soddisfa esattamente le condizioni per l’azzeramento delle sollecitazioni di taglio sulla superficie superiore e inferiore della piastra. Reddy ha presentato una riformulazione delle teorie classiche e di deformazione a taglio di travi e piastre tenendo conto delle relazioni costitutive differenziali non locali di Eringen e degli sforzi non lineari di von Kármán. Vengono formulate le equazioni di equilibrio delle teorie nonlocali delle travi e le teorie classiche e di primo ordine della deformazione a taglio delle piastre. Carrera et al. hanno descritto in dettaglio teorie classiche e avanzate, tra cui: le basi della teoria dei corpi deformabili, le teorie di Eulero-Bernoulli e Timoshenko delle travi, le teorie non lineari, per esempio le teorie paraboliche, cubiche, quartiche e dell’ordine n delle travi, così come la modellazione di travi fatte di materiali funzionalmente graduati. Meiche et al. hanno presentato una nuova teoria iperbolica della deformazione di taglio sull’esempio dell’instabilità e dell’analisi delle vibrazioni libere di spesse piastre sandwich funzionalmente graduate. Questa teoria è più perfetta rispetto alle teorie di deformazione a taglio semplice di Mindlin e Reissner. Inoltre, fornisce una variazione parabolica delle sollecitazioni di taglio trasversali attraverso lo spessore, e anche il loro azzeramento sulle superfici esterne. Thai e Vo hanno sviluppato varie teorie di deformazione di taglio di ordine superiore per testare la flessione e la vibrazione libera di travi funzionalmente graduate. Queste teorie tengono conto della variazione di ordine superiore della deformazione di taglio trasversale nella direzione della profondità della trave, e soddisfano le condizioni limite prive di stress sulle superfici superiore e inferiore della trave. Thai e Vo hanno sviluppato una nuova teoria della deformazione di taglio sinusoidale per piastre rettangolari classificate funzionalmente. Questa teoria descrive la distribuzione sinusoidale dello sforzo di taglio trasversale e soddisfa le condizioni di azzeramento dello sforzo di taglio sulle superfici esterne della piastra. Sono stati eseguiti test dettagliati riguardanti la flessione, l’instabilità e la vibrazione di queste piastre.

Akgöz e Civalek hanno presentato un nuovo modello analitico di deformazione di taglio di ordine superiore con la considerazione della teoria del gradiente di elasticità. Questo modello descrive gli effetti microstrutturali e di deformazione di taglio senza il bisogno di fattori di correzione del taglio. Vengono studiati i problemi di flessione statica e di vibrazione libera di microtravi semplicemente supportate. Grover et al. hanno proposto una nuova teoria iperbolica inversa della deformazione di taglio di piastre composite e sandwich laminate. Questa teoria è formulata sulla base della funzione di forma della deformazione di taglio e validata da studi numerici sul problema della flessione e dell’instabilità di piastre rettangolari. Sahoo e Singh hanno proposto una nuova teoria trigonometrica inversa a zig-zag per piastre laminate composite e sandwich. Questa teoria assicura le condizioni di continuità alle interfacce degli strati e l’azzeramento dello sforzo di taglio sulle superfici esterne della piastra. Il modello efficace agli elementi finiti è sviluppato per gli studi numerici dei problemi statici di queste piastre. Xiang ha migliorato la teoria della deformazione di taglio di n-ordine con la considerazione della condizione di azzeramento della sollecitazione di taglio sulle superfici esterne della trave a classificazione funzionale. Vengono analizzati i problemi di vibrazione libera di questa trave. Kumar e Chakraverty hanno proposto quattro nuove teorie trigonometriche inverse della deformazione di taglio che permettono di studiare la vibrazione libera di piastre rettangolari isotrope spesse. Le teorie assicurano il rispetto delle condizioni limite di stress trasversale su entrambe le superfici della piastra. Un test di convergenza e di validazione è stato effettuato con i casi della letteratura disponibile. Mahi et al. hanno presentato una nuova teoria iperbolica della deformazione di taglio che descrive la flessione e la vibrazione libera di piastre composite isotrope, funzionalmente graduate, a sandwich e laminate. L’approccio non richiede un fattore di correzione del taglio. Sulla base del principio di Hamilton è stato ottenuto il funzionale energetico del sistema. L’accuratezza del metodo è stata dimostrata da confronti con la soluzione numerica del problema.

Darijani e Shahdadi hanno proposto una nuova teoria di deformazione della piastra con la considerazione delle deformazioni di taglio. Le sollecitazioni trasversali di taglio variano attraverso lo spessore della piastra secondo una relazione power-law. Le superfici superiore e inferiore della piastra sono prive di sollecitazioni di taglio. Le equazioni di governo e le condizioni al contorno della piastra sono derivate con l’uso del principio di Hamilton. I risultati sono paragonabili a quelli ottenuti usando teorie di ordine superiore. Lezgy-Nazargah ha considerato i fenomeni termo-meccanici nelle travi fatte di un materiale funzionalmente graduato. Una teoria raffinata di alto ordine è stata usata per questo scopo, mentre il campo di spostamento in piano è stato rappresentato da espressioni polinomiali ed esponenziali. I risultati numerici così ottenuti sono stati confrontati con le soluzioni di altri autori. Sobhy ha usato una nuova teoria della piastra a quattro variabili di deformazione di taglio per descrivere la vibrazione e l’instabilità di piastre sandwich funzionalmente graduate sostenute da fondazioni elastiche. Le equazioni del moto sono state derivate sulla base del principio di Hamilton. La validità della teoria è stata verificata dal confronto dei risultati ottenuti con quelli precedenti. Sarangan e Singh hanno sviluppato diverse nuove teorie di deformazione di taglio applicabili all’analisi del comportamento statico, all’instabilità e alle vibrazioni libere di piastre laminate composite e sandwich. Le teorie assicurano l’azzeramento delle sollecitazioni di taglio trasversali alle superfici esterne della piastra. L’accuratezza dei modelli è stata verificata positivamente dal confronto con i risultati delle soluzioni di elasticità 3D e le teorie esistenti. Chen et al. hanno studiato la vibrazione libera e forzata di travi porose funzionalmente graduate. La teoria delle travi di Timoshenko con la considerazione dell’effetto della deformazione di taglio trasversale ha permesso di derivare l’equazione del moto. L’approccio ha permesso il calcolo efficace delle frequenze naturali e delle deflessioni dinamiche transitorie per le travi porose soggette a varie condizioni di carico. Singh e Singh si sono occupati di piastre composite laminate e tridimensionali intrecciate. Gli autori hanno sviluppato due nuove teorie di deformazione di taglio per questo scopo. Le equazioni differenziali governanti sono state formulate sulla base del principio del lavoro virtuale. I risultati ottenuti con l’uso del metodo degli elementi finiti hanno confermato una buona efficacia di entrambe le teorie proposte. Shi et al. hanno formulato una nuova teoria della deformazione di taglio applicabile alla vibrazione libera e all’analisi di buckling delle piastre composite laminate. La teoria assicura la scomparsa delle tensioni di taglio sulle superfici delle piastre. Inoltre, i fattori di correzione del taglio non sono richiesti. Le soluzioni disponibili in letteratura hanno confermato l’alta precisione ed efficienza del nuovo metodo. Thai et al. hanno presentato una semplice teoria della trave usata per l’analisi della flessione statica e della vibrazione libera delle nano-travi isotrope. L’equazione di governo è stata derivata sulla base delle equazioni di equilibrio della teoria dell’elasticità. Sono state ottenute soluzioni analitiche per travi non locali, imponendo vari tipi di condizioni al contorno. La verifica ha mostrato una buona accuratezza ed efficacia della teoria. Pei et al. hanno elaborato una teoria di ordine superiore modificata di travi funzionalmente graduate usando il principio del lavoro virtuale. La teoria fa una distinzione tra il centroide e il punto neutro della sezione trasversale. Inoltre, viene spiegata la relazione con la teoria tradizionale di ordine superiore, che semplifica uno studio comparativo su varie teorie di ordine superiore delle travi. Kumar et al. hanno analizzato le piastre in materiali funzionalmente graduati usando due nuove teorie di ordine superiore sulla deformazione trasversale a taglio. Il principio di energia è stato usato per derivare l’equazione differenziale di governo della piastra. I risultati ottenuti di deflessione e sollecitazioni sono stati confrontati con altri dati pubblicati. Sono stati studiati gli effetti di vari tipi di carico, il rapporto tra luce e spessore e l’indice di classificazione. Magnucki e Lewiński hanno considerato travi semplicemente supportate con proprietà meccaniche simmetricamente variabili nella direzione della profondità, soggette a vari tipi di carico, da quello uniformemente distribuito a quello concentrato. La deformazione di una sezione trasversale planare della trave dopo la flessione è stata determinata sulla base di un’ipotesi “polinomiale” non lineare propria. L’equazione differenziale di equilibrio è stata formulata sulla base delle definizioni di momento flettente e forza trasversale di taglio e poi risolta per diversi esempi di travi. Magnucki et al. hanno proposto una nuova formulazione delle funzioni che determinano la variazione delle proprietà meccaniche di una trave nella direzione della profondità. L’approccio consiste in una generalizzazione che permette di descrivere strutture omogenee, non linearmente variabili e a sandwich con l’uso di un modello analitico universale. Le equazioni del moto sono state derivate sulla base del principio di Hamilton e risolte analiticamente. I risultati sono stati verificati da calcoli FEM. Katili et al. hanno proposto un elemento beam a due nodi di ordine superiore sviluppato per risolvere i problemi statici e di vibrazione libera. La teoria della trave di Timoshenko è stata modificata al fine di considerare adeguatamente l’effetto di taglio trasversale. L’efficacia dell’approccio è stata verificata dal confronto con altri dati pubblicati in letteratura. Lezgy-Nazargah ha sviluppato una teoria di deformazione di taglio globale-locale che predice accuratamente il comportamento statico e dinamico di travi curve a strati sottili e spessi. La variazione dello sforzo di taglio nella direzione dello spessore della trave è approssimata da una funzione parabolica. L’azzeramento dello sforzo di taglio sulle superfici limite della trave è assicurato senza la necessità di un coefficiente di correzione del taglio. I risultati ottenuti dai calcoli statici e di vibrazione libera sono convalidati positivamente da quelli calcolati con FEM.

L’obiettivo principale del presente lavoro consiste nel migliorare la teoria della deformazione di taglio della flessione nel caso di proprietà meccaniche del materiale che variano simmetricamente nella direzione della profondità della sezione trasversale. Viene proposta la funzione individuale non lineare di deformazione della sezione trasversale planare. La teoria migliorata della deformazione di taglio è applicata alle travi esemplari, il cui modello analitico è sviluppato. Il modello analitico di queste travi è sviluppato. I risultati analitici sono confrontati con quelli ottenuti da un approccio numerico FEM. Il problema presentato delle travi a flessione con considerazione dell’effetto di taglio è una continuazione della ricerca presentata da Magnucki e Lewinski e Magnucki et al.