Limites de la croissance exponentielle

La croissance exponentielle se produit chaque fois que le taux de natalité dépasse le taux de mortalité dans une population. Même si le taux de natalité n’est que légèrement supérieur au taux de mortalité, la population finira par exploser selon la courbe familière en forme de J. La croissance exponentielle n’est possible que lorsque des ressources naturelles infinies sont disponibles, mais ce n’est pas le cas dans le monde réel. Dans le monde réel, avec ses ressources limitées, la croissance exponentielle ne peut se poursuivre indéfiniment. La croissance exponentielle peut se produire dans des environnements où il y a peu d’individus et des ressources abondantes, mais lorsque le nombre d’individus devient suffisamment important, les ressources s’épuisent, ce qui ralentit le taux de croissance. Le taux de croissance finit par atteindre un plateau ou se stabiliser. Cette taille de population, qui représente la taille de population maximale qu’un environnement particulier peut supporter, est appelée capacité de charge et est notée \(K\). La première personne à publier une modification de la croissance exponentielle qui décrit ce comportement dans le monde réel est Pierre Verhulst, en 1838.

Dans la croissance exponentielle traditionnelle, le nombre de nouveaux individus qui sont ajoutés à la population précédente est un pourcentage de la population elle-même. En d’autres termes, la pente est proportionnelle à la population. Par exemple, une population qui croît de 5% chaque année ajoutera 5 nouveaux individus lorsque la population est de 100, mais elle ajoutera 150 nouveaux individus lorsque la population est de 3000. Le modèle de Verhulst était différent dans la mesure où la croissance était proportionnelle à la population et aux ressources disponibles. Le nombre de ressources disponibles était juste traité comme un pourcentage, avec 100% disponibles au début et 0% disponibles lorsque la population atteignait la capacité de charge.

La formule de la population, \(P\), qui croît de façon exponentielle peut être écrite comme:
\(P = début \cdot \left(1 + r\right)^t\)

alors qu’une population qui atteint un plateau à la capacité de charge peut être écrite comme :
\P = départ \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

Le seul changement à l’équation de croissance exponentielle traditionnelle est l’inclusion du facteur \(\frac{K-P}{K}\), qui représente l’écart entre la population et la capacité de charge en pourcentage. Par exemple, si la capacité de charge est de 100 et que la population est de 95, 5 % des ressources seront disponibles pour une croissance supplémentaire, car \((100-95)/100=5%\). Dans ce cas, le taux de croissance ne serait que de 5 % de sa valeur initiale : \(P=début \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

Lorsque la croissance exponentielle ralentit et atteint un plateau, la courbe a un peu la forme d’un S. La lettre grecque correspondante « sigma », et le modèle de croissance est appelé croissance sigmoïdale. On l’appelle aussi parfois « croissance logistique », bien que cela puisse créer une confusion avec un modèle de croissance très différent basé sur le logarithme. Une comparaison de la croissance exponentielle et logistique est montrée dans le graphique ci-dessous pour un taux de croissance de 5%, une population initiale de 100 individus, et une capacité de charge de 2000 individus.

Notez qu’initialement, le modèle exponentiel et le modèle sigmoïdal sont presque identiques. Lorsque la population est beaucoup plus petite que la capacité de charge, les ressources sont essentiellement illimitées, et la population croît de façon exponentielle. Ce n’est que lorsque la population augmente vers la capacité de charge que le taux de croissance ralentit sensiblement, et que la courbe sigmoïdale atteint un plateau.

Notez également que le modèle de croissance sigmoïdale ne devient pas de plus en plus raide comme le modèle de croissance exponentielle. La partie la plus raide de la courbe sigmoïdale se situe exactement à la moitié de la population maximale, soit K/2 Pour les populations qui sont plus petites que K/2, la croissance s’accélère. Pour les populations qui sont plus grandes que K/2, la croissance ralentit.