Sigmoidinen kasvu

17 lokakuun, 2021
| Ei kommentteja

Exponentiaalisen kasvun rajat

Exponentiaalinen kasvu tapahtuu aina, kun syntyvyys ylittää väestön kuolleisuuden. Vaikka syntyvyys olisi vain hieman suurempi kuin kuolleisuus, väestö räjähtää lopulta tutun J-muotoisen käyrän mukaisesti. Eksponentiaalinen kasvu on mahdollista vain silloin, kun luonnonvaroja on käytettävissä rajattomasti, mutta näin ei ole todellisessa maailmassa. Todellisessa maailmassa, jossa resurssit ovat rajalliset, eksponentiaalinen kasvu ei voi jatkua loputtomiin. Eksponentiaalinen kasvu voi tapahtua ympäristössä, jossa on vähän yksilöitä ja runsaasti resursseja, mutta kun yksilöiden määrä kasvaa tarpeeksi suureksi, resurssit ehtyvät, mikä hidastaa kasvunopeutta. Lopulta kasvuvauhti pysähtyy tai tasaantuu. Tätä populaatiokokoa, joka edustaa maksimipopulaatiokokoa, jota tietty ympäristö voi kestää, kutsutaan kantokyvyksi, ja se on merkitty \(K\). Ensimmäinen henkilö, joka julkaisi eksponentiaalisen kasvun muunnoksen, joka kuvaa tätä reaalimaailman käyttäytymistä, oli Pierre Verhulst vuonna 1838.

Perinteisessä eksponentiaalisessa kasvussa aiempaan populaatioon lisättävien uusien yksilöiden määrä on prosenttiosuus itse populaatiosta. Toisin sanoen kaltevuus on verrannollinen populaatioon. Esimerkiksi populaatio, joka kasvaa 5 %:lla joka vuosi, lisäisi 5 uutta yksilöä, kun populaatio on 100, mutta se lisäisi 150 uutta yksilöä, kun populaatio on 3000. Verhulstin malli oli sikäli erilainen, että kasvu oli verrannollinen väestöön ja käytettävissä oleviin resursseihin. Käytettävissä olevien resurssien määrää käsiteltiin vain prosentteina, jolloin alussa niitä oli käytettävissä 100 % ja 0 %, kun väestö saavutti kantokyvyn.

Exponentiaalisesti kasvavan väestön \(P\) kaava voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\(P = alku \cdot \left(1 + r\right)^t\)

kun taas kantavuuskapasiteetin saavuttanut populaatio voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\(P = alku \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)

Ainut muutos perinteiseen eksponentiaalisen kasvun yhtälöön on se, että mukaan on otettu tekijä \(\frac{K-P}{K}\), joka kuvaa populaation kuilua kantavuuskapasiteetin ja kantokapasiteetin välille prosentteina. Jos kantokyky olisi esimerkiksi 100 ja väkiluku 95, lisäkasvuun olisi käytettävissä 5 prosenttia resursseista, koska \((100-95)/100=5\%\). Tällöin kasvuvauhti olisi vain 5 % alkuperäisestä arvosta: \(P=start \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

Kun eksponentiaalinen kasvu hidastuu ja pysähtyy tasolle, käyrä näyttää jokseenkin S-muotoiselta. Vastaava kreikkalainen kirjain ”sigma”, ja kasvumallia kutsutaan sigmoidiseksi kasvuksi. Sitä kutsutaan joskus myös ”logistiseksi kasvuksi”, vaikka se voi aiheuttaa sekaannusta hyvin erilaisen logaritmiin perustuvan kasvumallin kanssa. Eksponentiaalisen ja logistisen kasvun vertailu on esitetty alla olevassa kuvaajassa 5 %:n kasvuvauhdilla, 100 yksilön alkupopulaatiolla ja 2000 yksilön kantokapasiteetilla.
kaavio, jossa verrataan eksponentiaalista ja sigmoidista kasvua 100 yksilön populaatiolle 5 %:n kasvuvauhdilla ja 2000 yksilön kantokapasiteetilla.>

Huomaa, että aluksi eksponentiaalinen ja sigmoidinen kasvu ovat melkein identtisiä. Kun väestö on paljon pienempi kuin kantokyky, resurssit ovat käytännössä rajattomat, ja väestö kasvaa eksponentiaalisesti. Vasta kun väkiluku nousee kohti kantokykyä, kasvuvauhti hidastuu tuntuvasti ja sigmoidikäyrä jää tasanteelle.

Huomaa myös, että sigmoidinen kasvumalli ei muutu jyrkemmäksi ja jyrkemmäksi kuten eksponentiaalinen kasvumalli. Sigmoidikäyrän jyrkin kohta on tasan puolessa maksimipopulaatiosta eli K/2 Populaatioilla, jotka ovat pienempiä kuin K/2, kasvu kiihtyy. Populaatioissa, jotka ovat suurempia kuin K/2, kasvu hidastuu.

Esimerkki

Tarkastellaan populaatiota, joka alkaa kasvaa eksponentiaalisesti nopeudella 2,8 % vuodessa ja noudattaa
sigmoidista kasvumallia.

a. Jos kantokyky on 75 miljoonaa, etsi nykyinen kasvuvauhti, kun väkiluku on 10 miljoonaa.

b. Etsi nykyinen kasvuvauhti, kun väkiluku on 50 miljoonaa.

Näytä ratkaisu

Tiedämme, että \(r=2.8\%\) ja jos mittaamme väkiluvun miljoonissa, niin \(K=75\).

Kasvuvauhti alkaa arvosta \(100\% \cdot r\) ja päättyy arvoon \(0\% \cdot r\).

Kun väkiluku on 10 miljoonaa, meillä on
\((\frac{K-P}{K}) \cdot r = (\frac{75-10}{75}) \cdot 2.8\% = 2.43\%\)

Kun väkiluku on 50 miljoonaa, saadaan
\((\frac{K-P}{K}) \cdot r = (\frac{75-50}{75}) \cdot 2.8\% = 0.93\%\)

Esimerkki

Asettakaamme, että maapallon kantokyky on 15 miljardia. 1960-luvulla väestö oli 3 miljardia ja vuotuinen
kasvuvauhti oli 2,1 %.

a. Jos väestönkasvu on sigmoidinen, mikä on peruskasvuvauhti (kasvuvauhti, kun väestö oli lähellä nollaa)?

b. Mitä malli ennustaa kasvuvauhdille, kun väkiluku on 7,6 miljardia?

Näytä ratkaisu

Me tiedämme, että kun väkiluku oli 3 miljardia, kasvuvauhti oli 2,1 %. Tuolloin väestö oli 3/15 eli 1/5 kantokyvystä. Käytettävissä olevat resurssit olisivat tuolla väestömäärällä 4/5 eli 80 %, koska
\(\frac{K-P}{K}=\frac{15-3}{15}=80\%\)

Sigmoidinen kasvuvauhti oli 2,1 %, eli sen on oltava 80 % alkuperäisestä kasvuvauhdista.
\(rate_{current}=80\% \cdot rate_{base}\)

siten
\(2.1\% = 80\% \cdot rate_{base}\)

ja
\(2.1\% \div 80\% = rate_{base}\)

Peruskasvunopeuden on täytynyt olla 2,625%.

Nyt kun tiedämme peruskasvunopeuden, voimme käyttää sitä ennustaaksemme muiden populaatiokantojen kasvunopeutta. Kun väestö on 7,6 miljardia, meillä on
\(rate_{current}=(\frac{K-P}{K}) \cdot rate_{base}=(\frac{15-7.6}{15}) \cdot 2.625\%\)

siten kasvuvauhti olisi 1,295%, kun väkiluku olisi 7,6 miljardia.

Odotetusti alkuvaiheen kasvuvauhti on nopein, 2,625%. Väestön kasvaessa kasvuvauhti hidastuu — ensin 2,1 %:iin, kun väkiluku on 3 miljardia, ja sitten 1,295 %:iin, kun väkiluku on 7,6 miljardia.

Yhteenveto

Sigmoidaalinen kasvu on eksponentiaalisen kasvun modifikaatio, jossa prosenttimuutos muuttuu pienemmäksi, kun väkiluku lähestyy kantokykyä. Nykyinen kasvuvauhti on alkuperäisen kasvuvauhdin ja käytettävissä olevien resurssien prosenttiosuuden tulo. Aluksi resursseja on käytettävissä 100 %, joten sigmoidinen kasvuvauhti vastaa eksponentiaalista kasvuvauhtia. Lopulta resursseja on käytettävissä 0 %, jolloin sigmoidinen kasvuvauhti lähestyy nollaa.

Reaaliset systeemit sopivat harvoin täsmälleen sigmoidiseen kasvumalliin, mutta se on silti hyvin käyttökelpoinen approksimaatio. Eläinpopulaatioiden lisäksi sigmoidisella kasvulla voidaan mallintaa tautien leviämistä tai teknologian leviämistä tai huhujen leviämistä. Todellisissa järjestelmissä on usein havaittavissa sahanhammasmainen ylikansoitussykli, jota seuraa populaation romahdus tai jopa sukupuutto. Tämä syntyy, kun kasvuvauhti on niin suuri, että populaatio ylittää kantokyvyn.

Articles