Eksponentit ovat potensseja tai indeksejä. Eksponentti tai potenssi ilmaisee, kuinka monta kertaa luku toistuvasti kerrotaan itsellään. Kun esimerkiksi kohtaamme luvun, joka on kirjoitettu muodossa 53, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että 5 kerrotaan itsellään kolme kertaa. Toisin sanoen 53 = 5 x 5 x 5 = 125.

Eksponenttilauseke koostuu kahdesta osasta, nimittäin perusluvusta, jota merkitään b:llä, ja eksponentista, jota merkitään n:llä. Eksponenttilausekkeen yleismuoto on b n.

Miten eksponentteja kerrotaan?

Exponenttien kertolasku on olennainen osa ylemmän asteen matematiikan opintoja, mutta moni oppilas kuitenkin kamppailee ymmärtääkseen, miten tämä operaatio suoritetaan. Vaikka lausekkeet, joihin liittyy negatiivisia ja useita eksponentteja, tuntuvat hämmentäviltä.

Tässä artikkelissa opettelemme eksponenttien kertomista, ja siksi tämä auttaa sinua tuntemaan olosi paljon mukavammaksi eksponentteja sisältävien ongelmien ratkaisemisessa.

Eksponenttien kertominen sisältää seuraavat alateemat:

• Saman perustan omaavien eksponenttien kertominen
• Eri perustan omaavien eksponenttien kertominen
• Negatiivisten eksponenttien kertominen
• Murtolukujen kertominen eksponentein
• Kerroinmurtoluvut eksponentein
• Kerroinmurtoluvut. murtolukujen eksponenttien kertominen eksponenteilla
• Muuttujien kertominen eksponenteilla
• Neliöjuurien kertominen eksponenteilla

Eksponenttien kertominen samoilla emäksillä

Eksponenttien kertominen samoilla emäksillä, eksponentit lasketaan yhteen. Eksponenttien yhteenlaskusääntö, kun emäkset ovat samat, voidaan yleistää seuraavasti: Esimerkki 1

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m × m) × (m × m × m) × (m × m × m)

.

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Kertolasku eksponenttien kanssa, joilla on eri emäkset

Kertoessamme kaksi muuttujaa, joilla on eri emäkset, mutta samat eksponentit, yksinkertaisesti kerromme emäkset ja laitamme saman eksponentin. Tämä sääntö voidaan tiivistää seuraavasti:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Esimerkki 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Jos sekä eksponentit että emäkset ovat erilaisia, niin kumpikin luku lasketaan erikseen ja sitten tulokset kerrotaan yhteen. Tällöin kaava on: a n ⋅ b m

Esimerkki 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Miten kerrotaan negatiiviset eksponentit?

Luvuilla, joilla on sama perusta ja samat negatiiviset eksponentit, eksponentit vain lisätään. Yleensä: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Esimerkki 4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

Samoin jos emäkset ovat eri ja eksponentit samat, kerrotaan ensin emäkset ja käytetään eksponenttia.

a -n x b -n = (a x b) -n

Esimerkki 5

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444

• Miten murtolukuja kerrotaan eksponenttien kanssa?

Kertoessamme murtolukuja, joilla on sama perusta, lisäämme eksponentit. Esimerkiksi:

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

Esimerkki 6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 = 0,8 = 0,8.512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16

• Miten murtolukujen eksponentit kerrotaan?

Yleinen kaava tälle tapaukselle on: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Esimerkki 7

• • 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

  Vaikka murtoeksponentit, joilla on samat emäkset mutta eri eksponentit, saavat yleisen kaavan: a (n/m) x a (k/j) = a

  Esimerkki 8

  • 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 2 = 7.127
  • Miten kerrotaan neliöjuuret eksponenttien kanssa?

  Kun eksponentit ovat samassa emäksessä, voimme laskea eksponentit yhteen:

  (√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

  Esimerkki 9

  • (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125
  • Muuttujien kertominen eksponenttien kanssa

  Kun eksponentit ovat samaa emästä, voimme laskea eksponentit yhteen:

  xn * x m = x n + m

  Esimerkki 10

  • x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

  Harjoituskysymykset

  1. Suorakulmion pituuden neliö sen leveyden neliöllä. Jos tämän suorakulmion pinta-ala on 64 neliöyksikköä, etsi suorakulmion pituus.
  2. Valon matka Auringosta Maahan kestää 5 × 102 sekuntia. Jos valon nopeus on 3 × 108 m/s, mikä on Auringon ja Maan välinen etäisyys?

  Vastaukset

  1. 4 yksikköä
  2. 1,5 × 1011 m

  Edellinen oppitunti | Pääkirjoitus | Pääsivu | Seuraavalla oppitunnilla