Il tasso a pronti di un’obbligazione è il rendimento attuale per una data scadenza. I tassi spot di mercato per certi termini sono uguali al rendimento alla scadenza delle obbligazioni a cedola zero con quei termini. Il tasso spot aumenta all’aumentare della durata, ma questo schema si discosta spesso. Quindi le obbligazioni con scadenze più lunghe hanno generalmente rendimenti più alti. Un grafico dei tassi spot per diverse scadenze forma la curva dei rendimenti, e la forma di questa curva determina spesso l’efficacia di certe strategie obbligazionarie, specialmente quelle per abbassare il rischio di tasso di interesse, come le strategie di immunizzazione delle obbligazioni. Inoltre, alcuni detentori di obbligazioni con cedola vogliono spogliare le obbligazioni in una serie di obbligazioni a cedola zero, sia per mitigare il rischio facendo corrispondere meglio la durata delle attività alle passività, sia per guadagnare un profitto vendendo gli zeri. Il profitto può essere ottenuto anche ricostituendo le obbligazioni a zero coupon nell’obbligazione originale, se la somma degli zeri è più economica dell’obbligazione ricostituita. Vendere gli zeri o ricostituire gli zeri a seconda dei prezzi di mercato è una forma di arbitraggio, un mezzo per guadagnare un profitto senza rischio. Tuttavia, se sarebbe redditizio emettere zeri, spogliare le cedole o ricostituire le cedole dipende dalla curva dei tassi a pronti, o curva dei rendimenti, che permette all’investitore di stimare il prezzo di mercato per un’obbligazione con una certa durata. Spesso, però, non si vendono abbastanza obbligazioni zero-coupon sul mercato per indicare chiaramente quali sarebbero i prezzi reali delle obbligazioni a una data scadenza. Come si possono determinare i tassi spot per scadenze in cui mancano informazioni di mercato?

Prossimamente collegato al tasso spot è il tasso forward, che è il tasso di interesse per un certo termine che inizia nel futuro e finisce più tardi. Quindi, se un’azienda volesse prendere in prestito del denaro tra 1 anno per un periodo di 2 anni ad un tasso di interesse noto oggi, allora una banca può garantire quel tasso attraverso l’uso di un contratto di tasso a termine utilizzando il tasso a termine come interesse sul prestito. I contratti a termine, un tipo comune di derivato, si basano su tassi a termine. I tassi forward sono anche necessari per valutare le obbligazioni con opzioni incorporate. Ma poiché i tassi a termine sono prezzi a pronti futuri per i tassi di interesse, che sono inconoscibili, come vengono determinati i tassi a termine?

Le curve dei tassi a pronti e i tassi a termine impliciti nei prezzi di mercato possono essere determinati dai prezzi di mercato delle obbligazioni con cedola attraverso un processo chiamato bootstrapping.

Tassi a termine

Il prezzo di un’obbligazione = il valore attuale di tutti i suoi flussi di cassa. La tecnica usuale è quella di utilizzare un rendimento costante alla scadenza (YTM) nel calcolo del valore attuale dei flussi di cassa. Tuttavia, l’equazione del prezzo dell’obbligazione può essere usata per calcolare i tassi a termine come implicito nei prezzi di mercato correnti delle diverse obbligazioni con cedola.

Prezzo dell’obbligazione calcolato utilizzando un rendimento costante alla scadenza

Prezzo dell’obbligazione	=	C1(1+YTM)1	+	C2(1+YTM)2	+ … +	Cn(1+YTM)n	+	P(1+YTM)n
C = pagamento cedola per periodo P = valore nominale delle obbligazioni n = numero di anni fino alla scadenza YTM = rendimento alla scadenza

Un’obbligazione con cedola può essere considerata come un gruppo di zerocon uno zero corrispondente ad ogni pagamento della cedola e al rimborso finale del capitale. In questo modo, ogni flusso di cassa dovrebbe essere scontato al tasso di interesse appropriato per il periodo in cui il flusso di cassa sarà ricevuto. Il valore delle obbligazioni zero-coupon deve essere uguale all’obbligazione con cedola; altrimenti, un arbitraggista potrebbe spogliare l’obbligazione e vendere gli zeri per un profitto, come a volte fanno.

I tassi a termine così calcolati non sono previsioni dei tassi di interesse futuri, poiché i tassi di interesse futuri sono sconosciuti. Piuttosto, i tassi forward sono semplicemente calcolati dai prezzi correnti delle obbligazioni; quindi, sono talvolta chiamati tassi forward impliciti, perché sono impliciti nei prezzi del mercato obbligazionario nello stesso modo in cui la volatilità implicita è determinata dai prezzi del mercato delle opzioni.

Bootstrapping

I Treasuries sono il tipo ideale di obbligazioni da usare per costruire una curva di rendimento perché non hanno rischio di credito, quindi i prezzi dei Treasury dipendono maggiormente dai tassi di interesse di mercato. I Treasury definiscono una curva dei rendimenti priva di rischio, ma i prezzi di mercato implicano anche i tassi forward, che sono i rendimenti per certi periodi nel futuro.

Perché i biglietti e le obbligazioni del Tesoro sono generalmente emessi come obbligazioni con cedola, i loro prezzi non possono essere semplicemente usati per costruire la curva dei tassi spot o per calcolare i tassi forward. Invece, una curva teorica dei tassi spot e i tassi forward impliciti sono costruiti attraverso il processo di bootstrapping che calcola i tassi forward considerando il valore dei titoli zero coupon equivalenti ai buoni del Tesoro. I tassi forward calcolati possono poi costruire la curva dei tassi spot aggiungendo i rendimenti per ogni termine alla scadenza desiderata.

La tecnica di bootstrapping si basa sull’equazione prezzo-rendimento utilizzando diversi tassi per ciascuna delle scadenze a 6 mesi, come determinato dai prezzi di mercato:

Equazione prezzo-rendimento usando tassi diversi per ogni flusso di cassa

Prezzo delle obbligazioni	=	C1(1+r1)1	+	C2(1+r2)2	+ … +	Cn(1+rn)n	+	P(1+rn)n
r = tasso di interesse per periodo Se r = un rendimento annuale, ma il termine è per ½ anno allora dividiamo per 2

Il tasso d’interesse viene calcolato per il 1° periodo per l’obbligazione a 6 mesi che ha un prezzo di mercato noto, che ha un solo pagamento, composto dal pagamento della cedola e dal rimborso del capitale, alla sua scadenza. Dopo aver calcolato il tasso per il 1° periodo con l’obbligazione a 6 mesi, allora quel tasso viene usato per calcolare il tasso per il 2° periodo di un’obbligazione a 1 anno, e così via, fino a determinare tutti i tassi per il numero desiderato di termini per i quali ci sono prezzi di mercato disponibili. Questa è chiamata tecnica di bootstrapping, perché i tassi spot calcolati in precedenza vengono utilizzati per calcolare i tassi spot successivi in fasi successive.

Conclusione

La tecnica di bootstrapping è semplice, ma trovare la curva di rendimento reale e smussarla richiede una matematica più complicata, perché i prezzi delle obbligazioni non sono solo influenzati dai tassi di interesse ma anche da altri fattori, come il rischio di credito, le tasse, la liquidità, e la semplice varianza della domanda e dell’offerta per ogni scadenza. Tecniche matematiche più sofisticate sono usate per determinare tassi più realistici, ma queste vanno oltre lo scopo di questo articolo. Tuttavia, il bootstrapping illustra come i tassi a termine possono essere calcolati dai prezzi correnti delle obbligazioni, che possono poi essere messi insieme per riempire i vuoti nella curva dei tassi a pronti.