Pythagoraan kolmio

2 syyskuun, 2021
| Ei kommentteja
Geometria > Tasogeometria > Kolmio > Kolmion ominaisuudet >
Lukuteoria > DiophantineEquations >
MathWorld Contributors > Knott >
MathWorld Contributors > Noe >

Less…

DOWNLOAD Mathematica NotebookKirjoita tähän merkintään

Pythagoraan kolmio on positiivisten kokonaislukujen a, b ja c sellainen kolmio, että on olemassa suorakulmainen kolmio, jonka jalat ovat a,b ja hypotenuusa c. Pythagoraan lauseen mukaan tämä vastaa sitä, että löydetään positiiviset kokonaisluvut a, b ja c, jotka tyydyttävät

a^2+b^2=c^2.
(1)

Pienin ja tunnetuin Pythagoraan kolmikko on (a,b,c)=(3,4,5). Suorakulmaista kolmiota, jolla on nämä sivupituudet, kutsutaan joskus 3,4,5-kolmioksi.

PythagoreanTriples

Yllä on esitetty peräkkäin suuremmille rajoille sellaisia pisteitä (a,b)-tasossa, joiden (a,b,sqrt(a^2+b^2)) on Pythagoraan kolmio. Nämä kuvaajat sisältävät a:n ja b:n negatiiviset arvot, joten ne ovat symmetrisiä sekä x- että y-akselien suhteen.

PythagoreanTriplesAC

Viitaten edellä on esitetty peräkkäin suuremmille rajoille kuvaajat pisteistä, jotka ovat (a,c)-tasossa siten, että (a,sqrt(c^2-a^2),c):ssä on pythagoraan kolmikko.

PrimitivePythagoreanTriple

Tavanomaista on tarkastella vain primitiivisiä Pythagoraan kolmioita (joita kutsutaan myös ”pelkistetyiksi ”kolmioiksi), joissa a ja b ovat suhteellisen alkulukuisia, koska muut ratkaisut voidaan tuottaa triviaalisti primitiivisistä. Alkeiskolmioita on havainnollistettu edellä, ja voidaan heti huomata, että alkuperäisen piirroksen imprimitiivisiä kolmioita vastaavat säteittäiset viivat puuttuvat tästä kuvasta. Alkeisratkaisuissa jommankumman a:n tai b:n on oltava parillinen ja toisen pariton (Shanks 1993, s. 141), jolloin c on aina pariton.

Lisäksi jokaisen Pythagoraan kolmion yksi sivu on jaollinen kolmella, toinen neljällä ja kolmas viidellä. Yhdellä sivulla voi olla kaksi näistä jakajista, kuten (8, 15, 17), (7, 24, 25) ja (20, 21, 29), tai jopa kaikki kolme, kuten (11, 60, 61).

Edellyttäen alkukolmosta (a_0,b_0,c_0) saadaan kolme uutta alkukolmosta

(a_1,b_1,c_1) = (a_0,b_0,c_0)U
(2)
(a_2,b_2,b_3,c_3) = (a_0,b_0,c_0)D,
(4)

missä

U =
(5)
A =
(6)
D =.
(7)

Hall (1970) ja Roberts (1977) todistavat, että (a,b,c) on primitiivinen pythagoraaninen kolmikko, jos

(a,b,c)=(3,4,5)M,
(8)

jossa M on matriisien U, A, D äärellinen tuote. Tästä seuraa, että jokaisen primitiivisen Pythagoraan kolmion on oltava äärettömän joukon

( 7, 24, 25) jäsen; ( 5, 12, 13) ( 55, 48, 73); ( 45, 28, 53); ( 39, 80, 89); (3, 4, 5) ( 21, 20, 29) ( 119, 120, 169); ( 77, 36, 85); ( 33, 56, 65); ( 15, 8, 17) ( 65, 72, 97); ( 35, 12, 37).
(9)

Pythagoras ja babylonialaiset antoivat kaavan (ei välttämättä alkukantaisten) kolmioiden tuottamiseksi seuraavasti

(2m,m^2-1,m^2+1),
(10)

varten m1, joka tuottaa joukon erillisiä kolmosia, joka ei sisällä kaikkia primitiivisiä eikä kaikkia imprimitiivisiä kolmosia (ja jossa erikoistapauksessa m=2, m^2-12m).

Varhaiset kreikkalaiset antoivat

(v^2-u^2,2uv,u^2+v^2),
(11)

jossa u ja vu ovat suhteellisesti alkulukuja ja vastakkaisia pariteetteja (Shanks 1993, s. 141), mikä synnyttää joukon erillisiä kolmosia, jotka sisältävät täsmälleen primitiiviset kolmoset (kun v^2-u^2 ja 2uv on lajiteltu asianmukaisesti).

Olkoon F_n Fibonaccin luku. Silloin

(F_nF_(n+3),2F_(n+1)F_(n+2),F_(n+1)^2+F_(n+2)^2)
(12)

tuottaa erillisiä Pythagoraan kolmosia (Dujella 1995), vaikkakaan ei tyhjentävästi sen enempää primitiivisille kuin imprimitiivisillekin kolmosille. Yleisemmin, kun lähdetään liikkeelle positiivisista kokonaisluvuista a, b ja rakennetaan Fibonaccin kaltainen sarja {F_n^'}, jonka termit ovat a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, … tuottaa erillisiä Pythagoraan kolmosia

(F_n^'F_(n+3)^',2F_(n+1)^'F_(n+2)^',F_(n+1)^'^2+F_(n+2)^'^2)
(13)

(Horadam 1961), missä

F_n^'=1/2 kun a_0=0; 1/2 kun a_0=1
(24)

(Beiler 1966, s. 116). Huomaa, että L(s)=1 jos s on alkuluku tai kaksi kertaa alkuluku. Ensimmäiset luvut s=1, 2, … ovat 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 4, 1, …. (OEIS A046079).

Että löydetään niiden tapojen lukumäärä H_p(s), joilla luku s voi olla primitiivisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, kirjoitetaan sen kertolasku seuraavasti

s=2^(a_0)(p_1^(a_1)...p_n^(a_n))(q_1^(b_1)...q_r^(b_r)),
(25)

joissa ps on muotoa 4x-1 ja qs on muotoa 4x+1. Mahdollisten primitiivisten suorakulmaisten kolmioiden lukumäärä on tällöin

H_p(s)={2^(r-1), jos n=0 ja a_0=0; 0 muuten,.
(26)

Esim, H_p(65)=2 koska

65^2 = 16^2+63^2
(27)
= 33^2+56^2.
(28)

Suureen H_p(n) arvot n=1, 2, … ovat 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, …. (OEIS A024362). Ensimmäiset alkuluvut muodossa 4x+1 ovat 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, 137, …. (OEIS A002144), joten pienimmät sivupituudet, jotka ovat 1, 2, 4, 8, 16, … primitiivisten suorakulmaisten kolmioiden hypotenuusia, ovat 5, 65, 1105, 32045, 1185665, 48612265, …. (OEIS A006278).

Mahdollisten primitiivisten tai ei-primitiivisten suorakulmaisten kolmioiden, joiden hypotenuusa on s, lukumäärä on

.

H(s) = 1/2
(29)
= 1/8
(30)

(korjataan kirjoitusvirhe Beiler 1966, p. 117, jossa sanotaan, että tämä kaava antaa vain ei-primitiivisten ratkaisujen lukumäärän), missä r_k(n) on neliösumman funktio. Esimerkiksi on olemassa neljä erillistä kokonaislukukolmiota, joiden hypotenuusa on 65, koska

65^2=16^2+63^2=25^2+60^2=33^2+56^2=39^2+52^2.
(31)

Ensimmäiset luvut s=1, 2, … ovat 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, …. (OEIS A046080). Pienimmät hypotenuusat, joilla on n erillistä kolmikkoa, ovat 1, 5, 25, 125, 65, 3125, …. (OEIS A006339). Seuraavassa taulukossa esitetään hypotenuusat, joille on olemassa täsmälleen n erillistä suoraa kokonaislukukolmiota, kun n=0, 1, …, 5.

n OEIS hypoteenit, joille on olemassa n erillistä kokonaislukukolmiota
0 A004144 1, 2, 3, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 11, 11, 12, 11, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 16, 16, 18, …
1 A084645 5, 10, 13, 15, 17, 20, 26, 29, 30, 34, 35, …
2 A084646 25, 50, 75, 100, 150, 169, 175, 200, 225, …..
3 A084647 125, 250, 375, 500, 750, 875, 1000, 1125, 1375, …
4 A084648 65, 85, 130, 145, 170, 185, 195, 205, 221, 255, …
5 A084649 3125, 6250, 9375, 12500, 18750, 21875, 25000, …

Siten niiden tapojen kokonaismäärä, joilla s voi olla joko suorakulmaisen kolmion sääri tai hypotenuusa, on

T(s)=L(s)+H(s).
(32)

Muuttujan s=1, 2, … arvot ovat 0, 0, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 4, 2, 2, 1, 5, 3, …. (OEIS A046081). Pienimmät luvut s, jotka voivat olla T yleisen suorakulmaisen kolmion sivuja, kun T=1, 2, … ovat 3, 5, 16, 12, 15, 125, 24, 40, …. (OEIS A006593; Beiler 1966, s. 114).

On 50 Pythagoraan kolmikkoa, joiden hypotenuusa on pienempi kuin 100. Ensimmäiset niistä ovat kasvavan c mukaan lajiteltuna (3, 4, 5), (6, 8,10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), … (OEIS A046083, A046084 ja A009000).

Näistä vain 16 on alkeiskolmioita, joiden hypotenuusa on pienempi kuin 100: (3, 4,5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (33, 56, 65), (16, 63, 65), (48, 55, 73), (36, 77, 85), (13, 84, 85), (39, 80, 89) ja (65, 72, 97) (OEIS A046086, A046087 ja A020882).

Kirjoitetaan niiden kolmioiden lukumäärää, joiden hypotenuusa on N, Delta(N), niiden kolmioiden lukumäärää, joiden hypotenuusa on =N, Delta^'(N) ja niiden alkeiskolmioiden lukumäärää, joiden hypotenuusa on pienempi kuin N, Delta_p(N). Seuraavassa taulukossa on sitten yhteenveto arvoista potensseille 10.

Delta OEIS Delta(10), Delta(10^2), …
Delta(N) A101929 1, 50, 878, 12467, …
Delta^'(N) A101930 2, 52, 881, 12471, …..
Delta_p(N) A101931 1, 16, 158, 1593, …

Lehmer (1900) todisti, että sellaisten alkeisratkaisujen lukumäärä, joiden hypotenuusa on pienempi kuin N, täyttää

lim_(N-infty)(Delta_p(N))/N=1/(2pi)=0.1591549...
(33)

(OEIS A086201).

PythagoreanIncircles

Ensimmäisten alkukantaisten pythagoraanisten kolmioiden inradiukset kasvavalla järjestyksellä järjestettyinä c ovat seuraavat: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 6, 6, 6, 5, 5, 4, 4, 10, … (OEIS A014498).

On olemassa yleinen menetelmä, jolla saadaan Pythagoraan kolmioiden kolmikoita, joiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Otetaan kolme generaattorijoukkoa seuraavasti

.

m_1 = r^2+rs+s^2
(34)
n_1 = r^2-s^2
(35)
m_2 = r^2+rs+s^2
(36)
n_2 = 2rs+s^2
(37)
m_3 = r^2+2rs
(38)
n_3 = r^2+rs+s^2.
(39)

Tällöin jokaisen kolmion (m_i^2-n_i^2,2m_in_i,m_i^2+n_i^2) on yhteinen pinta-ala

A=rs(2r+s)(r+2s)(r+s)(r+s)(r-s)(r^2+rs+s^2)
(40)

(Beiler 1966, pp. 126-127). Tämän funktion ainoa ääriarvo esiintyy kohdassa (r,s)=(0,0). Koska A(r,s)=0 on r=s, pienin kolmen ei-primitiivisen suorakulmaisen kolmion jakama pinta-ala on (r,s)=(1,2), jolloin pinta-ala on 840 ja se vastaa kolmioita (24, 70, 74), (40, 42, 58) ja (15, 112, 113) (Beiler 1966, s. 126).

Suorakulmaisia kolmioita, joiden pinta-ala koostuu yhdestä numerosta, ovat muun muassa (3,4,5) (pinta-ala 6) ja (693,1924,2045) (pinta-ala 666666; Wells 1986, s. 89).

Fermat haastoi Mersennen vuonna 1643 etsimään pythagoraanisen kolmiyhteenvedon, jonka hypotenuusa ja jalkojen summa ovat neliöitä. Fermat löysi pienimmän tällaisen ratkaisun:

X = 4565486027761
(41)
Y = 1061652293520
(42)
Z = 4687298610289,
(43)

with

Z => 2165017^2
(44)
X+Y = 2372159^2.
(45)

Seuraava ongelma on määrittää, voiko tietty kokonaisluku N olla sellaisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala, jolla on rationaaliset sivut. 1, 2, 3 ja 4 eivät ole minkään rationaalisivuisen suorakulmaisen kolmion pinta-aloja, mutta 5 on (3/2, 20/3, 41/6), samoin 6 (3, 4, 5). Tehtävän ratkaisuun liittyy elliptinen käyrä

y^2=x^3-N^2x.
(46)

Ratkaisu (a, b, c) on olemassa, jos (46) on rationaalinen ratkaisu, jolloin

x = 1/4c^2
(47)
y = 1/8(a^2-b^2)c
(48)

(Koblitz 1993). Ei tunneta mitään yleistä menetelmää sen määrittämiseksi, onko ratkaisua mielivaltaiselle N:lle, mutta J. Tunnellin vuonna 1983 kehittämän tekniikan avulla tietyt arvot voidaan sulkea pois (Cipra 1996).

Articles