Az exponensek hatványok vagy indexek. Az exponens vagy hatvány azt jelöli, hogy egy számot hányszor szorozunk meg ismételten önmagával. Amikor például egy számmal találkozunk, amelyet úgy írunk, hogy 53, az egyszerűen azt jelenti, hogy az 5-öt háromszor megszorozzuk önmagával. Más szavakkal: 53 = 5 x 5 x 5 x 5 = 125.

Az exponenciális kifejezés két részből áll, nevezetesen a b-vel jelölt bázisból és az n-nel jelölt exponensből. Az exponenciális kifejezés általános formája: b n.

Hogyan szorozzunk exponenseket?

Az exponensek szorzásának végrehajtása a magasabb szintű matematika fontos részét képezi, sok diák azonban nehezen érti, hogyan kell elvégezni ezt a műveletet. Bár a negatív és többszörös exponenseket tartalmazó kifejezések zavarosnak tűnnek.

Ebben a cikkben az exponensek szorzását fogjuk megtanulni, és ezért ez segíteni fog abban, hogy sokkal kényelmesebben tudd megoldani az exponensekkel kapcsolatos problémákat.

Az exponensek szorzása a következő altémákat foglalja magában:

• Az azonos bázisú exponensek szorzása
• A különböző bázisú exponensek szorzása
• Negatív exponensek szorzása
• Töredékek szorzása exponensekkel
• A törtek szorzása exponensekkel
• Multiplikációja. törtek exponenseinek szorzása
• Változók szorzása exponensekkel
• Négyzetgyökök szorzása exponensekkel

Exponensek szorzása azonos bázissal

Exponensek szorzása azonos bázisokkal, Az exponenseket összeadjuk. Az exponensek összeadásának szorzási szabálya azonos bázisok esetén a következőképpen általánosítható: A n x a m = a n+ m

1. példa

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m × m) × (m × m × m × m)

.

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Eltérő bázisú exponensek szorzása

Két különböző bázisú, de azonos exponensű változó szorzásakor egyszerűen megszorozzuk a bázisokat, és azonos exponenssel helyettesítjük. Ez a szabály a következőképpen foglalható össze:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Példa 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Ha mind az exponensek, mind az alapok különbözőek, akkor minden számot külön-külön kell kiszámítani, majd az eredményeket összeszorozni. Ebben az esetben a képlet a következő: a n ⋅ b m

Példa 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Hogyan szorozzuk a negatív exponenseket?

Azonos bázisú és negatív exponensű számok esetén egyszerűen összeadjuk az exponenseket. Általában: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Példa 4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

Hasonlóképpen, ha a bázisok különbözőek és az exponensek azonosak, akkor először szorozzuk meg a bázisokat, és használjuk az exponenseket.

a -n x b -n = (a x b) -n

5. példa

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444

• Hogyan szorozzuk a törteket exponensekkel?

Az azonos bázisú törtek szorzásakor az exponenseket összeadjuk. Például:

(a/b) n x (a/b) m = (a/b) n + m

Példa 6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16

• Hogyan szorozzuk a tört exponenseket?

Az általános képlet erre az esetre: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Példa 7

• 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

Hasonlóképpen az azonos bázisú, de különböző exponensű törtexponensek általános képlete a következő: a (n/m) x a (k/j) = a

Példa 8

• 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127

• Hogyan szorozzuk a négyzetgyököket exponensekkel?

Az azonos bázisú exponensek esetén összeadhatjuk az exponenseket:

(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

Példa 9

• (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125

• Változók szorzása exponensekkel

Az azonos bázisú exponensek esetén, összeadhatjuk az exponenseket:

xn * x m = x n + m

Példa 10

• x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

GYakorlati kérdések

1. A téglalap hossza a szélességének négyzete. Ha ennek a téglalapnak a területe 64 négyzetegység, akkor találd meg a téglalap hosszát.
2. A fénynek 5 × 102 másodperc kell ahhoz, hogy a Napból a Földre jusson. Ha a fény sebessége 3 × 108 m/s, mekkora a távolság a Nap és a Föld között?

Válaszok

1. 4 egység
2. 1,5 × 1011 m

Előző lecke | Főoldal | Következő lecke