Tässä luvussa käsitellään eräitä filosofisia kysymyksiä muodollisen logiikan luonteesta. Erityistä huomiota kiinnitetään loogisen muodon käsitteeseen, muodollisen logiikan tavoitteeseen loogisen muodon vangitsemisessa ja pätevyyden selittämiseen loogisen muodon avulla. Näemme, miten tämä ymmärrys pätevyyden käsitteestä antaa meille mahdollisuuden tunnistaa niin sanottuja muodollisia virheitä, jotka ovat loogisesta muodosta johtuvia virheitä argumentissa. Keskustelemme myös joistakin loogisten muotojen luonteeseen liittyvistä filosofisista ongelmista. Yksinkertaisuuden vuoksi keskitymme propositiologiikkaan. Monet käsiteltävistä tuloksista eivät kuitenkaan riipu tästä valinnasta, vaan ovat sovellettavissa edistyneempiin loogisiin järjestelmiin.

Logiikka, pätevyys ja loogiset muodot

Erilaisilla tieteillä on erilaiset aiheet: fysiikka pyrkii selvittämään aineen ominaisuuksia, historia pyrkii selvittämään, mitä menneisyydessä on tapahtunut, biologia tutkii elävien organismien kehittymistä ja evoluutiota, matematiikka taas käsittelee lukuja, joukoita, geometrisia tiloja ja muuta vastaavaa, tai ainakin vaikuttaa siltä. Mutta mitä logiikka oikein tutkii? Mitä logiikka itse asiassa on?

Tämä on pohjimmiltaan filosofinen kysymys, mutta sen vastaaminen edellyttää loogisten sääntöjen ja johtopäätösten aseman ja käyttäytymisen pohdintaa. Oppikirjat esittävät logiikan tyypillisesti tieteenä seuraussuhteesta, joka vallitsee pätevän argumentin premissien ja johtopäätöksen välillä, jolloin argumentti on pätevä, jos ei ole mahdollista, että sen premissiot ovat totta ja johtopäätös väärä. Jos logiikka on tiede seuraussuhteesta, joka vallitsee pätevän argumentin premissien ja johtopäätöksen välillä, voimme sanoa, että loogikot ovat huolissaan siitä, onko argumentin johtopäätös seurausta sen premisseistä vai ei.

Tarkastellaan pätevyyden käsitettä tarkemmin. Tarkastellaan esimerkiksi seuraavaa argumenttia:

1. Jos Alex on meriharjus, niin Alex ei ole ruusu.
2. Alex on ruusu.
3. / \siten Alex ei ole meriharjus.

Voidaan osoittaa, että ei ole mahdollista, että (1) ja (2) ovat tosia ja (3) kuitenkin epätosia. Näin ollen koko väite on pätevä. Yksinkertaisuuden vuoksi esitämme argumentin jokaisen lauseen tavalliseen propositiologiikkaan, jonka tarkoituksena on analysoida erilaisten lauseiden rakennetta ja merkitystä. Tätä varten meidän on ensin esiteltävä logiikkamme kieli.

Lauselogiikan aakkosissa on kirjaimia, jotka merkitsevät lauseita: A, B, C ja niin edelleen. Voimme esimerkiksi kääntää lauseen ”Alex on ruusu” käyttämällä vain B:tä. Vastaavasti voimme käyttää S:ää kääntää lauseen ”Haluaisin haistaa sitä”. Lauselogiikan aakkosissa on muitakin symboleja, joita kutsutaan loogisiksi konnektiiveiksi. Yksi niistä on ”ei” eli negaation symboli (\neg ). Kun sanomme, että Alex ei ole ruusu, sanomme käytännössä, että Alex ei ole ruusu. Jos käännetään ”Alex on ruusu” B:llä, käännetään ”Alex ei ole ruusu” muotoon ”\neg B”. Toinen on symboli (\rightarrow) konditionaalilauseille, jotka ovat muotoa ”jos … niin ….”. Voimme esimerkiksi kääntää sanan ”Jos Alex on ruusu, niin haluaisin haistaa sitä” muotoon ”B \rightarrow A”. Kun sanomme, että jos Alex on ruusu, niin haluaisin haistaa sitä, sanomme jotain ehdollista: sillä ehdolla, että Alex on ruusu, haluaisin haistaa sitä. Yleensä konditionaalilauseessa on kaksi osaa. Kutsumme ensimmäistä komponenttia antecedentiksi, toista komponenttia consequentiksi ja koko lausetta konditionaaliksi. Logiikkamme kieli sisältää myös sanat ”ja” (\wedge), joka tunnetaan myös nimellä konjunktio, ja ”tai” (\vee), joka tunnetaan myös nimellä disjunktio. Tässä luvussa käsittelemme kuitenkin vain negaatiota ja konditionaalia.

Jos siis käytämme A:ta sanalle ”Alex on merikrotti”, voimme esittää (1) sanalla A \rightarrow \neg B, ja esittää yllä olevan väitteemme (1)-(3) seuraavasti:

1. A \rightarrow \neg B
2. B
3. / \thereforefore \neg A

Mutta muistutettakoon, että tarkoituksemme oli tutkia, miksi tämä argumentti, jos se ylipäätään on pätevä. Pelkkä ”ei” esittäminen ”\neg”-merkillä ja ”jos … niin” esittäminen ”\rightarrow”-merkillä ei riitä todentamaan tietyn argumentin pätevyyttä tai mitättömyyttä: meidän on myös tiedettävä, mitä nämä symbolit ja niiden ilmaisemat lauseet tarkoittavat. Mutta miten voimme määritellä ”\neg ”:n ja ”\rightarrow”:n merkityksen?

On uskottavaa sanoa, että jos A on tosi, niin sen negaatio on epätosi ja päinvastoin. Esimerkiksi jos ”Alex on ruusu” on tosi, niin ”Alex ei ole ruusu” on epätosi. Tämä antaa meille merkityksen ”\neg”. Voimme esittää tämän tiedon negaation merkityksestä totuustaulukon muodossa seuraavalla tavalla (T symboloi totta ja F väärää):

Tässä, voimme lukea totuustaulukon jokaisen rivin tavalla, jolla maailma voisi olla. Toisin sanoen tilanteissa tai mahdollisissa maailmoissa, joissa A on tosi (esimerkiksi jos Alex on todellakin merikrotti), \neg \textit{A} on epätosi (on väärin, että Alex on merikrotti); ja päinvastoin. Näin tulkittuna totuustaulukko antaa meille tilanteet, joissa lauseen A kaltainen lause on tosi, ja tilanteet, joissa se on epätosi. Lisäksi se kertoo meille, missä tilanteissa \neg \textit{A} on tosi ja missä tilanteissa se on epätosi.

Valitsemalla vastaavalla tavalla voimme täsmentää ”\rightarrow’n” merkityksen määrittelemällä ne tilanteet, joissa ehdolliset propositiot, jotka ovat muotoa ”\textit{A}”, ovat totta. \rightarrow \textit{B}” ovat totta tai epätotta. Tässä on standardi totuustaulukko sanalle ”\rightarrow”:

F

Niin kuin nähdään, on vain yksi rivi, jossa \textit{A} \rightarrow \textit{B} on väärä; eli toinen rivi, jossa consequentti on väärä, mutta antecedentti on tosi. Kuten ensimmäinen rivi kertoo meille, jos sekä A että B ovat tosia, niin myös \textit{A} \rightarrow \textit{B}. Lisäksi kolmas ja neljäs rivi kertovat, että jos etumerkki on epätosi, koko konditionaali on tosi riippumatta siitä, onko seuraaja tosi vai epätosi. Näin ollen kaikki konditionaalit, joiden antecedenssi on väärä, ovat tosi.

Mutta miten on mahdollista, että konditionaali on tosi, jos sen antecedenssi on väärä? Tässä on yksi ehdotus vastaukseksi tähän kysymykseen: Jos oletuksesi on väärä, voit oikeutetusti päätellä mitä ikinä haluatkin. Jos esimerkiksi oletat, että Amsterdam on Englannin pääkaupunki, voit oikeutetusti päätellä mitä tahansa; sillä ei ole väliä, onko se totta vai epätotta. Oletuksesta, että Amsterdam on Englannin pääkaupunki, voit siis päätellä, että Pariisi on Ranskan pääkaupunki. Voit myös päätellä, että Pariisi on Brasilian pääkaupunki.

Voidaan nähdä, että yksi totuustaulukoiden välittämistä tärkeistä tiedoista koskee sitä, miten monimutkaisten lauseiden, kuten \textit{A} \rightarrow \textit{B} ja \neg \textit{A} riippuvat niiden sisältämien lausekekirjainten totuudesta tai vääryydestä: \textit{A}:n totuus tai vääryys \rightarrow \textit{B} riippuu ainoastaan A:n ja B:n totuudesta tai valheellisuudesta. Vastaavasti \neg \textit{A}:n totuus tai valheellisuus riippuu ainoastaan A:n totuudesta tai valheellisuudesta.

Nyt voimme tarkistaa, onko väitteemme (1)-(3) pätevä vai ei. Ja kuten kohta näemme, argumentin pätevyys tai epäkelpoisuus riippuu loogisten konnektiivien (kuten ”\rightarrow” ja ”\neg”) merkityksestä, joka on määritelty vastaavissa totuustaulukoissa. Toisin sanoen, jos näiden konnektiivien totuustaulukot olisivat erilaisia kuin mitä ne todellisuudessa ovat, meillä olisi erilainen kokoelma päteviä argumentteja.

Määrittelimme argumentin päteväksi, jos ei ole mahdollista, että sen premissiot ovat totta ja johtopäätös väärä. Suunnittelemalla totuustaulukon voimme nähdä, millä ehdoilla argumenttimme (1)-(3) premissiot (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) ja konkluusio (\neg \textit{A}) ovat todellisia tai vääriä:

Sence in the above truth-taulukossa, ei ole yhtään riviä, jossa premissiot (\textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}, \textit{B}) olisivat tosia ja johtopäätös (\neg A) väärä, argumentti on pätevä. Ainoa rivi, jossa molemmat premissit ovat tosia, on kolmas rivi, ja sillä rivillä myös johtopäätös on tosi. Toisin sanoen ei ole olemassa maailmaa tai tilannetta, jossa (1) ja (2) ovat totta, mutta (3) ei ole. Tämä tarkoittaa vain sitä, että argumentti on pätevä.

Katsotaan nyt seuraavaa argumenttia:

1. Jos Alex on tiikeri, niin Alex on eläin.
2. Alex ei ole tiikeri.
3. / \siten Alex ei ole eläin.

On olemassa tilanteita, joissa argumentti toimii täydellisesti. Oletetaan esimerkiksi, että Alex ei ole tiikeri vaan itse asiassa pöytä. Tällöin Alex ei olisi myöskään eläin. Ja näin ollen lauseet (4), (5) ja (6) olisivat totta. Näin ei kuitenkaan aina ole, sillä voimme kuvitella tilanteen, jossa premissiot ovat tosia mutta johtopäätös väärä, esimerkiksi jos Alex ei ole tiikeri vaan itse asiassa koira. Kuvittelemalla äsken kuvatun tilanteen olisimme siis saaneet aikaan vastaesimerkin: tässä tilanteessa (6) olisi väärä, eikä se näin ollen olisi seurausta kohdista (4) ja (5). Argumentti on pätemätön.

Että argumentti on pätemätön, voidaan todentaa myös totuustaulukoiden menetelmällä. Voimme nimittäin löytää tilanteen, jossa (4) ja (5) ovat molemmat totta ja silti (6) epätosi. Toisin sanoen, jos totuustaulukossa esitämme (4) muodossa \textit{C} \rightarrow \textit{D}, (5) \neg \textit{C} ja (6) \neg \textit{D}, on ainakin yksi rivi, jossa premissiot ovat tosia ja johtopäätös vääriä (mikä rivi se on?).):

Totesimme, että loogikot ovat huolissaan argumenttien pätevyydestä tai virheellisyydestä, ja ehdotimme totuustaulukoiden menetelmää tämän tehtävän suorittamiseksi. Mutta mitkä argumentit ovat päteviä ja mitkä eivät? Tässä kohtaa tulee esiin loogisen muodon käsite. Oletetaan, että loogikko ryhtyy naurettavaan tehtävään kirjata kaikki pätevät argumentit. Tässä tapauksessa hän varmasti kirjaisi, että (1)-(3) on pätevä. Oletetaan nyt, että hän kohtaa seuraavan argumentin:

1. Jos Liisa lukee Hegeliä, hän ei ole turhautunut.
2. Aliisa on turhautunut.
3. / \siten Liisa ei lue Hegeliä.

Todetakseen, onko tämä argumentti pätevä, hän voi kirjoittaa argumentin jokaisen lauseen uudestaan logiikkakielellään: Liisa lukee Hegeliä (\textit{P}); Liisa on turhautunut (\textit{Q}); ja, jos Liisa lukee Hegeliä, niin Liisa ei ole turhautunut) (\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Hän voi sitten suunnitella sopivan totuustaulukon ja tarkistaa, onko olemassa jokin rivi tai tilanne, jossa premissiot ovat molemmat totta ja johtopäätös väärä. Koska tällaista riviä ei ole (miksi?), hän ilmoittaa oikein, että argumentti on pätevä.

Mutta on ilmeistä, että tarkistaakseen (7)-(9) pätevyyden loogikkomme ei tarvinnut nähdä tätä vaivaa. Riittäisi, jos hän vain toteaisi, että kaksi argumenttia (1)-(3) ja (7)-(9) ja niiden totuustaulukot ovat suurelta osin samanlaisia; niillä on sama muoto. Itse asiassa niiden ainoa ero on se, että ensimmäisessä on käytetty kirjaimia A ja B, ja toisessa ne on korvattu vastaavasti kirjaimilla P ja Q. Loogiset konnektiivit \rightarrow ja \neg eivät ole muuttuneet.

Voidaksemme nähdä asian, käännetään kukin argumentti edellä esittelemällemme propositiologiikan kielelle:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \therefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

Kahdella argumentilla on jotain yhteistä. Sanotaan, että se, mitä niillä on yhteistä, on niiden looginen muoto. Kuten näet, argumenttien loogiset konnektiivit eivät ole muuttuneet. Koska näillä kahdella väitteellä on sama muoto, jos toinen väite on pätevä, myös toisen täytyy olla pätevä. Yleisemmin sanottuna kaikki samanmuotoiset argumentit ovat päteviä. Vapauttava uutinen on se, että logiikkamme ei tarvitse ryhtyä rasittavaan tehtävään tarkistaa jokaisen argumentin pätevyys erikseen. Sillä jos hän jo tietää, että tietty argumentti on pätevä, ja jos hän voi myös osoittaa, että toisella argumentilla on sama muoto kuin ensimmäisellä, hän voi olla varma, että toinen argumentti on pätevä ilman, että hänen tarvitsee suunnitella sen totuustaulukkoa.

Sanoimme, että argumentti on pätevä, jos ei ole mahdollista, että premissiot ovat tosia ja johtopäätös väärä. Nyt voimme sanoa, että jokainen argumentti, joka jakaa muotonsa kelvollisen argumentin kanssa, on myös kelvollinen, ja näin ollen jokainen argumentti, joka jakaa muotonsa virheellisen argumentin kanssa, on myös virheellinen. Tässä mielessä loogisen muodon ideaa voidaan käyttää argumenttien (epä)pätevyyden osoittamiseen. Oletetaan esimerkiksi, että haluamme tarkistaa seuraavan argumentin pätevyyden:

1. Jos Alice lukee Russellia, niin Alice ajattelee logiikkaa.
2. Alice ei lue Russellia.
3. / \siten Alice ei ajattele logiikkaa.

Heti kun näemme, että (10)-(12) on samanmuotoinen kuin (4)-(6), jonka jo tiedämme olevan virheellinen, voimme olla varmoja siitä, että myös edellinen on virheellinen ilman, että meidän tarvitsee konstruoida sen totuustaulukkoa.

Voidaan siis huomata, että kun ymmärrämme pätevyyden käsitteen loogisen muodon avulla, voimme tunnistaa erilaiset formaalit virheet. Esimerkiksi argumentti (10)-(12) on esimerkki antecedentin kieltämisen harhaluulosta. Näin ollen jokainen argumentti, jolla on sama muoto kuin argumentilla (10)-(12), on myös pätemätön.

Loogisista muodoista voidaan esittää kolme muuta kysymystä: (i) Miten voimme ”poimia” loogisen muodon argumenteista, jotka ne jakavat? Toisin sanoen, miten voimme osoittaa, että eri argumentit ovat yhteisen loogisen muodon instansseja? (ii) Mikä on loogisen muodon luonne? Onko looginen muoto jokin asia, ja jos on, millainen asia se on? (iii) Onko jokaisella argumentilla vain yksi looginen muoto? Seuraavissa kolmessa jaksossa käsittelemme vastaavasti näitä kolmea kysymystä.

Loogisten muotojen erottaminen

Tarkastellaan jälleen kerran argumentteja (1)-(3) ja (7)-(9), joilla näyttää olevan yksi ja sama looginen muoto. Miten voimme osoittaa, että niillä on yhteinen looginen muoto? Ensinnäkin meidän on esitettävä ne loogisilla symboleilla:

1. \textit{A} \rightarrow \neg \textit{B}
2. \textit{B}
3. / \therefore \neg \textit{A}

1. \textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}
2. \textit{Q}
3. / \thereforefore \neg \textit{P}

Nähdäksemme, mitä yhteistä näillä kahdella väitteellä on, meidän on abstrahoitava (tai jätettävä huomioimatta tai sivuutettava) näiden kahden argumentin erityiset premissioiden ja johtopäätösten erityissisällöt ja paljastettava näin näille argumenteille yhteinen yleinen muoto. Meidän on esimerkiksi jätettävä huomiotta se, onko Alex ruusu vai ei; tärkeintä on vain korvata ”Alex on ruusu” sanalla B. Tässä mielessä saadaksemme tai poimiaksemme argumentin loogisen muodon meidän on abstrahoitava premissien ja johtopäätösten sisällöstä pitämällä niitä pelkkinä paikanhaltijoina siinä muodossa, joka argumentilla on. Kuten olette ehkä huomanneet, emme poista loogisten konnektiivien sisältöä. On tärkeä kysymys, miksi emme abstrahoi loogisista yhdyssanoista. Perusajatus on, että niiden merkitys muodostaa tärkeän osan argumentin loogisesta muodosta ja siten määrittää sen (epä)pätevyyden.

Puhuaksemme loogisista muodoista käytämme pieniä kreikkalaisia kirjaimia, kuten \alpha, \beta, \gamma ja \delta. Voimme esimerkiksi esittää loogisen muodon, jonka (1)-(3) ja (7)-(9) jakavat, seuraavasti:

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \therefore \neg \alpha

Tässä voi olla apuna analogia: Matematiikassa ajattelemme tiettyjä aritmeettisia lauseita, kuten ”1 + 2 = 2 + 1” ja ”0 + 2 = 2 + 0”. Mutta kun haluamme yleistää, käytämme kaavoja, jotka sisältävät muuttujia, emmekä tiettyjä lukuja. Esimerkiksi ”x + y = y + x” ilmaisee jotain yleistä luonnollisten lukujen käyttäytymisestä. Mitä tahansa luonnolliset luvut x ja y tarkoittavatkin, ”x + y = y + x” pysyy totena. Sama pätee muuttujiin \alpha, \beta, \gamma ja \delta, joiden avulla voimme puhua yleisellä tavalla argumenttien lähtökohdista ja päätelmistä. Riippumatta siitä, mikä merkitys \alfalle ja \betalle annetaan, eli mitä propositioita ne ilmaisevat, (i)-(iii) pysyy voimassa, samoin kuin kaikki sen tapaukset, kuten (1)-(3) ja (7)-(9).

Kuten edellä mainittiin, tietyn loogisen muodon poimiminen mahdollistaa sen, että voimme puhua yleisesti argumenttien premisseistä ja päätelmistä. Sillä ei ole merkitystä, mistä erityisistä objekteista ja ominaisuuksista – mistä erityisestä aiheesta – niissä puhutaan. Ja tämä johdattaa meidät jälleen alkuperäiseen huolemme logiikan todellisesta subjektista:

Muotoa voidaan siis tutkia subjektista riippumatta, ja kuten käy ilmi, argumentit ovat päteviä tai pätemättömiä lähinnä niiden muodon, ei niinkään niiden subjektin, perusteella. Logiikka tutkii siis pikemminkin argumenttien muotoja kuin itse argumentteja. (Lemmon 1971, 4)

Tämän logiikkakäsityksen mukaan logiikantuntijat pystyvät arvioimaan argumentin pätevyyttä, vaikka he eivät tarkkaan ottaen ymmärtäisikään argumentin sisältämien väitteiden sisältöä eivätkä sitä, millä edellytyksillä ne olisivat totta. Se, ovatko argumenttien sisältämät väitteet totta vai eivät, ei siis kuulu logiikan tehtäviin. Sen sijaan logiikan tehtävänä on tutkia argumenttien loogisia muotoja ja siten todeta niiden (epä)pätevyys.

Loogisten muotojen luonne

Tässä ja seuraavassa luvussa tarkastelemme enemmän filosofisia asioita. Tässä jaksossa käsittelemme toista kysymystämme: mikä on loogisen muodon luonne? Kysymys loogisen muodon luonteesta muistuttaa antiikin kysymystä universaalien luonteesta. Kaikilla punaisilla ruusuilla on jotakin yhteistä; ne kaikki jakavat tai instantioivat jotakin. Mutta mikä tuo asia on, jos se ylipäätään on asia? Onko ominaisuus olla punainen verrattavissa platonilaiseen universaaliin, joka on olemassa sitä ilmentävistä punaisista ruusuista riippumatta? Vai onko se kuin aristoteelinen universaali, jonka olemassaolo riippuu yksittäisten ruusujen olemassaolosta? Ehkä sillä ei ole lainkaan olemassaoloa; se ei ole muuta kuin nimi tai etiketti, jota käytämme puhuessamme punaisista ruusuista. Voimme esittää täsmälleen samansuuntaisia kysymyksiä loogisista muodoista: Mikä on se, minkä kaikki saman muodon kelvolliset argumentit jakavat tai instantioivat? Onko se maailmassa oleva entiteetti vai kielessä esiintyvä symboli vai meidän muodostama ja luoma mentaalinen konstruktio?

Jos oletetaan, että loogiset muodot ovat olemassa, mitä ne ovat? Tässä on yleisesti ottaen kaksi ajatussuuntaa. Ensimmäisen mukaan loogiset muodot ovat skeemoja ja siten kielellisiä entiteettejä. Toisen mukaan loogiset muodot ovat ominaisuuksia: ne ovat kielen ulkopuolisia entiteettejä, universaalien kaltaisia. Ne ovat sitä, mitä skeemat ilmaisevat tai edustavat. (Tässä voi auttaa analogia: Ilmaus ”on onnellinen” on predikaatti; se on kielellinen kohde. Mutta se ilmaisee ekstrakielellistä entiteettiä, kuten ominaisuutta olla onnellinen.)

Loogisten muotojen ja skeemojen samaistaminen näyttää olevan varsin intuitiivista. Mutta se johtaa harhaan. Kuten Timothy Smiley huomauttaa, erehdys piilee siinä, että ”mediaa pidetään viestinä” (Smiley 1982, 3). Tarkastellaan loogista muotoa (1)-(3):

1. \alpha \rightarrow \neg \beta
2. \beta
3. / \therefore \neg \alpha

Voisit halutessasi yhtä lailla samaistaa loogisen muodon (1)-(3) kanssa:

1. \gamma \rightarrow \neg \eta
2. \eta
3. / \therefore \neg \gamma

Ja vielä toinen logiikko voi mieluummin kaapata sen loogisen muodon erillisellä muuttujien joukolla:

1. \chi \rightarrow \neg \delta
2. \delta
3. / \thereforefore \neg \chi

Mitkä näistä ovat (1)-(3) looginen muoto? On monia eri tapoja vangita sen looginen muoto. Mikä niistä on oikeutettu luokittelemaan (1)-(3):n loogiseksi muodoksi? Tämä kysymys on polttava, jos loogisia muotoja pidetään skeemoina ja siten kielellisinä kokonaisuuksina. Jos looginen muoto on vain merkkijono symboleja, se vaihtelee käyttämällä erillistä muuttujien joukkoa. Ei ole mitään muuta kuin mielivaltaista tapaa valita yhtä ja toista tietyn argumentin loogiseksi muodoksi. Toisin sanoen, näiden kielellisesti erillisten entiteettien välillä ei ole mitään valinnanvaraa, eikä siten mitään niistä voida tunnistaa alkuperäisen argumentin loogiseksi muodoksi.

Tämä saattaa kannustaa meitä tunnistamaan loogiset muodot kielestä riippumattomiksi tai kielellisesti muuttumattomiksi entiteeteiksi. Tämän näkemyksen mukaan loogisia muotoja ei tunnisteta skeemojen kanssa vaan sen kanssa, mitä skeemat ilmaisevat tai edustavat. Ne ovat pikemminkin maallisia kuin kielellisiä entiteettejä. Tämä näkemys ei alistu edellä mainittuun ongelmaan. Koska loogiset muodot ovat tämän näkemyksen mukaan maallisia entiteettejä, mikään edellä mainituista ehdokkaista – eli (i)-(iii), (iv)-(vi) ja (vii)-(ix) – ei ole looginen muoto (1)-(3). Pikemminkin jokainen niistä ilmaisee tai edustaa sen loogista muotoa.

Yksi looginen muoto vai monta?

Näyttää siis siltä, että olemme paremmassa asemassa, jos oletamme, että loogiset muodot ovat maallisia kokonaisuuksia. Mutta tämäkään ei jätä meitä täysin kotiin ja kuiville. Tähän asti olemme olettaneet, että loogiset muodot ovat ainutkertaisia entiteettejä. Toisin sanoen oletimme, että argumenteilla kuten (1)-(3) ja (7)-(9) on yksi ja sama looginen muoto. Mutta onko näin?

Yleisesti objekteilla voi olla monia muotoja. Esimerkiksi tietty sonetti voi olla sekä Petrarchaninen että Miltonilainen, ja maljakko voi olla sekä kuutio että kuutio. Näyttää myös siltä, että yksittäinen lause voi ottaa monta (ainakin useamman kuin yhden) muodon. Tarkastellaan \neg(\textit{P} \rightarrow \neg \textit{Q}). Mikä on sen looginen muoto? Näyttää siltä, että jokainen seuraavista vaihtoehdoista toimii täydellisesti vastauksena kysymykseemme: se on negaatio; se on konditionaalin negaatio; ja se on sellaisen konditionaalin negaatio, jonka seuraaja on negaatio.

Asettakaamme nyt, että jokainen näistä loogisista muodoista on tietyn argumentin looginen muoto. Minkä nojalla kukin niistä on yhden ja saman argumentin looginen muoto? Toisin sanoen, mikä selittää sen, että eri loogiset muodot ovat yhden ja saman argumentin muotoja? Mikä yhdistää niitä tässä suhteessa? Yksi vastaus on, että kaikilla näillä muodoilla on yhteinen looginen muoto. Mutta sitten voidaan esittää sama kysymys tästä yhteisestä loogisesta muodosta, koska juuri tällä muodolla on muitakin erilaisia muotoja. Minkä perusteella nämä loogiset muodot ovat yhden ja saman muodon muotoja? Ja tämä prosessi voi jatkua loputtomiin. Teillä on looginen muoto, jolla itsellään on muita loogisia muotoja, ja niin edelleen. Mutta tämä ei sovi yhteen sen teesin kanssa, jonka mukaan loogiset muodot ovat ainutkertaisia entiteettejä.

Yhteenveto

Tässä luvussa lähdettiin liikkeelle kysymyksestä, joka koski formaalin logiikan aihetta: mitä se on, mitä formaalinen logiikka tutkii? Keskustelimme teesistä, jonka mukaan muodollinen logiikka tutkii loogista seurausta argumenttien muodon kautta. Sen jälkeen selitimme pätevyyden käsitettä totuustaulukoiden avulla, jotka määrittelevät ehdot, joiden vallitessa jokin propositio on tosi tai epätosi – esimerkiksi ehdollinen propositio on epätosi vain silloin, kun sen edeltäjä on tosi ja seuraus epätosi; muussa tapauksessa se on tosi. Näin ollen, kuten edellä käsiteltiin, totuustaulukoita voidaan käyttää sen määrittämiseen, ovatko propositionaalisen logiikan kielellä muotoillut argumentit päteviä.

Selvitimme sitten tarkemmin, mitä tarkoittaa, että argumenteilla on looginen muoto, ja miten niiden looginen muoto vaikuttaa niiden (epä)pätevyyteen. Pääajatuksena on, että jokainen argumentti, joka jakaa loogisen muotonsa pätevän argumentin kanssa, on myös pätevä, ja näin ollen jokainen argumentti, joka jakaa loogisen muotonsa epäkelvon argumentin kanssa, on myös epäkelpo. Näimme, miten tämä käsitys pätevyyden käsitteestä antaa meille mahdollisuuden tunnistaa muodolliset harhaluulot, kuten seuraussuhteen vahvistamisen harhaluulon. Lopetimme tämän luvun esittämällä kolme filosofista kysymystä loogisten muotojen luonteesta, olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta.