Le taux spot d’une obligation est le rendement actuel pour une échéance donnée. Les taux spot du marché pour certains termes sont égaux au rendement à l’échéance des obligations à coupon zéro avec ces termes. Le taux au comptant augmente à mesure que le terme augmente, mais cette tendance s’écarte fréquemment. Ainsi, les obligations ayant des échéances plus longues ont généralement des rendements plus élevés. Un graphique des taux au comptant pour différentes échéances forme la courbe de rendement, et la forme de cette courbe détermine souvent l’efficacité de certaines stratégies obligataires, notamment celles visant à réduire le risque de taux d’intérêt, comme les stratégies d’immunisation des obligations. De plus, certains détenteurs d’obligations à coupon veulent dépouiller les obligations en une série d’obligations à zéro coupon, soit pour atténuer le risque en faisant correspondre plus étroitement la durée des actifs aux passifs, soit pour réaliser un profit en vendant les zéros. Un profit peut également être réalisé en reconstituant les obligations à coupon zéro dans l’obligation originale, si la somme des zéros est moins chère que l’obligation reconstituée. Vendre des zéros ou reconstituer les zéros en fonction des prix du marché est une forme d’arbitrage, un moyen de réaliser un profit sans risque. Cependant, la rentabilité de l’émission de zéros, du démembrement des coupons ou de la reconstitution des coupons dépend de la courbe des taux au comptant, ou courbe des rendements, qui permet à l’investisseur d’estimer le prix du marché pour une obligation d’une certaine durée. Souvent, cependant, il ne se vend pas suffisamment d’obligations à coupon zéro sur le marché pour indiquer clairement quel serait le prix réel des obligations à une échéance donnée. Comment les taux au comptant peuvent-ils être déterminés pour les échéances pour lesquelles les informations sur le marché font défaut ?

Le taux à terme, qui est le taux d’intérêt pour une certaine échéance qui commence dans le futur et se termine plus tard, est étroitement lié au taux au comptant. Ainsi, si une entreprise souhaite emprunter de l’argent dans un an pour une durée de deux ans à un taux d’intérêt connu aujourd’hui, une banque peut garantir ce taux en utilisant un contrat de taux à terme et en utilisant le taux à terme comme intérêt sur le prêt. Les contrats de taux à terme, un type courant de produit dérivé, sont basés sur les taux à terme. Les taux à terme sont également nécessaires pour évaluer les obligations avec des options intégrées. Mais puisque les taux à terme sont des prix au comptant futurs pour les taux d’intérêt, ce qui est inconnaissable, comment les taux à terme sont-ils déterminés ?

Les courbes des taux au comptant et les taux à terme impliqués par les prix du marché peuvent être déterminés à partir des prix du marché des obligations à coupon par un processus appelé bootstrapping.

Taux à terme

Le prix d’une obligation = la valeur actuelle de tous ses flux de trésorerie. La technique habituelle consiste à utiliser un rendement constant à l’échéance (YTM) pour calculer la valeur actuelle des flux de trésorerie. Cependant, l’équation du prix de l’obligation peut être utilisée pour calculer les taux à terme tels qu’ils sont impliqués par les prix actuels du marché des obligations à différents coupons.

Prix des obligations calculé à l’aide d’un rendement constant à l’échéance

Prix des obligations	=	C1(1+YTM)1	+	C2(1+YTM)2	+ … +	Cn(1+YTM)n	+	P(1+YTM)n
C = paiement du coupon par période P = valeur nominale de l’obligation n = nombre d’années jusqu’à l’échéance YTM = rendement à l’échéance

Une obligation à coupon peut être considérée comme un groupe d’obligations à coupon zéro.coupon avec un zéro correspondant à chaque paiement de coupon et au remboursement final du principal. Ainsi, chaque flux de trésorerie doit être actualisé au taux d’intérêt approprié pour la période au cours de laquelle le flux de trésorerie sera reçu. La valeur des obligations à coupon zéro doit être égale à celle de l’obligation à coupon ; sinon, un arbitragiste pourrait dépouiller l’obligation et vendre les zéros à profit, comme il le fait parfois.

Les taux à terme ainsi calculés ne sont pas des prévisions des taux d’intérêt futurs, puisque ceux-ci sont inconnus. Au contraire, les taux à terme sont simplement calculés à partir des prix actuels des obligations ; c’est pourquoi ils sont parfois appelés taux à terme implicites, parce qu’ils sont implicites par les prix du marché obligataire de la même manière que la volatilité implicite est déterminée par les prix du marché des options.

Bootstrapping

Les Treasuries sont le type d’obligation idéal à utiliser pour construire une courbe de rendement parce qu’ils n’ont pas de risque de crédit, donc les prix du Trésor dépendent davantage des taux d’intérêt du marché. Les Treasuries définissent une courbe de rendement sans risque, mais les prix du marché impliquent également des taux à terme, qui sont des rendements pour certaines périodes dans le futur.

Parce que les notes et les obligations du Trésor sont généralement émises comme des obligations à coupon, leurs prix ne peuvent pas simplement être utilisés pour construire la courbe des taux au comptant ou pour calculer les taux à terme. Au lieu de cela, une courbe théorique des taux spot et des taux forward implicites sont construits par le processus de bootstrapping qui calcule les taux forward en considérant la valeur des obligations à coupon zéro équivalentes aux obligations du Trésor. Les taux à terme calculés peuvent ensuite construire la courbe des taux au comptant en additionnant les rendements de chaque terme jusqu’à l’échéance souhaitée.

La technique de bootstrapping est basée sur l’équation prix-rendement en utilisant différents taux pour chacun des termes de 6 mois, tels que déterminés par les prix du marché :

Équation prix-rendement utilisant différents taux pour chaque flux financier

Prix de l’obligation	=	C1(1+r1)1	+	C2(1+r2)2	+ … +	Cn(1+rn)n	+	P(1+rn)n
r = taux d’intérêt par période Si r = un rendement annuel, mais que le terme est pour ½ an, alors divisez par 2

Le taux d’intérêt est calculé en 1er pour l’obligation à 6 mois qui a un prix de marché connu, qui n’a qu’un seul paiement, composé du paiement du coupon et du remboursement du capital, à son échéance. Une fois le taux calculé pour la 1ère période avec l’obligation à 6 mois, ce taux est utilisé pour calculer le taux de la 2ème période d’une obligation à 1 an, et ainsi de suite, jusqu’à ce que tous les taux pour le nombre souhaité de périodes pour lesquelles il existe des prix de marché aient été déterminés. C’est ce qu’on appelle la technique du bootstrapping, car les taux spot calculés antérieurement sont utilisés pour calculer les taux spot ultérieurs par étapes successives.

Conclusion

La technique de bootstrapping est simple, mais trouver la courbe de rendement réelle et la lisser nécessite des mathématiques plus compliquées, car les prix des obligations ne sont pas seulement affectés par les taux d’intérêt, mais aussi par d’autres facteurs, tels que le risque de crédit, les taxes, la liquidité et la simple variance de l’offre et de la demande pour chaque échéance. Des techniques mathématiques plus sophistiquées sont utilisées pour déterminer des taux plus réalistes, mais elles dépassent le cadre de cet article. Néanmoins, le bootstrapping illustre comment les taux à terme peuvent être calculés à partir des prix actuels des obligations, qui peuvent ensuite être reconstitués pour combler les lacunes de la courbe des taux au comptant.