Az exponenciális növekedés határai

Exponenciális növekedés akkor következik be, amikor a születési ráta meghaladja a halálozási rátát egy népességben. Még ha a születési ráta csak kicsivel nagyobb is, mint a halálozási ráta, a népesség végül a jól ismert J alakú görbében robban ki. Az exponenciális növekedés csak akkor lehetséges, ha végtelen természeti erőforrások állnak rendelkezésre, de a valóságban ez nem így van. A valóságban, a korlátozott erőforrásokkal rendelkező világban az exponenciális növekedés nem folytatódhat a végtelenségig. Az exponenciális növekedés előfordulhat olyan környezetben, ahol kevés egyed és bőséges erőforrások vannak, de amikor az egyedek száma elég nagy lesz, az erőforrások kimerülnek, ami lelassítja a növekedési ütemet. Végül a növekedési ütem eléri vagy kiegyenlítődik. Ezt a populációméretet, amely azt a maximális populációméretet jelenti, amelyet egy adott környezet elviselhet, hordozókapacitásnak nevezzük, és \(K\) jelöli. Az exponenciális növekedésnek ezt a valós viselkedést leíró módosítását elsőként Pierre Verhulst publikálta 1838-ban.

A hagyományos exponenciális növekedésnél a korábbi populációhoz hozzáadott új egyedek száma a populáció százalékos aránya. Más szóval, a meredekség arányos a populációval. Például egy évente 5%-kal növekvő populáció 5 új egyedet adna hozzá, amikor a populáció 100 fő volt, de 150 új egyedet adna hozzá, amikor a populáció 3000 fő volt. Verhulst modellje annyiban különbözött, hogy a növekedés arányos volt a népességgel és a rendelkezésre álló erőforrásokkal. A rendelkezésre álló erőforrások számát csak százalékos arányban kezelték, a kezdetben 100%, majd 0% állt rendelkezésre, amikor a népesség elérte a teherbíró képességet.

Az exponenciálisan növekvő népesség \(P\) képlete a következőképpen írható fel:
\(P = kezdet \cdot \left(1 + r\right)^t\)

míg egy olyan népesség, amely elér egy fennsíkot a teherbíró kapacitásnál, a következőképpen írható fel:
\(P = start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

A hagyományos exponenciális növekedési egyenlethez képest az egyetlen változás az \(\(\frac{K-P}{K}\) tényező beépítése, amely a népesség és a teherbíró képesség közötti különbséget százalékban kifejezve mutatja. Például, ha a teherbíró képesség 100, a népesség pedig 95, akkor az erőforrások 5%-a állna rendelkezésre további növekedésre, mivel \((100-95)/100=5\%\). Ebben az esetben a növekedési ráta az eredeti értéknek csak 5%-a lenne: \(P=start \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

Amikor az exponenciális növekedés lelassul és platóhoz ér, a görbe kissé S alakúnak tűnik. A megfelelő görög betű “sigma”, és a növekedési modellt szigmoidális növekedésnek nevezik. Néha “logisztikus növekedésnek” is nevezik, bár ez összetéveszthető egy nagyon eltérő, a logaritmuson alapuló növekedési modellel. Az exponenciális és a logisztikus növekedés összehasonlítása az alábbi grafikonon látható 5%-os növekedési ráta, 100 egyedből álló kezdeti populáció és 2000 egyedes eltartóképesség esetén.

Notice that initial, the exponential model and the sigmoidal model are almost identical. Amikor a népesség jóval kisebb, mint a teherbíró képesség, az erőforrások lényegében korlátlanok, és a népesség exponenciálisan növekszik. Csak amikor a népesség a hordozókapacitás felé emelkedik, akkor lassul le érezhetően a növekedési ütem, és a szigmoid görbe platójára kerül.

Azt is vegyük észre, hogy a szigmoid növekedési modell nem válik egyre meredekebbé, mint az exponenciális növekedési modell. A szigmoid görbe legmeredekebb része pontosan a maximális populáció felénél, vagyis K/2-nél kisebb populációk esetében a növekedés felgyorsul. A K/2-nél nagyobb populációk esetében a növekedés lelassul.

Összefoglaló

A szigmoidális növekedés az exponenciális növekedés egy olyan módosítása, amelyben a százalékos változás egyre kisebb lesz, ahogy a népesség megközelíti a teherbíró képességet. Az aktuális növekedési ütem a kezdeti növekedési ütem és a rendelkezésre álló erőforrások százalékos arányának szorzata. Kezdetben az erőforrások 100%-a áll rendelkezésre, így a szigmoidális növekedési ütem megegyezik az exponenciális ütemmel. Végül az erőforrások 0%-a áll rendelkezésre, és a szigmoidális növekedési ráta a nullához közelít.

A valós rendszerek ritkán illeszkednek pontosan a szigmoidális növekedési modellhez, de még mindig nagyon hasznos közelítés. Az állatpopulációkon kívül a szigmoidális növekedés modellezheti a betegségek terjedését, a technológia terjedését vagy a pletykák terjedését is. A valós rendszerek gyakran a túlnépesedés fűrészfogas ciklusát mutatják, amelyet a népesség összeomlása vagy akár kihalása követ. Ez akkor következik be, amikor a növekedési ráta elég nagy ahhoz, hogy a populáció túllépje a teherbíró képességet.