Les exposants sont des puissances ou des indices. Un exposant ou une puissance dénote le nombre de fois qu’un nombre est multiplié de façon répétée par lui-même. Par exemple, lorsque nous rencontrons un nombre écrit comme, 53, cela implique simplement que 5 est multiplié par lui-même trois fois. En d’autres termes, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Une expression exponentielle se compose de deux parties, à savoir la base, dénotée comme b et l’exposant, dénoté comme n. La forme générale d’une expression exponentielle est b n.

Comment multiplier les exposants?

Préparer la multiplication des exposants constitue une partie cruciale des mathématiques de niveau supérieur, cependant, de nombreux étudiants ont du mal à comprendre comment procéder à cette opération. Bien que les expressions impliquant des exposants négatifs et multiples semblent confuses.

Dans cet article, nous allons apprendre la multiplication des exposants et donc, cela va vous aider à vous sentir beaucoup plus à l’aise pour aborder les problèmes avec des exposants.

La multiplication des exposants implique les sous-thèmes suivants :

• Multiplication d’exposants de même base
• Multiplication d’exposants de bases différentes
• Multiplication d’exposants négatifs
• Multiplication de fractions avec des exposants
• Multiplication de exposants fractionnaires
• Multiplication de variables avec des exposants
• Multiplication de racines carrées avec des exposants

Multiplication d’exposants de même base

Dans la multiplication d’exposants de même base, les exposants sont ajoutés ensemble. La règle de multiplication de l’addition des exposants lorsque les bases sont les mêmes peut être généralisée comme suit : a n x a m = a n+ m

Exemple 1

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m) × (m × m × m)

.

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Multiplication d’exposants de bases différentes

Lorsqu’on multiplie deux variables de bases différentes mais de mêmes exposants, on multiplie simplement les bases et on place le même exposant. Cette règle peut être résumée comme suit :

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Exemple 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Si les exposants et les bases sont différents, alors chaque nombre est calculé séparément et les résultats sont multipliés ensemble. Dans ce cas, la formule est donnée par : a n ⋅ b m

Exemple 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Comment multiplier des exposants négatifs?

Pour les nombres ayant la même base et des exposants négatifs, on additionne simplement les exposants. En général : a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Exemple 4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

De même, si les bases sont différentes et les exposants identiques, on multiplie d’abord les bases et on utilise l’exposant.

a -n x b -n = (a x b) -n

Exemple 5

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444

• Comment multiplier des fractions avec des exposants?

Lorsqu’on multiplie des fractions ayant la même base, on additionne les exposants. Par exemple :

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

Exemple 6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16

• Comment multiplier des exposants fractionnaires ?

La formule générale pour ce cas est : a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Exemple 7

• 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

De même, les exposants fractionnaires ayant les mêmes bases mais des exposants différents ont la formule générale donnée par : a (n/m) x a (k/j) = a

Exemple 8

• 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7.127

• Comment multiplier des racines carrées avec des exposants ?

Pour les exposants ayant la même base, on peut additionner les exposants :

(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

Exemple 9

• (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125

• Multiplication de variables avec des exposants

Pour les exposants de même base, on peut additionner les exposants :

xn * x m = x n + m

Exemple 10

• x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

Questions pratiques

1. La longueur d’un rectangle est le carré de sa largeur. Si l’aire de ce rectangle est de 64 unités carrées, trouvez la longueur d’un rectangle.
2. La lumière met 5 × 102 secondes pour voyager du Soleil à la Terre. Si la vitesse de la lumière est de 3 × 108 m/s, quelle est la distance entre le Soleil et la Terre ?

Réponses

1. 4 unités
2. 1,5 × 1011 m

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