Gli esponenti sono potenze o indici. Un esponente o potenza denota il numero di volte che un numero viene ripetutamente moltiplicato per se stesso. Per esempio, quando incontriamo un numero scritto come 53, implica semplicemente che 5 è moltiplicato per se stesso tre volte. In altre parole, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Un’espressione esponenziale consiste di due parti, vale a dire la base, indicata come b e l’esponente, indicato come n. La forma generale di un’espressione esponenziale è b n.

Come moltiplicare gli esponenti? Anche se le espressioni che coinvolgono esponenti negativi e multipli sembrano confuse.

In questo articolo, impareremo la moltiplicazione degli esponenti e quindi, questo vi aiuterà a sentirvi molto più a vostro agio nell’affrontare problemi con gli esponenti.

La moltiplicazione degli esponenti comporta i seguenti sottotemi:

• Moltiplicazione di esponenti con la stessa base
• Moltiplicazione di esponenti con basi diverse
• Moltiplicazione di esponenti negativi
• Moltiplicazione di frazioni con esponenti
• Moltiplicazione di esponenti frazionari
• Moltiplicazione di variabili con esponenti
• Moltiplicazione di radici quadrate con esponenti

Moltiplicazione di esponenti con la stessa base

Nella moltiplicazione di esponenti con le stesse basi, gli esponenti vengono sommati. La regola di moltiplicazione dell’addizione di esponenti quando le basi sono uguali può essere generalizzata come: a n x a m = a n+ m

Esempio 1

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m) × (m × m × m)

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Moltiplicando esponenti con basi diverse

Quando si moltiplicano due variabili con basi diverse ma stessi esponenti, si moltiplicano semplicemente le basi e si mette lo stesso esponente. Questa regola può essere riassunta come:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Esempio 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Se sia gli esponenti che le basi sono diversi, allora ogni numero viene calcolato separatamente e poi i risultati vengono moltiplicati insieme. In questo caso, la formula è data da: a n ⋅ b m

Esempio 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Come moltiplicare esponenti negativi? In generale: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

  Esempio 4

  • 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

  Similmente, se le basi sono diverse e gli esponenti sono uguali, moltiplichiamo prima le basi e usiamo l’esponente.

  a -n x b -n = (a x b) -n

  Esempio 5

  • 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444
  • Come moltiplicare frazioni con esponenti?

  Quando si moltiplicano frazioni con la stessa base, si aggiungono gli esponenti. Per esempio:

  (a/b) n x (a/b) m = (a/b) n + m

  Esempio 6

  • (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0.83 = 0.8 x 0.8 x 8 = 0.512
  • (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
  • (-1/4)-3× (-1/4)-2
    (-1/4)-3 × (-1/4)-2
    = (4/-1)3 × (4/-1)2
    = (-4)3 × (-4)2
    = (-4) (3 + 2)
    = (-4)5
    = -45
    = -1024.
  • (-2/7)-4× (-5/7)2
    (-2/7)-4 × (-5/7)2
    = (7/-2)4 × (-5/7)2
    = (-7/2)4 × (-5/7)2
    = (-7)4/24 × (-5)2/72
    = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
    = {72 × (-5)2 }/24
    = /16
    = 1225/16
  • Come moltiplicare esponenti frazionari?

  La formula generale per questo caso è: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

  Esempio 7

  • 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

  Similmente, esponenti frazionari con le stesse basi ma esponenti diversi hanno la formula generale data da: a (n/m) x a (k/j) = a

  Esempio 8

  • 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7.127
  • Come moltiplicare radici quadrate con esponenti?

  Per gli esponenti con la stessa base, possiamo sommare gli esponenti:

  (√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

  Esempio 9

  • (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125
  • Moltiplicazione di variabili con esponenti

  Per esponenti con la stessa base, possiamo sommare gli esponenti:

  xn * x m = x n + m

  Esempio 10

  • x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

  Domande pratiche

  1. La lunghezza di un rettangolo è il quadrato della sua larghezza. Se l’area di questo rettangolo è di 64 unità quadrate, trovare la lunghezza di un rettangolo.
  2. La luce impiega 5 × 102 secondi per viaggiare dal Sole alla Terra. Se la velocità della luce è 3 × 108 m/s, qual è la distanza tra il Sole e la Terra?

  Risposte

  1. 4 unità
  2. 1,5 × 1011 m

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