Questo capitolo discute alcune questioni filosofiche riguardanti la natura della logica formale. Particolare attenzione sarà data al concetto di forma logica, l’obiettivo della logica formale nel catturare la forma logica e la spiegazione della validità in termini di forma logica. Vedremo come questa comprensione della nozione di validità ci permette di identificare quelle che chiamiamo fallacie formali, che sono errori in un argomento dovuti alla sua forma logica. Discuteremo anche alcuni problemi filosofici sulla natura delle forme logiche. Per semplicità, ci concentreremo sulla logica proposizionale. Ma molti dei risultati che discuteremo non dipendono da questa scelta e sono applicabili a sistemi logici più avanzati.

Logica, validità e forme logiche

Scienze diverse hanno argomenti diversi: la fisica cerca di scoprire le proprietà della materia, la storia mira a scoprire cosa è successo nel passato, la biologia studia lo sviluppo e l’evoluzione degli organismi viventi, la matematica è, o almeno sembra essere, su numeri, insiemi, spazi geometrici e simili. Ma cos’è che la logica indaga? Cos’è, infatti, la logica?

Questa è una domanda essenzialmente filosofica, ma la sua risposta richiede una riflessione sullo stato e sul comportamento delle regole logiche e delle inferenze. I libri di testo presentano tipicamente la logica come la scienza della relazione di conseguenza che esiste tra le premesse e la conclusione di un argomento valido, dove un argomento è valido se non è possibile che le sue premesse siano vere e la conclusione falsa. Se la logica è la scienza della relazione di conseguenza che esiste tra le premesse e la conclusione di un argomento valido, possiamo dire che i logici si occupano di sapere se la conclusione di un argomento è o non è una conseguenza delle sue premesse.

Esaminiamo la nozione di validità con più attenzione. Per esempio, consideriamo il seguente argomento:

1. Se Alex è un’orata, allora Alex non è una rosa.
2. Alex è una rosa.
3. / \quindi Alex non è un’orata.

Si può dimostrare che non è possibile che (1) e (2) siano veri ma (3) sia falso. Quindi, l’intero argomento è valido. Per comodità, rappresentiamo ogni frase dell’argomento nella logica proposizionale standard, che mira ad analizzare la struttura e il significato delle varie proposizioni. Per fare questo, dobbiamo prima introdurre il linguaggio della nostra logica.

L’alfabeto della logica proposizionale contiene lettere che stanno per frasi: A, B, C, e così via. Per esempio, possiamo tradurre “Alex è una rosa” usando solo B. Allo stesso modo, possiamo usare S per tradurre “Mi piacerebbe annusarla”. L’alfabeto della logica proposizionale contiene altri simboli noti come connettivi logici. Uno è un simbolo per “non” o negazione (\neg ). Quando diciamo che Alex non è una rosa, in effetti diciamo che non è il caso che Alex sia una rosa. Se traduciamo “Alex è una rosa” con B, traduciamo “Alex non è una rosa” con “\neg B”. Un altro è un simbolo (\freccia destra) per frasi condizionali della forma “se … allora ….” Per esempio, possiamo tradurre “Se Alex è una rosa, allora mi piacerebbe annusarla” come “B \freccia destra A”. Quando diciamo che se Alex è una rosa, allora mi piacerebbe annusarla, diciamo qualcosa di condizionale: alla condizione che Alex sia una rosa, mi piacerebbe annusarla. In generale, una frase condizionale ha due componenti. Chiamiamo la prima componente l’antecedente, la seconda componente il conseguente, e l’intera proposizione un condizionale. Il linguaggio della nostra logica include anche “e” (\wedge), altrimenti noto come congiunzione, e “o” (\vee), altrimenti noto come disgiunzione. Ma in questo capitolo ci occuperemo solo della negazione e del condizionale.

Così, se usiamo A per “Alex è un’orata”, possiamo rappresentare (1) con A \rightarrow \neg B, e rappresentare il nostro argomento (1)-(3) come segue:

1. A \freccia destra \neg B
2. B
3. / \quindi \neg A

Ma, ricordate, il nostro scopo era di esaminare perché questo argomento, se mai, è valido. La semplice rappresentazione di “non” con “\neg” e di “se … allora” con “rightarrow” non sarà sufficiente per verificare la validità o l’invalidità di un dato argomento: dobbiamo anche sapere cosa significano questi simboli e le proposizioni che esprimono. Ma come possiamo specificare il significato di “neg” e “freccia destra”?

È plausibile dire che se A è vero, allora la sua negazione è falsa, e viceversa. Per esempio, se “Alex è una rosa” è vero, allora “Alex non è una rosa” è falso. Questo ci dà il significato di “\neg”. Possiamo rappresentare queste informazioni sul significato della negazione in termini di una tabella di verità nel modo seguente (con T che simboleggia il vero e F il falso):

Qui, possiamo leggere ogni riga della tabella della verità come un modo in cui il mondo potrebbe essere. Cioè, in situazioni o mondi possibili dove A è vero (per esempio, dove Alex è davvero un’orata), \neg \textit{A} è falso (è falso che Alex sia un’orata); e viceversa. Così intesa, una tabella di verità ci dà le situazioni in cui una proposizione come A è vera e quelle in cui è falsa. Inoltre, essa ci dice in quali situazioni \neg \textit{A} è vera, e in quali situazioni è falsa.

In modo simile, possiamo specificare il significato di “freccia destra” specificando le situazioni in cui le proposizioni condizionali della forma “\textit{A} \freccia destra \textit{B}” sono vere o false. Ecco la tabella di verità standard per “\freccia destra”:

Come si può vedere, c’è solo una riga in cui ⌦textit{A} \cioè la seconda riga in cui il conseguente è falso, ma l’antecedente è vero. Come ci dice la prima riga, se sia A che B sono veri, allora lo è anche \textit{A} \freccia destra \testoB}. Inoltre, la terza e la quarta riga ci dicono che se l’antecedente è falso, allora l’intera condizione è vera, indipendentemente dal fatto che il conseguente sia vero o falso. Quindi, tutti i condizionali con antecedenti falsi sono veri.

Ma come è possibile che un condizionale sia vero se il suo antecedente è falso? Ecco un suggerimento per rispondere a questa domanda: se il vostro presupposto è falso, allora potete legittimamente concludere qualsiasi cosa vogliate. Per esempio, se si assume che Amsterdam è la capitale dell’Inghilterra, si può legittimamente concludere qualsiasi cosa; non importa se è vero o falso. Così, dal presupposto che Amsterdam è la capitale dell’Inghilterra, si può concludere che Parigi è la capitale della Francia. Si può anche concludere che Parigi è la capitale del Brasile.

Possiamo vedere che un’importante informazione che le tabelle di verità trasmettono riguarda come la verità o la falsità di frasi complesse come \textit{A} \freccia destra \testo B} e \neg \testo A} dipendono dalla verità o falsità delle lettere proposizionali che contengono: la verità o falsità di \testo A} \La verità o falsità di \textit{A} dipende solo dalla verità o falsità di A e di B. Allo stesso modo, la verità o falsità di \neg \textit{A} dipende solo da quella di A.

Ora siamo in grado di verificare se il nostro argomento (1)-(3) è valido o no. E, come vedremo tra un momento, la validità o l’invalidità di un argomento dipende dal significato dei connettivi logici (come “rightarrow” e “\neg”) che è specificato dalle corrispondenti tabelle di verità. In altre parole, se le tabelle di verità di questi connettivi fossero diverse da quelle che sono in realtà, avremmo una diversa collezione di argomenti validi.

Abbiamo definito un argomento come valido se non è possibile che le sue premesse siano vere e la conclusione falsa. Disegnando una tabella della verità, possiamo vedere in quali condizioni le premesse (\testoit{A} \diritto \neg \testoit{B}, \testoit{B}) e la conclusione (\neg \testoit{A}) del nostro argomento (1)-(3) sono vere o false:

Siccome nella tabella della veritàtabella, non c’è nessuna riga in cui le premesse (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) siano vere e la conclusione (\neg A) falsa, l’argomento è valido. L’unica riga in cui le premesse sono entrambe vere è la terza riga, e in quella riga anche la conclusione è vera. In altre parole, non esiste un mondo o una situazione in cui (1) e (2) siano vere, ma (3) non lo sia. Questo significa semplicemente che l’argomento è valido.

Ora, considerate il seguente argomento:

1. Se Alex è una tigre, allora Alex è un animale.
2. Alex non è una tigre.
3. / \quindi Alex non è un animale.

Ci sono situazioni in cui l’argomento funziona perfettamente. Per esempio, supponiamo che Alex non sia una tigre ma sia, di fatto, un tavolo. In questo caso, Alex non sarebbe nemmeno un animale. E quindi le frasi (4), (5) e (6) sarebbero vere. Ma questo non è sempre il caso, perché possiamo immaginare una situazione in cui le premesse sono vere ma la conclusione è falsa, come quando Alex non è una tigre ma è, di fatto, un cane. Così, immaginando la situazione appena descritta, avremmo prodotto un controesempio: in questa situazione, (6) sarebbe falsa, e quindi non sarebbe una conseguenza di (4) e (5). L’argomento non è valido.

Che l’argomento non sia valido può essere verificato anche con il metodo delle tabelle di verità. Perché possiamo trovare una situazione in cui (4) e (5) sono entrambi veri e tuttavia (6) è falso. Cioè, nella tabella di verità, se rappresentiamo (4) come \testo{C} \(5) come \neg \textit{C}, e (6) come \neg \textit{D}, ci sarà almeno una riga in cui le premesse sono vere e la conclusione falsa (qual è questa riga?):

Abbiamo detto che i logici si occupano della validità o invalidità degli argomenti, e abbiamo proposto il metodo delle tabelle di verità per svolgere questo compito. Ma quali argomenti sono validi e quali no? È qui che emerge la nozione di forma logica. Supponiamo che un logico si imbarchi nel ridicolo compito di registrare ogni singolo argomento valido. In questo caso, registrerebbe sicuramente che (1)-(3) è valido. Ora, supponiamo che affronti il seguente argomento:

1. Se Alice sta leggendo Hegel, non è frustrata.
2. Alice è frustrata.
3. / \quindi Alice non sta leggendo Hegel.

Per vedere se questo argomento è valido o no, può riscrivere ogni frase dell’argomento nel suo linguaggio logico: Alice sta leggendo Hegel (\textit{P}); Alice è frustrata (\textit{Q}); e, se Alice sta leggendo Hegel, allora Alice non è frustrata) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Può quindi disegnare un’adeguata tabella di verità, e controllare se c’è qualche riga o situazione in cui le premesse sono entrambe vere e la conclusione falsa. Poiché non c’è una riga simile (perché?), annuncerà correttamente che l’argomento è valido.

Ma è ovvio che per controllare la validità di (7)-(9), il nostro logico non ha bisogno di fare questo sforzo. Basterebbe che notasse che i due argomenti (1)-(3) e (7)-(9), e le loro rispettive tabelle di verità, sono in gran parte simili; hanno la stessa forma. Infatti, la loro unica differenza è che nel primo sono state usate le lettere A e B, mentre nel secondo sono state sostituite rispettivamente con P e Q. I connettivi logici \freccia destra e \neg non sono cambiati.

Per vedere il punto, traduciamo ogni argomento nel linguaggio della logica proposizionale che abbiamo introdotto sopra:

1. 1. Testo A \freccia destra \neg \testo B}
   2. testo B}
   3. / \quindi \neg \testo A}
   1. testo P} \destra \neg \textit{Q}
   2. \textit{Q}
   3. / \quindi \neg \textit{P}

   I due argomenti hanno qualcosa in comune. Diciamo che ciò che hanno in comune è la loro forma logica. Come potete vedere, i connettivi logici degli argomenti non sono cambiati. Poiché i due argomenti hanno la stessa forma, se uno è valido, anche l’altro deve essere valido. Più in generale, tutti gli argomenti di questa stessa forma sono validi. La notizia liberatoria è che il nostro logico non ha bisogno di imbarcarsi nell’esasperante compito di controllare la validità di ogni singolo argomento separatamente. Perché se sa già che un dato argomento è valido, e se può anche mostrare che un altro argomento ha la stessa forma del primo, allora può essere sicuro che il secondo argomento è valido senza doverne disegnare la tabella di verità.

   Abbiamo detto che un argomento è valido se non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Ora, possiamo dire che ogni argomento che condivide la sua forma con un argomento valido è anche valido, e di conseguenza, ogni argomento che condivide la sua forma con un argomento non valido è anche non valido. È in questo senso che l’idea di forma logica può essere usata per stabilire la (in)validità degli argomenti. Per esempio, supponiamo di voler controllare la validità del seguente argomento:

   1. Se Alice sta leggendo Russell, allora Alice sta pensando alla logica.
   2. Alice non sta leggendo Russell.
   3. / \quindi Alice non sta pensando alla logica.

   Appena vediamo che (10)-(12) ha la stessa forma di (4)-(6), che sappiamo già essere non valida, possiamo essere sicuri che la prima è anche non valida senza dover costruire la sua tabella di verità.

   Quindi, possiamo vedere che comprendere la nozione di validità in termini di forma logica ci permette di identificare varie fallacie formali. Per esempio, l’argomento (10)-(12) è un’istanza della fallacia della negazione dell’antecedente. Così, ogni argomento che condivide la sua forma con (10)-(12) è anche non valido.

   Ci sono altre tre domande che possiamo porre sulle forme logiche: (i) Come possiamo “estrarre” la forma logica dagli argomenti che condividono? Cioè, come possiamo mostrare che vari argomenti sono istanze di una forma logica comune? (ii) Qual è la natura di una forma logica? Una forma logica è una cosa, e se sì, che tipo di cosa è? (iii) Ogni argomento ha una sola forma logica? Nelle tre sezioni seguenti, parleremo rispettivamente di queste tre domande.

   Estrazione delle forme logiche

   Consideriamo di nuovo gli argomenti (1)-(3) e (7)-(9) che sembrano condividere una stessa forma logica. Come possiamo dimostrare che hanno una forma logica comune? Per prima cosa, dovremmo rappresentarli in simboli logici:

   1. \testo{A} \freccia destra \neg \testo B}
   2. testo B}
   3. / \quindi \neg \testo A}
   1. testo P} \Per vedere cosa questi due argomenti hanno in comune, dobbiamo astrarre (o ignorare o lasciare da parte) i contenuti specifici delle loro particolari premesse e conclusioni, e quindi rivelare una forma generale che è comune a questi argomenti. Per esempio, dobbiamo ignorare se Alex è o non è una rosa; tutto ciò che conta è sostituire “Alex è una rosa” con B. In questo senso, per ottenere o estrarre la forma logica di un argomento, dobbiamo astrarre dal contenuto delle premesse e della conclusione considerandole come semplici segnaposto nella forma che l’argomento esibisce. Come avrete notato, non estraiamo il contenuto dei connettivi logici. È importante chiedersi perché non estraiamo i connettivi logici. Il pensiero fondamentale è che il loro significato costituisce una parte importante della forma logica di un argomento, e quindi nel determinare la sua (in)validità.

      Per parlare delle forme logiche, useremo le lettere greche minuscole come \alfa, \beta, \gamma, e \delta. Per esempio, possiamo rappresentare la forma logica che (1)-(3) e (7)-(9) condividono come segue:

      1. \alfa \freccia \neg \beta
      2. \beta
      3. / \quindi \neg \alpha

      Un’analogia può aiutare qui: In matematica, pensiamo a particolari proposizioni aritmetiche come “1 + 2 = 2 + 1” e “0 + 2 = 2 + 0”. Ma quando vogliamo generalizzare, usiamo formule che contengono variabili, e non numeri specifici. Per esempio, “x + y = y + x” esprime qualcosa di generale sul comportamento dei numeri naturali. Qualunque siano i numeri naturali x e y, “x + y = y + x” rimane vero. Lo stesso vale per le variabili \alfa, \beta, \gamma e \delta, che ci permettono di parlare in modo generale delle premesse e delle conclusioni degli argomenti. Qualunque sia il significato di \alfa e \beta, cioè qualunque proposizione esprimano, (i)-(iii) rimane valida, e così tutte le sue istanze, come (1)-(3) e (7)-(9).

      Come detto sopra, estrarre una certa forma logica ci permette di parlare, in modo generale, di premesse e conclusioni di argomenti. Non importa di quali oggetti e proprietà specifiche – di quale argomento specifico – si parli. E questo ci porta, ancora una volta, alla nostra preoccupazione iniziale sulla vera materia della logica:

      La forma può quindi essere studiata indipendentemente dalla materia, ed è soprattutto in virtù della loro forma, come risulta, piuttosto che della loro materia che gli argomenti sono validi o non validi. Quindi è la forma degli argomenti, piuttosto che gli argomenti stessi, che la logica indaga. (Lemmon 1971, 4)

      Secondo questa concezione della logica, i logici sono in grado di valutare la validità di un argomento, anche se non comprendono strettamente il contenuto delle affermazioni all’interno dell’argomento, né in quali condizioni esse sarebbero vere. Se le affermazioni all’interno degli argomenti siano vere o meno, quindi, non è una questione di logica. Invece, ciò che la logica fa è esplorare le forme logiche degli argomenti, e quindi stabilire la loro (in)validità.

      La natura delle forme logiche

      In questa e nella prossima sezione, esamineremo questioni più filosofiche. In questa sezione, discuteremo la nostra seconda domanda: qual è la natura di una forma logica? La domanda sulla natura della forma logica ricorda l’antica domanda sulla natura degli universali. Tutte le rose rosse hanno qualcosa in comune; tutte condividono o istanziano qualcosa. Ma cos’è questa cosa, se è davvero una cosa? La proprietà di essere rossa è simile a un universale platonico che esiste indipendentemente dalle rose rosse che lo istanziano? O è come un universale aristotelico la cui esistenza dipende dall’esistenza delle rose particolari? Forse, non ha alcuna esistenza; non è altro che un nome o un’etichetta che usiamo per parlare delle rose rosse. Possiamo fare esattamente le stesse domande sulle forme logiche: Cos’è che tutti gli argomenti validi della stessa forma condividono o istanziano? È un’entità nel mondo, o un simbolo nel linguaggio, o una costruzione mentale formata e creata da noi?

      Assumendo che le forme logiche esistano, cosa sono? Ci sono, in generale, due linee di pensiero qui. Secondo la prima, le forme logiche sono schemi, e quindi sono entità linguistiche. Secondo la seconda, le forme logiche sono proprietà: sono entità extralinguistiche, simili agli universali. Sono ciò che gli schemi esprimono o rappresentano. (Un’analogia può aiutare qui: L’espressione “è felice” è un predicato; è un elemento linguistico. Ma esprime un’entità extralinguistica, come la proprietà di essere felice.)

      Identificare le forme logiche con gli schemi sembra essere abbastanza intuitivo. Ma porta a una fallacia. Come Timothy Smiley sottolinea, la fallacia sta nel “trattare il mezzo come il messaggio” (Smiley 1982, 3). Si consideri la forma logica di (1)-(3):

      1. \alpha \rightarrow \neg \beta
      2. \beta
      3. / \therefore \neg \alpha

      Si può, con pari diritto, identificare la forma logica di (1)-(3) con:

      1. \gamma \rightarrow \neg \eta
      2. \eta
      3. / \quindi \neg \gamma

      E un altro logico può preferire catturare la sua forma logica con un insieme distinto di variabili:

      1. \chi \rightarrow \neg \delta
      2. \delta
      3. / \quindi \neg \chi

      Quale di questi è la forma logica di (1)-(3)? Ci sono molti modi diversi per catturare la sua forma logica. Quale di essi ha il diritto di essere qualificato come la forma logica di (1)-(3)? Questa domanda è pressante se si prendono le forme logiche come schemi, e quindi come entità linguistiche. Se una forma logica è solo una stringa di simboli, allora varia utilizzando un insieme distinto di variabili. Non ci sarà un modo non arbitrario per sceglierne una rispetto ad un’altra come forma logica di un dato argomento. In altre parole, non ci sarà nulla da scegliere tra queste entità linguisticamente distinte e, quindi, nessuna di esse potrebbe essere identificata con la forma logica dell’argomento originale.

      Questo può incoraggiarci a identificare le forme logiche come entità indipendenti dalla lingua o invarianti dalla lingua. Da questo punto di vista, le forme logiche si identificano non con gli schemi, ma con ciò che gli schemi esprimono o rappresentano. Sono entità mondane, piuttosto che linguistiche. Questo punto di vista non soccombe al problema di cui sopra. Poiché, secondo questa visione, le forme logiche sono entità mondane, nessuno dei candidati di cui sopra – cioè (i)-(iii), (iv)-(vi), e (vii)-(ix)- è la forma logica di (1)-(3). Piuttosto, ognuna di esse esprime o rappresenta la sua forma logica.

      Una forma logica o molte?

      Sembra quindi che ci troveremo in una posizione migliore se assumiamo che le forme logiche siano entità mondane. Ma anche questo non ci lascia completamente a bocca asciutta. Finora abbiamo supposto che le forme logiche siano entità uniche. Cioè, abbiamo assunto che argomenti come (1)-(3) e (7)-(9) abbiano una stessa forma logica. Ma è così?

      In generale, gli oggetti possono assumere molte forme. Per esempio, un particolare sonetto può essere sia petrarchesco che miltoniano, e un vaso può essere sia un cuboide che un cubo. Inoltre, sembra che una singola frase possa assumere molte (almeno, più di una) forme. Consideriamo \neg(\textit{P} \freccia destra \neg \textit{Q}). Qual è la sua forma logica? Sembra che ciascuna delle seguenti opzioni funzioni perfettamente come risposta alla nostra domanda: è una negazione; è una negazione di una condizione; ed è una negazione di una condizione il cui conseguente è una negazione.

      Ora, supponiamo che ciascuna di queste forme logiche sia una forma logica di un dato argomento. In virtù di che cosa ciascuna di esse è una forma logica di uno stesso argomento? Cioè, cosa spiega il fatto che forme logiche diverse siano forme di uno stesso argomento? Cosa le unifica in questo senso? Una risposta è dire che tutte queste forme hanno una forma logica comune. Ma allora si può fare la stessa domanda su questa forma logica comune, poiché questa stessa forma ha altre forme diverse. In virtù di cosa queste forme logiche sono forme di una stessa forma? E questo processo può continuare all’infinito. Si ha una forma logica che ha a sua volta altre forme logiche, e così via. Ma questo non è compatibile con la tesi che le forme logiche sono entità uniche.

      Sembra che non si possa sempre parlare della forma logica che un argomento o vari argomenti condividono. Se questo punto di vista è corretto, quali sono le sue implicazioni filosofiche? Possiamo ancora comprendere la nozione di validità in termini di nozione di forma logica?

      Sommario

      Questo capitolo è iniziato con una domanda sull’oggetto della logica formale: cos’è che la logica formale studia? Abbiamo discusso la tesi che la logica formale studia la conseguenza logica attraverso la forma degli argomenti. Abbiamo poi spiegato la nozione di validità in termini di tabelle di verità, che specificano le condizioni sotto le quali una proposizione è vera o falsa – per esempio, una proposizione condizionale è falsa solo quando il suo antecedente è vero e la sua conseguenza falsa; altrimenti, è vera. Così, come abbiamo discusso sopra, le tabelle di verità possono essere impiegate per determinare se gli argomenti formulati nel linguaggio della logica proposizionale sono validi.

      Abbiamo poi scavato ulteriormente in ciò che significa per gli argomenti avere una forma logica, e come la loro forma logica influisce sulla loro (in)validità. L’idea principale è che ogni argomento che condivide la sua forma logica con un argomento valido è anche valido, e di conseguenza, ogni argomento che condivide la sua forma logica con un argomento non valido è anche non valido. Abbiamo visto come questa comprensione della nozione di validità ci permette di identificare le fallacie formali, come la fallacia dell’affermazione del conseguente. Abbiamo concluso questo capitolo ponendo tre domande filosofiche sulla natura, l’esistenza e l’unicità delle forme logiche.

      Esercizio Uno

      Utilizzando una tabella di verità, dimostrate che il seguente argomento, che è noto come la fallacia dell’affermazione del conseguente, non è valido: A \freccia destra B, B; / \quindi A.

      Esercizio Due

      Utilizzando una tabella di verità, come che il seguente argomento, che è noto come sillogismo ipotetico, non è valido: A freccia B, B freccia C; / quindi A freccia C.

      Esercizio tre

      Utilizza le tabelle di verità già date per il condizionale (\freccia destra) e la negazione (\neg), e le due nuove tabelle di verità per la congiunzione (\margine) e la disgiunzione (\vee) qui sotto, che sono usate per esprimere logicamente gli usi comuni della parola ‘e’ e ‘o’, rispettivamente:

      Tabella della verità per la congiunzione

      A	B	A \wedge B
      T	T	T
      T	F	F
      F	T	F
      F	F	F

      Tabella della verità per disgiunzione

      A	B	A \vee B
      T	T	T
      T	F	T
      F	T	T
      F	F	F

      Valutate se i seguenti argomenti sono validi o meno. In primo luogo, identificate la loro forma logica, e poi usate le tavole della verità per stabilire la loro (in)validità.

      1. Ora conosciamo la situazione. Gli Yankees devono battere i Red Sox o non arriveranno alle World Series, e non faranno la prima.
      2. Sarah passerà l’esame di matematica discreta solo se conosce la teoria degli insiemi. Fortunatamente, lei conosce bene la teoria degli insiemi, quindi passerà l’esame.
      3. Non è proprio il caso di essere un liberale e un repubblicano, quindi o non sei un repubblicano o non sei un liberale.
      4. Se Dylan va a legge o alla scuola di medicina allora starà bene finanziariamente. Fortunatamente, andrà alla scuola di legge.
      1. È più preciso dire che ogni argomento che condivide la sua forma con un argomento non valido è anche non valido all’interno di quella logica, ma non necessariamente per ogni logica. Per esempio, nella logica proposizionale,
         1. Tutti gli uomini sono mortali
         2. Socrate è un uomo
         3. / \quindi Socrate è mortale

         è della stessa forma logica di:

         1. Tutti gli uomini sono immortali
         2. Socrate è un uomo
         3. / \quindi Socrate è mortale

         Entrambi questi argomenti possono essere tradotti come segue:

         1. P
         2. Q
         3. / \quindi R

         Ma (4)-(6), al contrario di (1)-(3), non è valido, perché se tutti gli uomini sono immortali e Socrate è un uomo, allora Socrate è immortale. Così, nella logica proposizionale, entrambi questi argomenti hanno la stessa forma logica, anche se, dal punto di vista di una logica più espressiva, come la logica del primo ordine, che spiega il ruolo che quantificatori come “tutti” e “alcuni” svolgono all’interno degli argomenti, solo il primo è valido. Così, ogni argomento che condivide la sua forma con un argomento valido è valido all’interno di quella logica, ma non necessariamente in generale. ↵

      2. Vedi Oliver (2010, 172), dove è in disaccordo con Strawson (195, 54). ↵
      3. Questo modo di porre il punto è dovuto a Smith (2012, 81). ↵
      4. Questo ricorda l’argomento aristotelico del terzo uomo contro la teoria delle forme di Platone. ↵

      (Nota anche come logica sentenziale.) Una logica formale usata dai filosofi che studia le relazioni logiche tra proposizioni distinguendo tra proposizioni atomiche, come “a Bob piace nuotare” e “Bob ha vinto i 50m stile libero”, e gli speciali termini logici che collegano queste proposizioni, noti come connettivi logici. Esempi di questi connettivi sono “e” (noto come congiunzione), “o” (noto come disgiunzione), “non” (noto come negazione), e “se…allora…” (noto come condizionale materiale). Secondo la logica proposizionale, la validità degli argomenti può spesso essere spiegata in termini di comportamento dei connettivi logici all’interno degli argomenti.

      Un argomento in cui è impossibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa.

      Quelle parti di un linguaggio che, secondo la logica formale, svolgono un ruolo significativo all’interno della (in-)validità di un argomento.

      Una proposizione della forma “Se A allora B”, che collega due proposizioni più semplici A e B. La A in un condizionale è conosciuta come l’antecedente, e la B la conseguente.

      La forma profonda, nascosta, di un argomento dovuta alla presenza dei connettivi logici al suo interno. Secondo la logica formale, la forma logica gioca un ruolo significativo nel dettare la (in-)validità di un argomento.

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