Limiti alla Crescita Esponenziale

La crescita esponenziale si verifica quando il tasso di nascita supera il tasso di morte in una popolazione. Anche se il tasso di nascita è solo leggermente più grande del tasso di morte, la popolazione alla fine esploderà nella nota curva a forma di J. La crescita esponenziale è possibile solo quando sono disponibili risorse naturali infinite, ma questo non è il caso del mondo reale. Nel mondo reale, con le sue risorse limitate, la crescita esponenziale non può continuare indefinitamente. La crescita esponenziale può avvenire in ambienti dove ci sono pochi individui e risorse abbondanti, ma quando il numero di individui diventa abbastanza grande, le risorse si esauriranno, rallentando il tasso di crescita. Alla fine, il tasso di crescita si appiattirà o si stabilizzerà. Questa dimensione della popolazione, che rappresenta la dimensione massima della popolazione che un particolare ambiente può sostenere, è chiamata capacità di carico, ed è etichettata \(K\). La prima persona a pubblicare una modifica della crescita esponenziale che descrive questo comportamento del mondo reale fu Pierre Verhulst, nel 1838.

Nella crescita esponenziale tradizionale, il numero di nuovi individui che vengono aggiunti alla popolazione precedente è una percentuale della popolazione stessa. In altre parole, la pendenza è proporzionale alla popolazione. Per esempio, una popolazione che cresce al 5% ogni anno aggiungerebbe 5 nuovi individui quando la popolazione è 100, ma aggiungerebbe 150 nuovi individui quando la popolazione è 3000. Il modello di Verhulst era diverso in quanto la crescita era proporzionale alla popolazione e alle risorse disponibili. Il numero di risorse disponibili era solo trattato come una percentuale, con il 100% disponibile all’inizio e lo 0% disponibile quando la popolazione raggiungeva la capacità di carico.

La formula per la popolazione, \(P\), che cresce esponenzialmente può essere scritta come:
(P = start \cdot \left(1 + r\right)^t\)

mentre una popolazione che raggiunge un plateau alla capacità di carico può essere scritta come:
(P = inizio \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

L’unico cambiamento alla tradizionale equazione di crescita esponenziale è l’inclusione del fattore \(\frac{K-P}{K}), che rappresenta la differenza tra la popolazione e la capacità di carico in percentuale. Per esempio, se la capacità di carico fosse 100, e la popolazione fosse 95, allora ci sarebbe il 5% delle risorse disponibili per un’ulteriore crescita perché \((100-95)/100=5\%\). In questo caso, il tasso di crescita sarebbe solo il 5% del suo valore originale: \(P=inizio \cdot \sinistra(1 + 5\% \cdot \destra)^t\)

Quando la crescita esponenziale rallenta e si stabilizza, la curva appare in qualche modo a forma di S. La lettera greca corrispondente è “sigma”, e il modello di crescita è chiamato crescita sigmoidale. A volte è anche chiamato “crescita logistica”, anche se questo può creare confusione con un modello di crescita molto diverso basato sul logaritmo. Un confronto tra la crescita esponenziale e quella logistica è mostrato nel grafico qui sotto per un tasso di crescita del 5%, una popolazione iniziale di 100 individui e una capacità di carico di 2000 individui.

Nota che inizialmente, il modello esponenziale e quello sigmoidale sono quasi identici. Quando la popolazione è molto più piccola della capacità di carico, le risorse sono essenzialmente illimitate e la popolazione cresce esponenzialmente. È solo quando la popolazione sale verso la capacità di carico che il tasso di crescita rallenta notevolmente, e la curva sigmoidale si stabilizza.

Si noti anche che il modello di crescita sigmoidale non diventa sempre più ripido come il modello di crescita esponenziale. La parte più ripida della curva sigmoidale è esattamente a metà della popolazione massima, o K/2 Per le popolazioni che sono più piccole di K/2, la crescita sta accelerando. Per le popolazioni che sono più grandi di K/2, la crescita sta rallentando.

Sommario

La crescita sinusoidale è una modifica della crescita esponenziale in cui il cambiamento percentuale diventa più piccolo quando la popolazione si avvicina alla capacità di carico. Il tasso di crescita attuale è il prodotto del tasso di crescita iniziale e la percentuale di risorse disponibili. Inizialmente, ci sono il 100% delle risorse disponibili, quindi il tasso di crescita sigmoidale corrisponde al tasso esponenziale. Alla fine, ci sono 0% delle risorse disponibili, e il tasso di crescita sigmoidale si avvicina a zero.

I sistemi reali raramente si adattano esattamente al modello di crescita sigmoidale, ma è comunque un’approssimazione molto utile. Oltre alle popolazioni animali, la crescita sigmoidale può modellare la diffusione delle malattie o la diffusione della tecnologia o la diffusione delle voci. I sistemi reali spesso mostrano un ciclo a dente di sega di sovrappopolazione seguito da un crollo della popolazione o addirittura da un’estinzione. Questo si verifica quando il tasso di crescita è abbastanza grande da causare il superamento della capacità di carico da parte della popolazione.