En este capítulo se discuten algunas cuestiones filosóficas relativas a la naturaleza de la lógica formal. Se prestará especial atención al concepto de forma lógica, al objetivo de la lógica formal de captar la forma lógica y a la explicación de la validez en términos de forma lógica. Veremos cómo esta comprensión de la noción de validez nos permite identificar lo que llamamos falacias formales, que son errores en un argumento debido a su forma lógica. También discutiremos algunos problemas filosóficos sobre la naturaleza de las formas lógicas. Para simplificar, nos centraremos en la lógica proposicional. Pero muchos de los resultados que se discutirán no dependen de esta elección, y son aplicables a sistemas lógicos más avanzados.

Lógica, validez y formas lógicas

Diferentes ciencias tienen diferentes temas: la física trata de descubrir las propiedades de la materia, la historia pretende descubrir lo que ocurrió en el pasado, la biología estudia el desarrollo y la evolución de los organismos vivos, las matemáticas tratan, o al menos lo parecen, de números, conjuntos, espacios geométricos y similares. Pero, ¿qué es lo que investiga la lógica? ¿Qué es, en efecto, la lógica?

Esta es una pregunta esencialmente filosófica, pero su respuesta requiere una reflexión sobre el estatus y el comportamiento de las reglas e inferencias lógicas. Los libros de texto suelen presentar la lógica como la ciencia de la relación de consecuencia que se da entre las premisas y la conclusión de un argumento válido, donde un argumento es válido si no es posible que sus premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Si la lógica es la ciencia de la relación de consecuencia que se da entre las premisas y la conclusión de un argumento válido, podemos decir que los lógicos se ocuparán de si la conclusión de un argumento es o no una consecuencia de sus premisas.

Examinemos la noción de validez con más cuidado. Por ejemplo, consideremos el siguiente argumento:

1. Si Alex es un besugo, entonces Alex no es una rosa.
2. Alex es una rosa.
3. /por tanto, Alex no es un besugo.

Puede demostrarse que no es posible que (1) y (2) sean verdaderos y (3) falsos. Por lo tanto, todo el argumento es válido. Por comodidad, vamos a representar cada frase del argumento en la lógica proposicional estándar, cuyo objetivo es analizar la estructura y el significado de varias proposiciones. Para ello, primero debemos introducir el lenguaje de nuestra lógica.

El alfabeto de la lógica proposicional contiene letras que representan oraciones: A, B, C, etc. Por ejemplo, podemos traducir «Alex es una rosa» utilizando simplemente la B. Del mismo modo, podemos utilizar la S para traducir «Me encantaría olerla». El alfabeto de la lógica proposicional contiene otros símbolos conocidos como conectivos lógicos. Uno de ellos es el símbolo de «no» o negación (\neg ). Cuando decimos que Alex no es una rosa, decimos, en efecto, que no es el caso que Alex sea una rosa. Si traducimos «Alex es una rosa» por B, traducimos «Alex no es una rosa» como «\neg B». Otro es un símbolo (\rightarrow) para oraciones condicionales de la forma «si … entonces ….» Por ejemplo, podemos traducir «Si Alex es una rosa, entonces me encantaría olerla» como «B \rightarrow A». Cuando decimos que si Alex es una rosa, entonces me encantaría olerla, decimos algo condicional: a condición de que Alex sea una rosa, me encantaría olerla. En general, una oración condicional tiene dos componentes. Al primer componente lo llamamos antecedente, al segundo componente, consecuente, y a la proposición completa, condicional. El lenguaje de nuestra lógica también incluye «y» (\wedge), también conocido como conjunción, y «o» (\vee), también conocido como disyunción. Pero en este capítulo sólo trataremos la negación y el condicional.

Así, si usamos A para «Alex es un besugo», podemos representar (1) con A \rightarrow \neg B, y representar nuestro argumento anterior (1)-(3) como sigue:

1. A flecha derecha \neg B
2. B
3. / \neg A

Pero, recordemos, nuestro objetivo era examinar por qué este argumento, si es que lo es, es válido. La mera representación de «no» por «\Nneg» y de «si… entonces» por «\Nrightarrow» no será suficiente para verificar la validez o invalidez de un argumento dado: también necesitamos saber qué significan estos símbolos y las proposiciones que expresan. Pero, ¿cómo podemos especificar el significado de «\neg» y «\rightarrow»?

Es plausible decir que si A es verdadero, entonces su negación es falsa, y viceversa. Por ejemplo, si «Alex es una rosa» es verdadero, entonces «Alex no es una rosa» es falso. Esto nos da el significado de «\Nneg». Podemos representar esta información sobre el significado de la negación en términos de una tabla de verdad de la siguiente manera (con T simbolizando verdadero, y F falso):

Aquí, podemos leer cada fila de la tabla de verdad como una forma en que el mundo podría ser. Es decir, en las situaciones o mundos posibles en los que A es verdadero (por ejemplo, en los que Alex es efectivamente un besugo), \neg \textit{A} es falso (es falso que Alex sea un besugo); y viceversa. Así interpretada, una tabla de verdad nos da las situaciones en las que una proposición como A es verdadera, y aquellas en las que es falsa. Además, nos dice en qué situaciones \neg \textit{A} es verdadera, y en qué situaciones es falsa.

De manera similar, podemos especificar el significado de «\rightarrow» especificando las situaciones en las que las proposiciones condicionales de la forma «\textit{A} \rightarrow \textit{B}» son verdaderas o falsas. Aquí está la tabla de verdad estándar para «\rightarrow»:

Como puede verse, sólo hay una fila en la que \textit{A} \rightarrow \textit{B} es falsa; es decir, la segunda fila en la que el consecuente es falso, pero el antecedente es verdadero. Como la primera fila nos dice, si tanto A como B son verdaderos, entonces también lo es \textit{A} \N – flecha derecha \N -textit{B}. Además, las filas tercera y cuarta nos dicen que si el antecedente es falso, entonces todo el condicional es verdadero, independientemente de si el consecuente es verdadero o falso. Por tanto, todas las condicionales con antecedentes falsos son verdaderas.

¿Pero cómo es posible que una condicional sea verdadera si su antecedente es falso? He aquí una sugerencia para responder a esta pregunta: si tu supuesto es falso, entonces puedes concluir legítimamente lo que quieras. Por ejemplo, si supones que Ámsterdam es la capital de Inglaterra, puedes concluir legítimamente cualquier cosa; no importa si es verdadera o falsa. Así, a partir de la suposición de que Ámsterdam es la capital de Inglaterra, puedes concluir que París es la capital de Francia. También se puede concluir que París es la capital de Brasil.

Podemos ver que una información importante que transmiten las tablas de verdad se refiere a cómo la verdad o falsedad de oraciones complejas como \textit{A} \rightarrow \textit{B} y \neg \textit{A} depende de la verdad o falsedad de las letras proposicionales que contienen: la verdad o falsedad de \textit{A} \La verdad o falsedad de \textit{A} depende únicamente de la verdad o falsedad de A y de B. Del mismo modo, la verdad o falsedad de \neg \textit{A} depende únicamente de la de A.

Ahora estamos en condiciones de comprobar si nuestro argumento (1)-(3) es válido o no. Y, como veremos en un momento, la validez o invalidez de un argumento depende del significado de las conectivas lógicas (como «\rightarrow» y «\neg») que se especifica en las correspondientes tablas de verdad. En otras palabras, si las tablas de verdad de estas conectivas fueran diferentes a lo que realmente son, tendríamos una colección diferente de argumentos válidos.

Definimos un argumento como válido si no es posible que sus premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Diseñando una tabla de verdad, podemos ver bajo qué condiciones las premisas (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) y la conclusión (\neg \textit{A}) de nuestro argumento (1)-(3) son verdaderas o falsas:

Dado que en la anterior tabla de verdad-tabla, no hay ninguna fila en la que las premisas (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) sean verdaderas y la conclusión (\neg A) falsa, el argumento es válido. La única fila en la que las premisas son ambas verdaderas es la tercera fila, y en esa fila la conclusión también es verdadera. En otras palabras, no hay ningún mundo o situación en la que (1) y (2) sean verdaderas, pero (3) no lo sea. Esto sólo significa que el argumento es válido.

Considere ahora el siguiente argumento:

1. Si Alex es un tigre, entonces Alex es un animal.
2. Alex no es un tigre.
3. / Por tanto, Alex no es un animal.

Hay situaciones en las que el argumento funciona perfectamente. Por ejemplo, supongamos que Alex no es un tigre sino que es, de hecho, una mesa. En este caso, Alex tampoco sería un animal. Y, por tanto, las frases (4), (5) y (6) serían verdaderas. Pero no siempre es así, ya que podemos imaginar una situación en la que las premisas son verdaderas pero la conclusión es falsa, como cuando Alex no es un tigre sino que es, de hecho, un perro. Así, al imaginar la situación que acabamos de describir, habríamos producido un contraejemplo: en esta situación, (6) sería falsa, y por tanto no sería una consecuencia de (4) y (5). El argumento es inválido.

Que el argumento es inválido puede verificarse también por el método de las tablas de verdad. Pues podemos encontrar una situación en la que (4) y (5) sean verdaderas y sin embargo (6) sea falsa. Es decir, en la tabla de verdad, si representamos (4) como \textit{C} \D, (5) como \neg \textit{C}, y (6) como \neg \textit{D}, habrá al menos una fila en la que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa (¿qué fila es esa?):

Dijimos que los lógicos se ocupan de la validez o invalidez de los argumentos, y propusimos el método de las tablas de verdad para llevar a cabo esta tarea. Pero, ¿qué argumentos son válidos y cuáles no? Es aquí donde surge la noción de forma lógica. Supongamos que un lógico se embarca en la ridícula tarea de registrar todos y cada uno de los argumentos válidos. En este caso, seguramente registraría que (1)-(3) es válido. Ahora, supongamos que se enfrenta al siguiente argumento:

1. Si Alicia está leyendo a Hegel, no está frustrada.
2. Alicia está frustrada.
3. /por tanto, Alicia no está leyendo a Hegel.

Para ver si este argumento es válido o no, puede reescribir cada frase del argumento en su lenguaje lógico: Alicia está leyendo a Hegel (\textit{P}); Alicia está frustrada (\textit{Q}); y, si Alicia está leyendo a Hegel, entonces Alicia no está frustrada) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). A continuación, puede diseñar una tabla de verdad adecuada, y comprobar si hay alguna fila o situación en la que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa. Dado que no existe tal fila (¿por qué?), anunciará correctamente que el argumento es válido.

Pero es obvio que para comprobar la validez de (7)-(9), nuestro lógico no necesitaba hacer este esfuerzo. Bastaría con que observara que los dos argumentos (1)-(3) y (7)-(9), y sus respectivas tablas de verdad, son en gran medida similares; tienen la misma forma. De hecho, su única diferencia es que en el primero se han utilizado las letras A y B, y en el segundo se han sustituido por P y Q, respectivamente. Las conectivas lógicas \arrow y \neg no han cambiado.

Para ver el punto, traduzcamos cada argumento al lenguaje de la lógica proposicional que introdujimos anteriormente:

1. \textit{A} \Por lo tanto, \neg \textit{A}
2. \textit{B}
3. / \neg \textit{A}

1. \textit{P} \Por lo tanto, los dos argumentos tienen algo en común. Digamos que lo que tienen en común es su forma lógica. Como puedes ver, las conectivas lógicas de los argumentos no han cambiado. Como los dos argumentos tienen la misma forma, si uno es válido, entonces el otro también debe serlo. En general, todos los argumentos de esta misma forma son válidos. La noticia liberadora es que nuestro lógico no necesita embarcarse en la exasperante tarea de comprobar la validez de todos y cada uno de los argumentos por separado. Porque si ya sabe que un argumento dado es válido, y si además puede mostrar que otro argumento tiene la misma forma que el primero, entonces puede estar seguro de que el segundo argumento es válido sin tener que diseñar su tabla de verdad.

   Dijimos que un argumento es válido si no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Ahora bien, podemos decir que todo argumento que comparte su forma con un argumento válido es también válido, y en consecuencia, todo argumento que comparte su forma con un argumento inválido es también inválido. Es en este sentido que la idea de forma lógica puede utilizarse para establecer la (in)validez de los argumentos. Por ejemplo, supongamos que queremos comprobar la validez del siguiente argumento:

   1. Si Alicia está leyendo a Russell, entonces Alicia está pensando en la lógica.
   2. Alicia no está leyendo a Russell.
   3. / por lo tanto Alicia no está pensando en la lógica.

   En cuanto vemos que (10)-(12) tiene la misma forma que (4)-(6), que ya sabemos que es inválida, podemos estar seguros de que la primera también es inválida sin tener que construir su tabla de verdad.

   Así, podemos ver que entender la noción de validez en términos de forma lógica nos permite identificar varias falacias formales. Por ejemplo, el argumento (10)-(12) es un ejemplo de la falacia de negación del antecedente. Así, todo argumento que comparta su forma con (10)-(12) es también inválido.

   Hay otras tres preguntas que podemos hacer sobre las formas lógicas: (i) ¿Cómo podemos «extraer» la forma lógica de los argumentos que comparten? Es decir, ¿cómo podemos mostrar que varios argumentos son instancias de una forma lógica común? (ii) ¿Cuál es la naturaleza de una forma lógica? ¿Es una forma lógica una cosa, y si es así, qué clase de cosa es? (iii) ¿Tiene cada argumento una sola forma lógica? En las tres secciones siguientes, hablaremos de estas tres cuestiones, respectivamente.

   Extracción de formas lógicas

   Consideremos, de nuevo, los argumentos (1)-(3) y (7)-(9) que parecen compartir una misma forma lógica. ¿Cómo podemos demostrar que tienen una forma lógica común? En primer lugar, debemos representarlos en símbolos lógicos:

   1. \textit{A} \N – flecha hacia la derecha \N – no \N -textit{B}
   2. textit{B}
   3. / \N – por lo tanto \N – no \N -textit{A}
   1. textit{P} \Para ver lo que estos dos argumentos tienen en común, debemos abstraernos (o ignorar o dejar de lado) los contenidos específicos de sus premisas y conclusiones particulares, y así revelar una forma general que es común a estos argumentos. Por ejemplo, debemos ignorar si Alex es o no es una rosa; lo único que importa es sustituir «Alex es una rosa» por B. En este sentido, para obtener o extraer la forma lógica de un argumento, debemos abstraernos del contenido de las premisas y la conclusión considerándolas como meros marcadores de posición en la forma que exhibe el argumento. Como habrás observado, no extraemos el contenido de las conectivas lógicas. Es importante preguntarse por qué no extraemos el contenido de las conectivas lógicas. El pensamiento básico es que su significado constituye una parte importante de la forma lógica de un argumento, y por lo tanto en la determinación de su (in)validez.

      Para hablar de las formas lógicas, vamos a utilizar las letras griegas minúsculas como \alpha, \beta, \gamma, y \delta. Por ejemplo, podemos representar la forma lógica que comparten (1)-(3) y (7)-(9) de la siguiente manera:

      1. alfa \N-flecha derecha \neg \beta
      2. \beta
      3. / \neg \alpha

      Una analogía puede ayudar aquí: En matemáticas, pensamos en proposiciones aritméticas particulares como «1 + 2 = 2 + 1» y «0 + 2 = 2 + 0». Pero cuando queremos generalizar, utilizamos fórmulas que contienen variables, y no números concretos. Por ejemplo, «x + y = y + x» expresa algo general sobre el comportamiento de los números naturales. Sean cuales sean los números naturales x e y, «x + y = y + x» sigue siendo cierto. Lo mismo ocurre con las variables \alpha, \beta, \gamma y \delta, que nos permiten hablar de forma general sobre las premisas y la conclusión de los argumentos. Cualquiera que sea el significado que se dé a \alpha y \beta, es decir, cualquiera que sea la proposición que expresen, (i)-(iii) sigue siendo válida, y lo mismo ocurre con todas sus instancias, como (1)-(3) y (7)-(9).

      Como ya se ha dicho, extraer una determinada forma lógica nos permite hablar, de manera general, de premisas y conclusiones de argumentos. No importa de qué objetos y propiedades concretas -de qué materia concreta- hablen. Y esto nos lleva, de nuevo, a nuestra preocupación inicial sobre la verdadera materia de la lógica:

      La forma puede, pues, estudiarse independientemente de la materia, y resulta que es principalmente en virtud de su forma, y no de su materia, que los argumentos son válidos o inválidos. De ahí que sean las formas de los argumentos, más que los propios argumentos, lo que la lógica investiga. (Lemmon 1971, 4)

      De acuerdo con esta concepción de la lógica, los lógicos están en condiciones de evaluar la validez de un argumento, incluso si no entienden estrictamente el contenido de las afirmaciones dentro del argumento, ni bajo qué condiciones serían verdaderas. Por lo tanto, que las afirmaciones de los argumentos sean verdaderas o no, no es una cuestión de lógica. En cambio, lo que hace la lógica es explorar las formas lógicas de los argumentos, y así establecer su (in)validez.

      La naturaleza de las formas lógicas

      En esta sección y en la siguiente, nos ocuparemos de cuestiones más filosóficas. En esta sección, discutiremos nuestra segunda pregunta: ¿cuál es la naturaleza de una forma lógica? La pregunta sobre la naturaleza de la forma lógica recuerda a la antigua pregunta sobre la naturaleza de los universales. Todas las rosas rojas tienen algo en común; todas comparten o instancian algo. Pero ¿qué es esa cosa, si es que es una cosa? ¿Es la propiedad de ser rojo algo parecido a un universal platónico que existe independientemente de las rosas rojas que lo instancian? ¿O es como un universal aristotélico cuya existencia depende de la existencia de las rosas particulares? Tal vez no tenga ninguna existencia; no es más que un nombre o una etiqueta que utilizamos para hablar de las rosas rojas. Podemos hacer exactamente las mismas preguntas sobre las formas lógicas: ¿Qué es lo que comparten o instancian todos los argumentos válidos de la misma forma? ¿Es una entidad en el mundo, o un símbolo en el lenguaje, o una construcción mental formada y creada por nosotros?

      Suponiendo que las formas lógicas existen, ¿qué son? Hay, en general, dos líneas de pensamiento aquí. Según la primera, las formas lógicas son esquemas y, por tanto, son entidades lingüísticas. Según la segunda, las formas lógicas son propiedades: son entidades extralingüísticas, parecidas a los universales. Son lo que los esquemas expresan o representan. (Una analogía puede ayudar aquí: La expresión «es feliz» es un predicado; es un elemento lingüístico. Pero expresa una entidad extralingüística, como la propiedad de ser feliz.)

      Identificar las formas lógicas con los esquemas parece bastante intuitivo. Pero conduce a una falacia. Como señala Timothy Smiley, la falacia reside en «tratar el medio como el mensaje» (Smiley 1982, 3). Consideremos la forma lógica de (1)-(3):

      1. alfa \N-derecha \N-abreviada \N-beta
      2. \N-beta
      3. / \N-por lo tanto \N-abreviada \N-alfa

      Puede gustar, con igual derecho, identificar la forma lógica de (1)-(3) con:

      1. \gamma \neg \eta
      2. \eta
      3. / \neg \gamma

      Y otro lógico puede preferir captar su forma lógica con un conjunto distinto de variables:

      1. \chi

      ¿Cuál de ellas es la forma lógica de (1)-(3)? Hay muchas maneras diferentes de captar su forma lógica. ¿Cuál de ellas tiene derecho a ser calificada como la forma lógica de (1)-(3)? Esta pregunta es apremiante si se considera que las formas lógicas son esquemas y, por tanto, entidades lingüísticas. Si una forma lógica es sólo una cadena de símbolos, entonces varía utilizando un conjunto distinto de variables. No habrá ninguna manera no arbitraria de elegir una frente a otra como forma lógica de un argumento dado. En otras palabras, no habrá nada que elegir entre estas entidades lingüísticamente distintas y, por lo tanto, ninguna de ellas podría identificarse con la forma lógica del argumento original.

      Esto puede animarnos a identificar las formas lógicas como entidades independientes del lenguaje o invariantes del lenguaje. Desde este punto de vista, las formas lógicas se identifican no con los esquemas, sino con lo que los esquemas expresan o representan. Son entidades mundanas, más que lingüísticas. Este punto de vista no sucumbe al problema anterior. Puesto que, desde este punto de vista, las formas lógicas son entidades mundanas, ninguna de las candidatas anteriores -es decir, (i)-(iii), (iv)-(vi) y (vii)-(ix)- es la forma lógica de (1)-(3). Más bien, cada una de ellas expresa o representa su forma lógica.

      ¿Una forma lógica o muchas?

      Parece entonces que estaremos en mejor posición si asumimos que las formas lógicas son entidades mundanas. Pero esto tampoco nos deja completamente tranquilos. Hasta ahora, hemos asumido que las formas lógicas son entidades únicas. Es decir, hemos asumido que argumentos como (1)-(3) y (7)-(9) tienen una misma forma lógica. Pero, ¿es ése el caso?

      En general, los objetos pueden adoptar muchas formas. Por ejemplo, un soneto concreto puede ser tanto petrarquista como miltoniano, y un jarrón puede ser tanto un cubo como un cubo. También parece que una misma frase puede adoptar muchas formas (al menos, más de una). Consideremos \neg(\textit{P} \neg \neg \textit{Q}). ¿Cuál es su forma lógica? Parece que cada una de las siguientes opciones funciona perfectamente como respuesta a nuestra pregunta: es una negación; es una negación de un condicional; y es una negación de un condicional cuyo consecuente es una negación.

      Supongamos ahora que cada una de estas formas lógicas es una forma lógica de un argumento dado. En virtud de qué es cada una de ellas una forma lógica de un mismo argumento? Es decir, ¿qué explica el hecho de que diferentes formas lógicas sean formas de un mismo argumento? ¿Qué las unifica en este sentido? Una respuesta es decir que todas estas formas tienen una forma lógica común. Pero entonces se puede hacer la misma pregunta sobre esta forma lógica común, ya que esta misma forma tiene otras formas diferentes. ¿En virtud de qué estas formas lógicas son formas de una misma forma? Y este proceso puede ser interminable. Tienes una forma lógica que a su vez tiene otras formas lógicas, y así sucesivamente. Pero esto no es compatible con la tesis de que las formas lógicas son entidades únicas.

      Parece que no siempre podemos hablar de la forma lógica que comparten un argumento o varios argumentos. Si esta opinión es correcta, ¿cuáles son sus implicaciones filosóficas? Podemos seguir entendiendo la noción de validez en términos de la noción de forma lógica?

      Resumen

      Este capítulo comenzó con una pregunta sobre el objeto de la lógica formal: ¿qué es lo que estudia la lógica formal? Discutimos la tesis de que la lógica formal estudia la consecuencia lógica a través de la forma de los argumentos. Luego explicamos la noción de validez en términos de tablas de verdad, que especifican las condiciones bajo las cuales una proposición es verdadera o falsa -por ejemplo, una proposición condicional es falsa sólo cuando su antecedente es verdadero y su consecuencia falsa; en caso contrario, es verdadera. Así pues, como ya hemos comentado, las tablas de verdad pueden emplearse para determinar si los argumentos formulados en el lenguaje de la lógica proposicional son válidos.

      A continuación, profundizamos en lo que significa que los argumentos tengan una forma lógica, y en cómo su forma lógica afecta a su (in)validez. La idea principal es que todo argumento que comparte su forma lógica con un argumento válido es también válido, y en consecuencia, todo argumento que comparte su forma lógica con un argumento inválido es también inválido. Hemos visto cómo esta comprensión de la noción de validez nos permite identificar las falacias formales, como la falacia de afirmar el consecuente. Terminamos este capítulo planteando tres preguntas filosóficas sobre la naturaleza, la existencia y la unicidad de las formas lógicas.

      Ejercicio uno

      Utilizando una tabla de verdad, demuestre que el siguiente argumento, que se conoce como falacia de afirmación del consecuente, es inválido: A flecha derecha B, B; / por lo tanto A.

      Ejercicio dos

      Utilizando una tabla de verdad, cómo que el siguiente argumento, que se conoce como el silogismo hipotético, es válido: A \N-flecha B, B \N-flecha C; / \N-por tanto, A \N-flecha C.

      Ejercicio tres

      Utiliza las tablas de verdad ya dadas para el condicional (\rightarrow) y la negación (\neg), y las dos nuevas tablas de verdad para la conjunción (\wedge) y la disyunción (\vee) que aparecen a continuación, y que sirven para expresar lógicamente los usos comunes de los vernáculos ‘y’ y ‘o’, respectivamente:

      Tabla de verdad para la conjunción

      A	B	A \wedge B
      T	T	T
      T	F	F
      F	T	F
      F	F	F

      Tabla de verdad para disyunción

      A	B	A \vee B
      T	T	T
      T	F	T
      F	T	T
      F	F	F

      Evalúe si los siguientes argumentos son válidos o no. En primer lugar, identifique su forma lógica y, a continuación, utilice tablas de verdad para establecer su (in)validez.

      1. Ahora conocemos la situación. Los Yankees tienen que ganar a los Red Sox o no llegarán a las Series Mundiales, y no harán lo primero.
      2. Sarah sólo aprobará el examen de matemáticas discretas si conoce la teoría de conjuntos. Afortunadamente, conoce bien la teoría de conjuntos, así que aprobará el examen.
      3. Simplemente no se puede ser liberal y republicano, así que o no eres republicano o no eres liberal.
      4. Si Dylan va a la facultad de derecho o de medicina, le irá bien económicamente. Afortunadamente, va a estudiar derecho.
      1. Es más exacto decir que todo argumento que comparte su forma con un argumento inválido es también inválido dentro de esa lógica, pero no necesariamente para toda lógica. Por ejemplo, en la lógica proposicional,
         1. Todos los hombres son mortales
         2. Sócrates es un hombre
         3. / por tanto Sócrates es mortal

         es de la misma forma lógica que:

         1. Todos los hombres son inmortales
         2. Sócrates es un hombre
         3. / \Npor tanto, Sócrates es mortal

         Ambos argumentos pueden traducirse como sigue:

         1. P
         2. Q
         3. / \Npor tanto, R

         Pero (4)-(6), a diferencia de (1)-(3), no es válido, pues si todos los hombres son inmortales y Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es inmortal. Así, en la lógica proposicional, ambos argumentos tienen la misma forma lógica, aunque, desde la perspectiva de una lógica más expresiva, como la de primer orden, que explica el papel que juegan cuantificadores como «todos» y «algunos» dentro de los argumentos, sólo el primero es válido. Así, todo argumento que comparta su forma con un argumento válido es válido dentro de esa lógica, pero no necesariamente de forma generalizada. ↵

      2. Véase Oliver (2010, 172), donde discrepa de Strawson (195, 54). ↵
      3. Esta forma de plantear la cuestión se debe a Smith (2012, 81). ↵
      4. Esto recuerda al argumento aristotélico del Tercer Hombre contra la teoría de las Formas de Platón. ↵

      (También conocida como lógica sentencial.) Lógica formal utilizada por los filósofos que estudia las relaciones lógicas entre las proposiciones distinguiendo entre las proposiciones atómicas, como «a Bob le gusta nadar» y «Bob ganó los 50 metros libres», y los términos lógicos especiales que conectan estas proposiciones, conocidos como las conectivas lógicas. Ejemplos de estas conectivas son «y» (conocida como conjunción), «o» (conocida como disyunción), «no» (conocida como negación) y «si… entonces…» (conocido como condicional material). Según la lógica proposicional, la validez de los argumentos puede explicarse a menudo en términos del comportamiento de las conectivas lógicas dentro de los argumentos.

      Un argumento en el que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

      Las partes de un lenguaje que, según la lógica formal, desempeñan un papel significativo dentro de la (in)validez de un argumento.

      Una proposición de la forma «Si A entonces B», que conecta dos proposiciones más simples A y B. La A en un condicional se conoce como el antecedente, y B el consecuente.

      La forma profunda, oculta, de un argumento debido a la ocurrencia de las conectivas lógicas dentro de él. Según la lógica formal, la forma lógica desempeña un papel importante a la hora de dictar la (in)validez de un argumento.