Triple Pythagore

septembre 2, 2021
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Un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers positifs a, b, et c tel qu’il existe un triangle rectangle avec des branches a,b et une hypoténuse c. Par le théorème de Pythagore, cela revient à trouver des entiers positifs a, b, et c satisfaisant

a^2+b^2=c^2.
(1)

Le plus petit et le plus connu des triplés pythagoriciens est (a,b,c)=(3,4,5). Le triangle rectangle ayant ces longueurs de côté est parfois appelé le triangle 3, 4, 5.

PythagoreanTriples

Les tracés des points dans le plan (a,b) tels que (a,b,sqrt(a^2+b^2)) est un triple de Pythagore sont montrés ci-dessus pour des bornes successivement plus grandes. Ces tracés incluent les valeurs négatives de a et b, et sont donc symétriques par rapport aux axes x et y.

PythagoreanTriplesAC

De même, les tracés des points dans le plan (a,c) tels que (a,sqrt(c^2-a^2),c) est un triplet pythagoricien sont montrés ci-dessus pour des bornes successivement plus grandes.

PrimitivePythagoreanTriple

Il est habituel de ne considérer que les triplets pythagoriciens primitifs (appelés aussi triplets « réduits ») dans lesquels a et b sont relativement premiers, puisque d’autres solutions peuvent être générées trivialement à partir des primitifs. Les triples primitifs sont illustrés ci-dessus, et on peut voir immédiatement que les lignes radiales correspondant aux triples imprimitifs dans le tracé original sont absentes dans cette figure. Pour les solutions primitives, l’un des a ou b doit être pair, et l’autre impair (Shanks 1993, p. 141), c étant toujours impair.

En outre, un côté de chaque triple pythagoricien est divisible par 3, un autre par 4, et un autre par 5. Un côté peut avoir deux de ces diviseurs, comme dans (8, 15, 17), (7, 24, 25), et (20, 21, 29), ou même les trois, comme dans (11, 60, 61).

Donné un triplet primitif (a_0,b_0,c_0), trois nouveaux triplets primitifs sont obtenus à partir de

(a_1,b_1,c_1) = (a_0,b_0,c_0)U
(2)
(a_2,b_2,c_2) = (a_0,b_0,c_0)A
(3)
(a_3,b_3,c_3) = (a_0,b_0,c_0)D,
(4)

où

.

U =
(5)
A =
(6)
D =.
(7)

Hall (1970) et Roberts (1977) prouvent que (a,b,c) est un triple primitif pythagoricien si

(a,b,c)=(3,4,5)M,
(8)

où M est un produit fini des matrices U, A, D. Il s’ensuit donc que tout triple primitif pythagoricien doit être un membre du tableau infini

( 7, 24, 25) ; ( 5, 12, 13) ( 55, 48, 73) ; ( 45, 28, 53) ; ( 39, 80, 89) ; (3, 4, 5) ( 21, 20, 29) ( 119, 120, 169) ; ( 77, 36, 85) ; ( 33, 56, 65) ; ( 15, 8, 17) ( 65, 72, 97) ; ( 35, 12, 37).
(9)

Pythagore et les Babyloniens ont donné une formule pour générer des triples (pas nécessairement primitifs) comme

(2m,m^2-1,m^2+1),
(10)

pour m1, ce qui génère un ensemble de triplets distincts ne contenant ni tous les triplets primitifs ni tous les triplets imprimitifs (et où dans le cas particulier m=2, m^2-12m).

Les Grecs anciens donnaient

(v^2-u^2,2uv,u^2+v^2),
(11)

où u et vu sont relativement premiers et de parité opposée (Shanks 1993, p. 141), ce qui génère un ensemble de triplets distincts contenant précisément les triplets primitifs (après avoir trié de manière appropriée v^2-u^2 et 2uv).

Laissez F_n être un nombre de Fibonacci. Alors

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(12)

génère des triples de Pythagore distincts (Dujella 1995), bien que de manière non exhaustive pour les triples primitifs ou imprimitifs. Plus généralement, en partant des entiers positifs a, b, et en construisant la suite de type Fibonacci {F_n^'} avec les termes a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, …. génère des triplets pythagoriciens distincts

(F_n^'F_(n+3)^',2F_(n+1)^'F_(n+2)^',F_(n+1)^'^2+F_(n+2)^'^2)
(13)

(Horadam 1961), où

F_n^'=1/2 pour a_0=0 ; 1/2 pour a_0=1
(24)

(Beiler 1966, p. 116). Notez que L(s)=1 si s est premier ou deux fois premier. Les premiers nombres pour s=1, 2, … sont 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 4, 1, …. (OEIS A046079).

Pour trouver le nombre de façons H_p(s) dont un nombre s peut être l’hypoténuse d’un triangle rectangle primitif, écrire sa factorisation comme

s=2^(a_0)(p_1^(a_1)...p_n^(a_n))(q_1^(b_1)...q_r^(b_r)),
(25)

où les ps sont de la forme 4x-1 et les qs sont de la forme 4x+1. Le nombre de triangles droits primitifs possibles est alors

H_p(s)={2^(r-1) pour n=0 et a_0=0 ; 0 sinon,.
(26)

Par exemple, H_p(65)=2 puisque

.

65^2 = 16^2+63^2
(27)
= 33^2+56^2.
(28)

Les valeurs de H_p(n) pour n=1, 2, … sont 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, …. (OEIS A024362). Les quelques premiers nombres premiers de la forme 4x+1 sont 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, …. (OEIS A002144), donc les plus petites longueurs de côté qui sont les hypoténuses de 1, 2, 4, 8, 16, … triangles droits primitifs sont 5, 65, 1105, 32045, 1185665, 48612265, … (OEIS A006278).

Le nombre de triangles rectangles primitifs ou non primitifs possibles ayant s comme hypoténuse est

.

H(s) = 1/2
(29)
= 1/8
(30)

(correction de la coquille de Beiler 1966, p. 117, qui indique que cette formule ne donne que le nombre de solutions non primitives), où r_k(n) est la fonction somme des carrés. Par exemple, il existe quatre triangles entiers distincts dont l’hypoténuse est 65, puisque

65^2=16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2.
(31)

Les premiers nombres pour s=1, 2, … sont 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, …. (OEIS A046080). Les plus petits hypoténus ayant n triples distincts sont 1, 5, 25, 125, 65, 3125, …. (OEIS A006339). Le tableau suivant donne les hypoténuses pour lesquelles il existe exactement n triangles entiers droits distincts pour n=0, 1, …, 5.

n OEIS hypoténuses pour lesquelles il existe n triangles entiers distincts
0 A004144 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, ….
1 A084645 5, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, …
2 A084646 25, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, …..
3 A084647 125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, …
4 A084648 65, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221, 255, ….
5 A084649 3125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, …

Donc, le nombre total de façons dont s peut être soit un pied soit une hypoténuse d’un triangle rectangle est donné par

T(s)=L(s)+H(s).
(32)

Les valeurs de s=1, 2, … sont 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 3, …. (OEIS A046081). Les plus petits nombres s qui peuvent être les côtés de T triangles droits généraux pour T=1, 2, … sont 3, 5, 16, 12, 15, 125, 24, 40, …. (OEIS A006593 ; Beiler 1966, p. 114).

Il existe 50 triplets pythagoriciens dont l’hypoténuse est inférieure à 100, dont les premiers, triés par c croissants, sont (3, 4, 5), (6, 8,10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), … (OEIS A046083, A046084, et A009000).

Parmi ceux-ci, seuls 16 sont des triplets primitifs dont l’hypoténuse est inférieure à 100 : (3, 4,5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (33, 56, 65), (16, 63, 65), (48, 55, 73), (36, 77, 85), (13, 84, 85), (39, 80, 89), et (65, 72, 97) (OEIS A046086, A046087, et A020882).

Disons que le nombre de triplets avec hypoténuse N est noté Delta(N), le nombre de triplets avec hypoténuse =N est noté Delta^'(N), et le nombre de triplets primitifs inférieurs à N est noté Delta_p(N). Puis le tableau suivant résume les valeurs des puissances de 10.

Delta OEIS Delta(10), Delta(10^2), ….
Delta(N) A101929 1, 50, 878, 12467, …
Delta^'(N) A101930 2, 52, 881, 12471, …..
Delta_p(N) A101931 1, 16, 158, 1593, …

Lehmer (1900) a prouvé que le nombre de solutions primitives avec hypoténuse inférieure à N satisfait

lim_(N-infty)(Delta_p(N))/N=1/(2pi)=0,1591549....
(33)

(OEIS A086201).

PythagoreanIncircles

Les inradii des quelques premiers triangles de Pythagore primitifs ordonnés par c croissants sont donnés par 1, 2, 3, 3, 6, 5, 4, 10, 5, …. (OEIS A014498).

Il existe une méthode générale pour obtenir des triplets de triangles de Pythagore avec des aires égales. Prenez les trois ensembles de générateurs comme

.

m_1 = r^2+rs+s^2
(34)
n_1 = r^2-s^2
(35)
m_2 = r^2+rs+s^2
(36)
n_2 = 2rs+s^2
(37)
m_3 = r^2+2rs
(38)
n_3 = r^2+rs+s^2.
(39)

Alors le triangle rectangle engendré par chaque triple (m_i^2-n_i^2,2m_in_i,m_i^2+n_i^2) a une aire commune

A=rs(2r+s)(r+2s)(r+s)(r-s)(r+rs+s^2)
(40)

(Beiler 1966, pp. 126-127). Le seul extremum de cette fonction se produit à (r,s)=(0,0). Puisque A(r,s)=0 pour r=s, la plus petite aire partagée par trois triangles droits non primitifs est donnée par (r,s)=(1,2), ce qui donne une aire de 840 et correspond aux triplets (24, 70, 74), (40, 42, 58), et (15, 112, 113) (Beiler 1966, p. 126).

Les triangles droits dont les aires consistent en un seul chiffre comprennent (3,4,5) (aire de 6) et (693,1924,2045) (aire de 666666 ; Wells 1986, p. 89).

En 1643, Fermat a mis au défi Mersenne de trouver un triplet pythagoricien dont l’hypoténuse et la somme des jambes étaient des carrés. Fermat a trouvé la plus petite solution de ce type :

.

X = 4565486027761
(41)
Y = 1061652293520
(42)
Z = 4687298610289,
(43)

avec

.

Z = 2165017^2
(44)
X+Y = 2372159^2.
(45)

Un problème connexe consiste à déterminer si un entier spécifié N peut être l’aire d’un triangle rectangle avec des côtés rationnels. 1, 2, 3 et 4 ne sont les aires d’aucun triangle rectangle à côtés rationnels, mais 5 est (3/2, 20/3, 41/6), tout comme 6 (3, 4, 5). La solution du problème implique la courbe elliptique

y^2=x^3-N^2x.
(46)

Une solution (a, b, c) existe si (46) a une solution rationnelle, auquel cas

x = 1/4c^2
(47)
y = 1/8(a^2-b^2)c
(48)

(Koblitz 1993). Il n’existe pas de méthode générale connue pour déterminer s’il existe une solution pour des N arbitraires, mais une technique conçue par J. Tunnell en 1983 permet d’écarter certaines valeurs (Cipra 1996).

.

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