Ez a fejezet a formális logika természetével kapcsolatos néhány filozófiai kérdést tárgyal. Különös figyelmet kap a logikai forma fogalma, a formális logika célja a logikai forma megragadásában, valamint az érvényesség magyarázata a logikai forma szempontjából. Látni fogjuk, hogy az érvényesség fogalmának ez a megértése hogyan teszi lehetővé az úgynevezett formális tévedések azonosítását, amelyek egy érvelésben annak logikai formája miatt előforduló hibák. A logikai formák természetével kapcsolatos néhány filozófiai problémát is megvitatunk. Az egyszerűség kedvéért a hangsúlyt az állítmányi logikára helyezzük. A tárgyalandó eredmények közül azonban sok nem függ ettől a választástól, és a fejlettebb logikai rendszerekre is alkalmazható.

Logika, érvényesség és logikai formák

A különböző tudományoknak különböző a tárgyuk: a fizika az anyag tulajdonságait próbálja felfedezni, a történelem a múltban történteket, a biológia az élő szervezetek fejlődését és evolúcióját vizsgálja, a matematika a számokról, halmazokról, geometriai terekről és hasonlókról szól, vagy legalábbis annak tűnik. De mit is vizsgál a logika? Mi is valójában a logika?

Ez alapvetően filozófiai kérdés, de megválaszolásához a logikai szabályok és következtetések státuszáról és viselkedéséről kell elmélkedni. A tankönyvek általában úgy mutatják be a logikát, mint az érvényes érvelés premisszái és konklúziója között fennálló következménykapcsolat tudományát, ahol egy érvelés akkor érvényes, ha nem lehetséges, hogy a premisszái igazak, a konklúziója pedig hamis. Ha a logika az érvényes érv premisszái és konklúziója között fennálló következménykapcsolat tudománya, akkor azt mondhatjuk, hogy a logikusok azzal foglalkoznak, hogy egy érv konklúziója következménye-e vagy sem a premisszáinak.

Vizsgáljuk meg alaposabban az érvényesség fogalmát. Vegyük például a következő érvet:

1. Ha Alex egy tengeri keszeg, akkor Alex nem rózsa.
2. Alex egy rózsa.
3. / \Ezért Alex nem tengeri keszeg.

Mutatható, hogy nem lehetséges, hogy (1) és (2) igaz, de (3) hamis. Ennélfogva az egész érv érvényes. Az egyszerűség kedvéért ábrázoljuk az érvelés minden egyes mondatát a standard propozíciós logikában, amelynek célja a különböző tételek szerkezetének és jelentésének elemzése. Ehhez először is be kell mutatnunk logikánk nyelvét.

A mondattani logika ábécéje a mondatokat jelölő betűket tartalmazza: A, B, C és így tovább. Például az “Alex egy rózsa” mondatot lefordíthatjuk, ha csak a B-t használjuk. Hasonlóképpen, az S-t használhatjuk az “Szeretném megszagolni” mondatra. Az állítólogika ábécéje más szimbólumokat is tartalmaz, amelyeket logikai kötőszóknak nevezünk. Az egyik a “nem” vagy a tagadás szimbóluma (\neg ). Amikor azt mondjuk, hogy Alex nem rózsa, akkor tulajdonképpen azt mondjuk, hogy Alex nem rózsa. Ha az “Alex egy rózsa” kifejezést B-vel fordítjuk, akkor az “Alex nem egy rózsa” kifejezést “\neg B”-nek fordítjuk. Egy másik szimbólum (\rightarrow) a “ha … akkor ….” feltételes mondatokat jelöli. Például a “Ha Alex egy rózsa, akkor szeretném megszagolni” szöveget lefordíthatjuk úgy, hogy “B \rightarrow A”. Amikor azt mondjuk, hogy ha Alex egy rózsa, akkor szeretném megszagolni, akkor valami feltételes módot mondunk: azzal a feltétellel, hogy Alex egy rózsa, szeretném megszagolni. Általában egy feltételes mondat két összetevőből áll. Az első összetevőt antecedensnek, a második összetevőt következménynek, az egész mondatot pedig feltételesnek nevezzük. Logikánk nyelvében szerepel az “és” (\wedge), más néven konjunkció, és a “vagy” (\vee), más néven diszjunkció. Ebben a fejezetben azonban csak a tagadással és a feltételes móddal fogunk foglalkozni.

Így, ha A-t használjuk a “Alex egy tengeri keszeg” kifejezésre, akkor (1) A \rightarrow \neg B-vel ábrázolhatjuk, és a fenti (1)-(3) érvelésünket a következőképpen ábrázolhatjuk:

1. A \rightarrow \neg B
2. B
3. / \thereforefore \neg A

De, emlékezzünk vissza, a célunk az volt, hogy megvizsgáljuk, miért érvényes ez az érv, ha egyáltalán érvényes. A “nem” puszta ábrázolása “\neg”-gel és a “ha … akkor” “\rightarrow”-val nem lesz elegendő egy adott érv érvényességének vagy érvénytelenségének ellenőrzéséhez: tudnunk kell azt is, hogy mit jelentenek ezek a szimbólumok és az általuk kifejezett tételek. De hogyan határozhatjuk meg a “\neg ” és a “\rightarrow” jelentését?

Hihető, hogy ha A igaz, akkor a tagadása hamis, és fordítva. Például, ha “Alex egy rózsa” igaz, akkor “Alex nem rózsa” hamis. Ez adja a “\neg” jelentését. Ezt az információt a tagadás jelentéséről egy igazságtáblázat formájában a következőképpen ábrázolhatjuk (a T az igazat, az F pedig a hamisat szimbolizálja):

Itt, az igazságtábla minden sorát úgy olvashatjuk, mint ahogy a világ lehet. Vagyis azokban a helyzetekben vagy lehetséges világokban, ahol A igaz (például ahol Alex valóban tengeri keszeg), \neg \textit{A} hamis (hamis, hogy Alex tengeri keszeg); és fordítva. Így értelmezve az igazságtáblázat megadja azokat a helyzeteket, amelyekben egy A-hoz hasonló tétel igaz, és azokat, amelyekben hamis. Ezenkívül megmondja, hogy \neg \textit{A} milyen helyzetekben igaz, és milyen helyzetekben hamis.

Hasonlóképpen, a “\rightarrow” jelentését is meghatározhatjuk azáltal, hogy megadjuk azokat a helyzeteket, amelyekben a “\textit{A} \rightarrow \textit{B}” igazak vagy hamisak. Íme a “\rightarrow” standard igazságtáblázata:

igazságtáblája.

Mint látható, csak egy olyan sor van, amelyben \textit{A} \rightarrow \textit{B} hamis; azaz a második olyan sor, amelyben a következmény hamis, de az előzmény igaz. Mint az első sorból kiderül, ha A és B egyaránt igaz, akkor \textit{A} is igaz. \rightarrow \textit{B}. Továbbá a harmadik és a negyedik sor azt mondja, hogy ha az előtag hamis, akkor az egész feltételes feltétel igaz, függetlenül attól, hogy a következmény igaz vagy hamis. Ennélfogva minden olyan feltételes feltétel igaz, amelynek hamis az előzménye.

De hogyan lehetséges, hogy egy feltételes feltétel igaz legyen, ha az előzménye hamis? Íme egy javaslat a kérdés megválaszolására: ha az előfeltevésed hamis, akkor joggal következtethetsz bármire, amire csak szeretnél. Például, ha feltételezed, hogy Amszterdam Anglia fővárosa, akkor jogosan következtethetsz bármire; nem számít, hogy igaz vagy hamis. Tehát abból a feltételezésből, hogy Amszterdam Anglia fővárosa, arra következtethetsz, hogy Párizs Franciaország fővárosa. Arra is következtethetsz, hogy Párizs Brazília fővárosa.

Láthatjuk, hogy az igazságtáblák által közvetített egyik fontos információ arra vonatkozik, hogy az olyan összetett mondatok igazsága vagy hamissága, mint a \textit{A} \rightarrow \textit{B} és \neg \textit{A} a bennük szereplő állítmány betűinek igazságától vagy hamisságától függ: a \textit{A} igazsága vagy hamissága \textit{A} \rightarrow \textit{B} igazsága vagy hamissága kizárólag A és B igazságától vagy hamisságától függ. Hasonlóképpen, \neg \textit{A} igazsága vagy hamissága kizárólag A igazságától vagy hamisságától függ.

Most abban a helyzetben vagyunk, hogy ellenőrizni tudjuk, hogy az (1)-(3) érvelésünk érvényes-e vagy sem. És, mint egy pillanat múlva látni fogjuk, egy érv érvényessége vagy érvénytelensége a logikai kötőszók (mint például a “\rightarrow” és a “\neg”) jelentésétől függ, amelyet a megfelelő igazságtáblák határoznak meg. Más szóval, ha ezeknek a kötőszavaknak az igazságtáblái mások lennének, mint amilyenek valójában, akkor más lenne az érvényes érvek gyűjteménye.

Egy érvet akkor definiáltunk érvényesnek, ha nem lehetséges, hogy a premisszái igazak, a konklúziója pedig hamis. Egy igazságtáblázat megtervezésével láthatjuk, hogy az (1)-(3) érvünk premisszái (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) és konklúziója (\neg \textit{A}) milyen feltételek mellett igaz vagy hamis:

Mert a fenti igazság-táblázatban, nincs olyan sor, amelyben a premisszák (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) igazak és a konklúzió (\neg A) hamis, az érv érvényes. Az egyetlen sor, amelyben a premisszák mindketten igazak, a harmadik sor, és ebben a sorban a következtetés is igaz. Más szóval, nincs olyan világ vagy helyzet, amelyben (1) és (2) igaz, de (3) nem. Ez csak azt jelenti, hogy az érv érvényes.

Most nézzük a következő érvet:

1. Ha Alex egy tigris, akkor Alex egy állat.
2. Alex nem tigris.
3. / \Ezért Alex nem állat.

Vannak olyan helyzetek, amelyekben az érv tökéletesen működik. Tegyük fel például, hogy Alex nem tigris, hanem valójában egy asztal. Ebben az esetben Alex sem lenne állat. És így a (4), (5) és (6) mondatok igazak lennének. De ez nem mindig van így, mert elképzelhetünk olyan helyzetet, amelyben a premisszák igazak, de a következtetés hamis, például amikor Alex nem tigris, hanem valójában kutya. Így az imént leírt helyzetet elképzelve ellenpéldát produkáltunk volna: ebben a helyzetben a (6) hamis lenne, és így nem lenne következménye a (4)-nek és az (5)-nek. Az érv érvénytelen.

Az, hogy az érv érvénytelen, az igazságtáblák módszerével is ellenőrizhető. Találhatunk ugyanis olyan helyzetet, amelyben (4) és (5) egyaránt igaz, de (6) mégis hamis. Vagyis az igazságtáblázatban, ha a (4)-et úgy ábrázoljuk, hogy \textit{C} \rightarrow \textit{D}, (5) mint \neg \textit{C}, és (6) mint \neg \textit{D}, akkor lesz legalább egy olyan sor, amelyben a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis (melyik sor az?):

Azt mondtuk, hogy a logikusok az érvek érvényességével vagy érvénytelenségével foglalkoznak, és e feladat elvégzésére az igazságtáblák módszerét javasoltuk. De mely érvek érvényesek, és melyek nem? Itt merül fel a logikai forma fogalma. Tegyük fel, hogy egy logikus belevág abba a nevetséges feladatba, hogy minden egyes érvényes érvet feljegyezzen. Ebben az esetben biztosan feljegyezné, hogy az (1)-(3) érvényes. Most tegyük fel, hogy a következő érvvel áll szemben:

1. Ha Alice Hegelt olvassa, akkor nem frusztrált.
2. Alice frusztrált.
3. / \Ezért Alice nem olvassa Hegelt.

Hogy lássa, érvényes-e ez az érv vagy sem, átírhatja az érv minden mondatát a logikai nyelvén: Alice Hegelt olvassa (\textit{P}); Alice frusztrált (\textit{Q}); és, ha Alice Hegelt olvassa, akkor Alice nem frusztrált) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Ezután megtervezhet egy megfelelő igazságtáblázatot, és ellenőrizheti, hogy van-e olyan sor vagy helyzet, amelyben a premisszák egyszerre igazak és a konklúzió hamis. Mivel nincs ilyen sor (miért?), helyesen fogja kijelenteni, hogy az érv érvényes.

De nyilvánvaló, hogy a (7)-(9) érvényességének ellenőrzéséhez logikusunknak nem kellett ilyen erőfeszítéseket tennie. Elég, ha csak megjegyzi, hogy a két érv (1)-(3) és (7)-(9), valamint a hozzájuk tartozó igazságtáblák nagymértékben hasonlítanak egymásra; ugyanolyan alakúak. Valójában egyetlen különbségük az, hogy az elsőben az A és a B betűket használtuk, a másodikban pedig a P és a Q betűket helyettesítettük. A \rightarrow és \neg logikai kötőszavak nem változtak.

A lényeg megértéséhez fordítsuk le az egyes érveket az általunk fentebb bevezetett állítólagos logika nyelvére:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \thereforefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

A két érvben van valami közös. Mondjuk, hogy ami közös bennük, az a logikai formájuk. Mint láthatjuk, az érvek logikai kötőszói nem változtak. Mivel a két érvnek ugyanaz a formája, ha az egyik érvényes, akkor a másiknak is érvényesnek kell lennie. Általánosabban fogalmazva, minden azonos formájú érv érvényes. A felszabadító hír az, hogy logikusunknak nem kell belevágnia abba a bosszantó feladatba, hogy minden egyes érv érvényességét külön-külön ellenőrizze. Ha ugyanis már tudja, hogy egy adott érv érvényes, és ha azt is meg tudja mutatni, hogy egy másik érvnek ugyanaz a formája, mint az elsőnek, akkor biztos lehet benne, hogy a második érv is érvényes, anélkül, hogy meg kellene terveznie annak igazságtábláját.

Azt mondtuk, hogy egy érv akkor érvényes, ha nem lehetséges, hogy a premisszák igazak, a konklúzió pedig hamis. Most azt mondhatjuk, hogy minden olyan érv, amelynek formája megegyezik egy érvényes érvvel, szintén érvényes, és következésképpen minden olyan érv, amelynek formája megegyezik egy érvénytelen érvvel, szintén érvénytelen. Ebben az értelemben a logikai forma gondolata felhasználható az érvek (érvénytelenségének) megállapítására. Tegyük fel például, hogy a következő érv érvényességét akarjuk ellenőrizni:

1. Ha Alice Russellt olvas, akkor Alice logikára gondol.
2. Alice nem Russellt olvas.
3. / \Ezért Alice nem logikára gondol.

Mihelyt látjuk, hogy a (10)-(12) ugyanolyan formájú, mint a (4)-(6), amelyről már tudjuk, hogy érvénytelen, biztosak lehetünk benne, hogy az előbbi is érvénytelen, anélkül, hogy igazságtábláját meg kellene szerkesztenünk.

Ezáltal láthatjuk, hogy az érvényesség fogalmának a logikai forma szempontjából történő megértése lehetővé teszi számunkra a különböző formális tévedések azonosítását. Például a (10)-(12) érv az antecedens tagadásának tévedése. Így minden olyan érv, amelynek formája megegyezik a (10)-(12)-vel, szintén érvénytelen.

Három további kérdést tehetünk fel a logikai formákkal kapcsolatban: (i) Hogyan tudjuk “kivenni” a logikai formát azokból az érvekből, amelyeken osztoznak? Azaz, hogyan tudjuk megmutatni, hogy a különböző érvek egy közös logikai forma példányai? (ii) Mi a logikai forma természete? A logikai forma egy dolog, és ha igen, milyen dolog? (iii) Minden érvnek csak egy logikai formája van? A következő három szakaszban erről a három kérdésről fogunk beszélni.

Logikai formák kivonása

Még egyszer nézzük meg az (1)-(3) és (7)-(9) érveket, amelyek látszólag egy és ugyanazon logikai formával rendelkeznek. Hogyan mutathatjuk ki, hogy közös logikai formájuk van? Először is, ábrázoljuk őket logikai szimbólumokkal:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \therefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

Ahhoz, hogy lássuk, mi a közös ebben a két érvben, el kell vonnunk (vagy figyelmen kívül kell hagynunk vagy félre kell tennünk) a konkrét premisszák és következtetések konkrét tartalmát, és ezáltal felfednünk egy általános formát, amely közös ezekben az érvekben. Például figyelmen kívül kell hagynunk, hogy Alex rózsa-e vagy sem; csak az számít, hogy az “Alex rózsa” helyett B. Ebben az értelemben, hogy egy érv logikai formáját megkapjuk vagy kivonjuk, el kell vonnunk a premisszák és a konklúzió tartalmától azáltal, hogy azokat pusztán helytartóknak tekintjük abban a formában, amelyet az érv mutat. Amint talán észrevetted, nem vonjuk el a logikai kötőszavak tartalmát. Fontos kérdés, hogy miért nem absztrahálunk a logikai kötőszavaktól. Az alapgondolat az, hogy jelentésük fontos részét képezi az érv logikai formájának, és ezáltal az érv (nem)érvényességének meghatározásában.

A logikai formákról beszélve a kisbetűs görög betűket fogjuk használni, mint például \alfa, \béta, \gamma és \delta. Például az (1)-(3) és (7)-(9) közös logikai formáját a következőképpen ábrázolhatjuk:

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \thereforefore \neg \alpha

Egy analógia segíthet itt: A matematikában bizonyos számtani tételekre gondolunk, mint például “1 + 2 = 2 + 1” és “0 + 2 = 2 + 0”. De amikor általánosítani akarunk, akkor olyan formulákat használunk, amelyek változókat tartalmaznak, és nem konkrét számokat. Például az “x + y = y + x” valami általánosat fejez ki a természetes számok viselkedéséről. Bármilyen természetes számot is jelöl x és y, az “x + y = y + x” igaz marad. Ugyanez vonatkozik az \alfa, \béta, \gamma és \delta változókra is, amelyek lehetővé teszik, hogy általános módon beszéljünk az érvek premisszáiról és konklúzióiról. Bármilyen értelmet is adunk \alphának és \bétának, azaz bármilyen tételeket fejeznek ki, az (i)-(iii) érvényes marad, ahogyan az összes példánya is, például az (1)-(3) és (7)-(9) is.

Amint fentebb említettük, egy bizonyos logikai forma kivonása lehetővé teszi, hogy általános módon beszéljünk az érvek premisszáiról és következtetéseiről. Nem számít, hogy milyen konkrét tárgyakról és tulajdonságokról – milyen konkrét tárgyról – beszélnek. És ez ismét elvezet bennünket a logika valódi tárgyával kapcsolatos kezdeti aggodalmunkhoz:

A forma tehát a tárgytól függetlenül vizsgálható, és mint kiderült, elsősorban a formájuk, nem pedig a tárgyuk alapján érvényesek vagy érvénytelenek az érvek. Ezért a logika inkább az érvek formáit, mint magukat a tényleges érveket vizsgálja. (Lemmon 1971, 4)

A logikának ez a felfogása szerint a logikusok abban a helyzetben vannak, hogy értékeljék egy érv érvényességét, még akkor is, ha nem értik szigorúan az érvben szereplő állítások tartalmát, sem azt, hogy azok milyen feltételek mellett lennének igazak. Az, hogy az érvekben szereplő állítások igazak-e vagy sem, tehát nem a logika dolga. Ehelyett a logika feladata az, hogy feltárja az érvek logikai formáit, és ezáltal megállapítsa azok (nem)érvényességét.”

A logikai formák természete

Ebben és a következő részben filozófiai kérdésekkel fogunk foglalkozni. Ebben a szakaszban a második kérdésünket fogjuk tárgyalni: mi a logikai forma természete? A logikai forma természetére vonatkozó kérdés emlékeztet az univerzumok természetére vonatkozó ősi kérdésre. Minden vörös rózsának van valami közös vonása; mindannyian osztoznak vagy instanciálnak valamit. De mi ez a dolog, ha egyáltalán dolog? A pirosság tulajdonsága hasonlít-e egy platóni univerzálishoz, amely az azt megtestesítő vörös rózsáktól függetlenül létezik? Vagy olyan, mint egy arisztotelészi univerzálé, amelynek létezése az egyes rózsák létezésétől függ? Talán egyáltalán nem is létezik; nem több, mint egy név vagy címke, amelyet arra használunk, hogy a vörös rózsákról beszéljünk. Pontosan ugyanilyen párhuzamos kérdéseket tehetünk fel a logikai formákkal kapcsolatban is: Mi az, amiben az azonos formájú érvényes érvek mindegyike osztozik, vagy amiben instanciája van? Ez egy entitás a világban, vagy egy szimbólum a nyelvben, vagy egy általunk alkotott és létrehozott mentális konstrukció?

Föltételezve, hogy a logikai formák léteznek, mik ezek? Itt általánosságban két gondolatmenetet különböztethetünk meg. Az első szerint a logikai formák sémák, tehát nyelvi entitások. A második szerint a logikai formák tulajdonságok: nyelven kívüli entitások, az univerzálékhoz hasonlóan. Ezek azok, amelyeket a sémák kifejeznek vagy reprezentálnak. (Egy analógia segíthet itt: A “boldog” kifejezés egy predikátum; ez egy nyelvi elem. De egy nyelven kívüli entitást fejez ki, például a boldogság tulajdonságát.)

A logikai formák sémákkal való azonosítása elég intuitívnak tűnik. De ez egy tévedéshez vezet. Ahogy Timothy Smiley rámutat, a tévedés abban rejlik, hogy “a médiumot üzenetként kezeljük” (Smiley 1982, 3). Tekintsük az (1)-(3) logikai formáját:

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \therefore \neg \alpha

Az (1)-(3) logikai formáját ugyanilyen joggal azonosíthatjuk:

1. \gamma \rightarrow \neg \eta
2. \eta
3. / \thereforefore \neg \gamma

Egy másik logikus pedig a logikai formát egy külön változóhalmazzal szeretné megragadni:

1. \chi \rightarrow \neg \delta
2. \delta
3. / \thereforefore \neg \chi

Melyik ezek közül az (1)-(3) logikai formája? A logikai formáját többféleképpen is meg lehet ragadni. Ezek közül melyiknek van joga az (1)-(3) logikai formájának minősíteni? Ez a kérdés sürgető, ha a logikai formákat sémáknak, tehát nyelvi entitásoknak tekintjük. Ha egy logikai forma csak szimbólumok sorozata, akkor a változók egy meghatározott halmazának használatával variálódik. Nem lesz nem önkényes módja annak, hogy az egyiket bármely másikkal szemben egy adott érv logikai formájaként válasszuk. Más szóval, nem lesz mit választani e nyelvileg különböző entitások között, és ezért egyiket sem lehetne azonosítani az eredeti érv logikai formájával.

Ez arra ösztönözhet bennünket, hogy a logikai formákat nyelvfüggetlen vagy nyelvi invariáns entitásokként azonosítsuk. E nézet szerint a logikai formákat nem a sémákkal azonosítjuk, hanem azzal, amit a sémák kifejeznek vagy képviselnek. Ezek inkább világi, mint nyelvi entitások. Ez a nézet nem veti alá magát a fenti problémának. Mivel e nézet szerint a logikai formák világi entitások, a fenti jelöltek – azaz (i)-(iii), (iv)-(vi) és (vii)-(ix) – egyike sem az (1)-(3) logikai formája. Inkább mindegyikük kifejezi vagy képviseli annak logikai formáját.

Egy logikai forma vagy sok?

Úgy tűnik tehát, hogy jobb helyzetben leszünk, ha feltételezzük, hogy a logikai formák világi entitások. De ez sem hagy minket teljesen otthon és szárazon. Eddig azt feltételeztük, hogy a logikai formák egyedi entitások. Vagyis feltételeztük, hogy az olyan érvek, mint (1)-(3) és (7)-(9) egy és ugyanazon logikai formával rendelkeznek. De vajon így van-e?

Az objektumok általában sokféle formát ölthetnek. Például egy adott szonett lehet egyszerre Petrarchan és Milton, és egy váza lehet egyszerre kocka és kocka. Emellett úgy tűnik, hogy egyetlen mondat is sok (legalábbis egynél több) formát ölthet. Vegyük \neg(\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Mi a logikai formája? Úgy tűnik, hogy a következő lehetőségek mindegyike tökéletesen megfelel a kérdésünkre adott válaszként: ez egy tagadás; ez egy feltételes tagadása; és ez egy olyan feltételes tagadása, amelynek következménye egy tagadás.

Tegyük fel most, hogy e logikai formák mindegyike egy adott érv logikai formája. Minek az alapján mindegyikük egy és ugyanazon érv logikai formája? Vagyis mi magyarázza azt, hogy a különböző logikai formák egy és ugyanazon érv formái? Mi egyesíti őket ebben a tekintetben? Az egyik válasz az, hogy mindezen formáknak van egy közös logikai formája. De akkor ugyanezt a kérdést feltehetjük ezzel a közös logikai formával kapcsolatban is, hiszen éppen ennek a formának vannak további különböző formái. Mi alapján egy és ugyanazon logikai forma formái ezek a logikai formák? És ez a folyamat a végtelenségig folytatódhat. Van egy logikai formád, amelynek önmagában is vannak más logikai formái, és így tovább. De ez nem egyeztethető össze azzal a tézissel, hogy a logikai formák egyedi entitások.”

Összefoglaló

Ez a fejezet a formális logika tárgyával kapcsolatos kérdéssel indult: mi az, amit a formális logika vizsgál? Megvitattuk azt a tézist, hogy a formális logika a logikai következményt az érvek formáján keresztül tanulmányozza. Ezután kifejtettük az érvényesség fogalmát az igazságtáblák szempontjából, amelyek megadják, hogy egy tétel milyen feltételek mellett igaz vagy hamis – például egy feltételes tétel csak akkor hamis, ha az előzménye igaz, a következménye pedig hamis; egyébként igaz. Így, ahogy fentebb tárgyaltuk, az igazságtáblák felhasználhatók annak meghatározására, hogy a propozíciós logika nyelvén megfogalmazott érvek érvényesek-e.

Ezután mélyebbre ástuk magunkat abban, hogy mit jelent az érvek logikai formája, és hogyan befolyásolja logikai formájuk az (in)érvényességüket. A fő gondolat az, hogy minden olyan érv, amelynek logikai formája megegyezik egy érvényes érvvel, szintén érvényes, és következésképpen minden olyan érv, amelynek logikai formája megegyezik egy érvénytelen érvvel, szintén érvénytelen. Láttuk, hogy az érvényesség fogalmának ez a megértése hogyan teszi lehetővé számunkra a formális tévedések, például a következetesség megerősítésének tévedése azonosítását. Ezt a fejezetet azzal fejeztük be, hogy három filozófiai kérdést tettünk fel a logikai formák természetéről, létezéséről és egyediségéről.