Spot-kurssit, termiinikurssit ja Bootstrapping

13 tammikuun, 2022
| Ei kommentteja

Obligaation spot-korko on kulloinenkin tuotto tietyllä aikavälillä. Tiettyjen juoksuaikojen markkinakohtaiset spot-korot ovat yhtä suuret kuin kyseisillä juoksuajoilla olevien nollakuponkisten joukkovelkakirjalainojen tuotto eräpäivään asti. Spot-korko nousee juoksuajan kasvaessa, mutta tämä kuvio poikkeaa usein. Niinpä pidemmän maturiteetin joukkovelkakirjalainoilla on yleensä korkeampi tuotto. Eri maturiteettien spot-korkojen kuvaaja muodostaa tuottokäyrän, ja tämän käyrän muoto määrittää usein tiettyjen joukkolainastrategioiden tehokkuuden, erityisesti korkoriskin alentamiseen tähtäävien strategioiden, kuten joukkolainojen immunisointistrategioiden, tehokkuuden. Lisäksi jotkut kuponkilainojen haltijat haluavat muuttaa joukkovelkakirjalainat sarjaksi nollakuponkilainoja joko vähentääkseen riskiä sovittamalla varojen ja velkojen duraation paremmin yhteen tai saadakseen voittoa myymällä nollakuponkilainat. Voittoa voidaan saada myös muodostamalla nollakuponkiset joukkovelkakirjalainat takaisin alkuperäiseksi joukkovelkakirjalainaksi, jos nollakuponkisten joukkovelkakirjalainojen summa on halvempi kuin muodostetun joukkovelkakirjalainan. Nollakorkojen myyminen tai nollakorkojen palauttaminen markkinahinnoista riippuen on eräänlaista arbitraasia, keino ansaita riskitöntä voittoa. Se, olisiko kannattavaa laskea liikkeeseen nollia, leikata kuponkikorkoja tai palauttaa kuponkikorkoja, riippuu kuitenkin spot-korkokäyrästä eli tuottokäyrästä, jonka avulla sijoittaja voi arvioida tietyn maturiteetin omaavan joukkovelkakirjalainan markkinahinnan. Usein markkinoilla ei kuitenkaan myydä riittävästi nollakuponkilainoja, jotta olisi mahdollista arvioida selvästi, mikä olisi todellinen velkakirjojen hinta tietyllä maturiteetilla. Miten spot-korko voidaan määrittää sellaisille maturiteeteille, joista markkinatieto puuttuu?

Spottikorkoon liittyy läheisesti termiinikorko, joka on korko tietylle aikavälillä, joka alkaa tulevaisuudessa ja päättyy myöhemmin. Jos siis yritys haluaisi lainata rahaa 1 vuoden päästä 2 vuoden ajaksi tunnetulla tämän päivän korolla, pankki voi taata tämän koron käyttämällä termiinikorkosopimusta ja käyttää termiinikorkoa lainan korkona. Termiinikorkosopimukset, jotka ovat yleinen johdannaistyyppi, perustuvat termiinikorkoihin. Termiinikorkoja tarvitaan myös arvioitaessa joukkovelkakirjalainoja, joihin on kytketty optioita. Tavallinen tekniikka on käyttää kassavirtojen nykyarvon laskemisessa vakiotuottoa eräpäivään (YTM). Joukkovelkakirjalainan hintayhtälön avulla voidaan kuitenkin laskea eri kuponkilainojen nykyisten markkinahintojen mukaiset termiinikorot.

Obligaation hinta laskettuna käyttäen vakiotuottoa eräpäivään
Obligaation hinta = C1(1+YTM)1 + C2(1+YTM)2 + … + Cn(1+YTM)n + P(1+YTM)n
  • C = kuponginmaksu per jakso
  • P = joukkovelkakirjalainan nimellisarvo

    • .

  • n = vuosien lukumäärä eräpäivään asti
  • YTM = yield to maturity

Kuponkivelkakirjalainaa voidaan pitää nollakorkoisten velkakirjojen ryhmänä.kuponkiobligaatioita, joissa nolla vastaa kutakin kuponkimaksua ja lopullista pääoman takaisinmaksua. Näin kukin kassavirta on diskontattava korkokannalla, joka sopii sille ajanjaksolle, jonka aikana kassavirta saadaan. Nollakuponkilainojen arvon on oltava yhtä suuri kuin kuponkilainan; muuten arbitraaseuraaja voisi riisua joukkovelkakirjalainan ja myydä nollat voitolla, kuten joskus tehdäänkin.

Näin lasketut termiinikorot eivät ole ennusteita tulevista koroista, koska tulevia korkoja ei tunneta. Pikemminkin termiinikorot lasketaan yksinkertaisesti nykyisistä joukkovelkakirjojen hinnoista; siksi niitä kutsutaan joskus implisiittisiksi termiinikoroiksi, koska ne implikoituvat joukkovelkakirjojen markkinahinnoista samalla tavalla kuin implisiittinen volatiliteetti määräytyy optioiden markkinahintojen perusteella.

Bootstrapping

Treasuryt (valtion joukkovelkakirjalainat) ovat ihanteellinen joukkovelkakirjalainatyyppi tuottoarvokäyrän konstruoimiseen, koska niistä puuttuu luottoriski, joten Treasurytin kurssit riippuvat voimakkaammin markkinakoroista. Treasuryt määrittelevät riskittömän tuottokäyrän, mutta markkinahinnat implikoivat myös termiinikorkoja, jotka ovat tuottoja tietyiltä ajanjaksoilta tulevaisuudessa.

Koska Treasuryt ja joukkovelkakirjalainat lasketaan yleensä liikkeelle kuponkilainoina, niiden hintoja ei voida käyttää yksinkertaisesti spot-korkokäyrän rakentamiseen tai termiinikorkojen laskemiseen. Sen sijaan teoreettinen spot-korkokäyrä ja implisiittiset termiinikorot muodostetaan bootstrapping-prosessin avulla, jossa termiinikorot lasketaan ottamalla huomioon valtion joukkovelkakirjoja vastaavien nollakuponkilainojen arvo. Laskettujen termiinikorkojen avulla voidaan sitten muodostaa spot-korkokäyrä lisäämällä kunkin juoksuajan tuotot haluttuun maturiteettiin.

Bootstrapping-tekniikka perustuu hinta-tuotto -yhtälöön, jossa käytetään eri korkoja kullekin 6 kuukauden maturiteetille markkinahintojen perusteella:

Lainan tuottoyhtälö käyttäen eri korkoja kullekin rahavirralle
Lainan hinta = C1(1+r1)1 + C2(1+r2)2 + … + Cn(1+rn)n + P(1+rn)n
  • r = korko per jakso
    • Jos r = vuotuinen tuotto, mutta termi on ½ vuotta, niin jaetaan 2:lla

Korko lasketaan 1. 6 kuukauden joukkovelkakirjalainalle, jolla on tunnettu markkinahinta ja jonka erääntyessä maksetaan vain yksi maksu, joka koostuu kuponkimaksusta ja pääoman takaisinmaksusta. Kun korko on laskettu 6 kuukauden joukkovelkakirjalainan 1. jaksolle, tätä korkoa käytetään 1 vuoden joukkovelkakirjalainan 2. jakson koron laskemiseen, ja niin edelleen, kunnes kaikki korot halutulle määrälle jaksoja, joille on olemassa markkinahinnat, on määritetty. Tätä kutsutaan bootstrapping-tekniikaksi, koska aiemmin laskettuja spot-korkoja käytetään myöhempien spot-korkojen laskemiseen peräkkäisissä vaiheissa.

Esimerkki: Bootstrapping

Kahdella 6 %:n kuponkilainalla, joilla ei ole luottoriskiä ja joiden nimellisarvo on 100 dollaria, on seuraavat puhtaat markkinahinnat (ei kertynyttä korkoa) ja jäljellä olevat ajat eräpäivään. Huomaa, että vuotuinen tuotto jaetaan kahdella, koska kumpikin termi kattaa vain ½ vuotta:

  • 6 kuukauden joukkovelkakirjalaina: 99 $
  • 1 vuoden joukkovelkakirjalaina: 98 $
  • y = vuotuinen tuotto juoksuaikaan asti
  1. Määritä kuuden kuukauden joukkovelkakirjalainan tuotto käyttäen markkinahintaa 99 $. Se maksaa 6 kuukauden lopussa 3 dollarin kupongin sekä pääoman takaisinmaksun, yhteensä 103 dollaria:
    1. 99 = 103/(1+y/2)
    2. 99 × (1+y/2) = 103
    3. 1+y/2 = 103/99 = 1.0404
    4. y/2 = 1.0404 – 1 = .0404
    5. y = .0404 × 2 = .0808 = 8.08 %
  2. Määritä 1-vuotisen joukkovelkakirjalainan 2. juoksuajan tuotto käyttämällä joukkovelkakirjalainan 98 dollarin markkinahintaa ja vaiheessa 1 laskettua 1. juoksuajan tuottoa:
    1. Ensimmäisen kuponkimaksun nykyarvo + loppumaksun nykyarvo = 98
    2. 3/1.0404 + 103/(1 + y/2)2 = 2.88 + 103/(1 + y/2)2 = 98
    3. 103/(1 + y/2)2 = 98 – 2.88 = 95.12
    4. 103 = 95.12 × (1 + y/2)2
    5. (1 + y/2)2 = 103/95,12 = 1,082883
    6. Loppumaksun nykyarvo = 103/1,082883 = 95.12
    7. Joukkovelkakirjalainan markkinahinta = 2,88 $ + 95,12 $ = 98 $

Tämän markkinahinnan mukaan kuluvan 6 kk:n juoksuajan spot-korko annualisoituna on siis 8,0808 % ja 2. 6 kk:n juoksuajan termiinikorko annualisoituna 8,2883 %.

Johtopäätös

Bootstrapping-tekniikka on yksinkertainen, mutta todellisen tuottokäyrän löytäminen ja tasoittaminen vaatii monimutkaisempaa matematiikkaa, koska joukkovelkakirjalainojen hintoihin eivät vaikuta vain korot vaan myös muut tekijät, kuten luottoriski, verot, likviditeetti ja yksinkertaiset kysynnän ja tarjonnan varianssit kullakin maturiteetilla. Realistisempien korkojen määrittämiseksi käytetään monimutkaisempia matemaattisia tekniikoita, mutta ne eivät kuulu tämän artikkelin aihepiiriin. Bootstrapping kuitenkin havainnollistaa, miten termiinikorot voidaan laskea nykyisistä joukkovelkakirjojen hinnoista, jotka voidaan sitten koota yhteen spot-korkokäyrän aukkojen täyttämiseksi.

Articles