Grenzen des exponentiellen Wachstums
Exponentielles Wachstum tritt immer dann auf, wenn die Geburtenrate die Sterberate in einer Bevölkerung übersteigt. Selbst wenn die Geburtenrate nur geringfügig größer ist als die Sterberate, wird die Bevölkerung schließlich in der bekannten J-förmigen Kurve explodieren. Exponentielles Wachstum ist nur möglich, wenn unendlich viele natürliche Ressourcen zur Verfügung stehen, was in der realen Welt jedoch nicht der Fall ist. In der realen Welt mit ihren begrenzten Ressourcen kann das exponentielle Wachstum nicht unbegrenzt anhalten. Exponentielles Wachstum kann in Umgebungen auftreten, in denen es nur wenige Individuen und reichlich Ressourcen gibt, aber wenn die Zahl der Individuen groß genug wird, werden die Ressourcen erschöpft, was die Wachstumsrate verlangsamt. Schließlich erreicht die Wachstumsrate ein Plateau oder pendelt sich ein. Diese Bevölkerungsgröße, die die maximale Bevölkerungsgröße darstellt, die eine bestimmte Umgebung tragen kann, wird als Tragfähigkeit bezeichnet und mit \(K\) bezeichnet. Der erste, der eine Modifikation des exponentiellen Wachstums veröffentlichte, die dieses Verhalten in der realen Welt beschreibt, war Pierre Verhulst im Jahr 1838.
Beim traditionellen exponentiellen Wachstum ist die Anzahl der neuen Individuen, die zur vorherigen Population hinzugefügt werden, ein Prozentsatz der Population selbst. Mit anderen Worten, die Steigung ist proportional zur Bevölkerungszahl. Eine Population, die jedes Jahr um 5 % wächst, würde zum Beispiel bei einer Population von 100 Personen 5 neue Individuen hinzufügen, bei einer Population von 3000 jedoch 150 neue Individuen. Das Modell von Verhulst unterschied sich insofern, als das Wachstum proportional zur Bevölkerung und zu den verfügbaren Ressourcen war. Die Anzahl der verfügbaren Ressourcen wurde nur als Prozentsatz behandelt, wobei zu Beginn 100 % verfügbar waren und 0 %, wenn die Bevölkerung die Tragfähigkeit erreicht hatte.
Die Formel für die Bevölkerung, \(P\), die exponentiell wächst, kann wie folgt geschrieben werden:
\(P = Start \cdot \left(1 + r\right)^t\)
während eine Bevölkerung, die ein Plateau an der Tragfähigkeit erreicht, wie folgt geschrieben werden kann:
\(P = Start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)
Die einzige Änderung an der traditionellen Exponentialwachstumsgleichung ist die Einbeziehung des Faktors \(\frac{K-P}{K}\), der den Abstand zwischen der Bevölkerung und der Tragfähigkeit in Prozent darstellt. Beträgt die Tragfähigkeit beispielsweise 100 und die Bevölkerung 95, dann wären 5 % der Ressourcen für zusätzliches Wachstum verfügbar, weil \((100-95)/100=5\%\). In diesem Fall würde die Wachstumsrate nur 5 % ihres ursprünglichen Wertes betragen: \(P=Start \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)
Wenn sich das exponentielle Wachstum verlangsamt und ein Plateau erreicht, sieht die Kurve etwas S-förmig aus. Der entsprechende griechische Buchstabe ist „sigma“, und das Wachstumsmodell wird als sigmoidales Wachstum bezeichnet. Manchmal wird es auch als „logistisches Wachstum“ bezeichnet, was jedoch zu Verwechslungen mit einem ganz anderen, auf dem Logarithmus basierenden Wachstumsmodell führen kann. Einen Vergleich zwischen exponentiellem und logistischem Wachstum zeigt das folgende Diagramm für eine Wachstumsrate von 5 %, eine anfängliche Population von 100 Individuen und eine Tragfähigkeit von 2000 Individuen.
Beachten Sie, dass das exponentielle Modell und das sigmoidale Modell anfangs fast identisch sind. Wenn die Bevölkerung viel kleiner ist als die Tragfähigkeit, sind die Ressourcen im Wesentlichen unbegrenzt, und die Bevölkerung wächst exponentiell. Erst wenn sich die Bevölkerung der Tragfähigkeit nähert, verlangsamt sich die Wachstumsrate merklich und die sigmoidale Kurve erreicht ein Plateau.
Beachten Sie auch, dass das sigmoidale Wachstumsmodell nicht steiler und steiler wird wie das exponentielle Wachstumsmodell. Der steilste Teil der sigmoidalen Kurve liegt genau bei der Hälfte der maximalen Population oder K/2. Bei Populationen, die kleiner als K/2 sind, beschleunigt sich das Wachstum. Für Populationen, die größer als K/2 sind, verlangsamt sich das Wachstum.
Beispiel
Betrachten Sie eine Population, die exponentiell mit einer Rate von 2,8% pro Jahr zu wachsen beginnt und einem
sigmoidalen Wachstumsmuster folgt.
a. Wenn die Tragfähigkeit 75 Millionen beträgt, finden Sie die aktuelle Wachstumsrate, wenn die Bevölkerung bei 10 Millionen liegt.
b. Finde die aktuelle Wachstumsrate, wenn die Bevölkerung bei 50 Millionen liegt.
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Beispiel
Angenommen, die Tragfähigkeit der Erde beträgt 15 Milliarden. In den 1960er Jahren betrug die Bevölkerung 3 Milliarden und die jährliche
Wachstumsrate lag bei 2,1%.
a. Wenn das Bevölkerungswachstum sigmoidal ist, wie hoch ist die Basiswachstumsrate (die Wachstumsrate, als die Bevölkerung nahe Null war)?
b. Was sagt das Modell für die Wachstumsrate voraus, wenn die Bevölkerung 7,6 Milliarden beträgt?
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Zusammenfassung
Sigmoidales Wachstum ist eine Abwandlung des exponentiellen Wachstums, bei dem die prozentuale Veränderung kleiner wird, wenn sich die Bevölkerung der Tragfähigkeit nähert. Die aktuelle Wachstumsrate ist das Produkt aus der anfänglichen Wachstumsrate und dem Prozentsatz der verfügbaren Ressourcen. Zu Beginn sind 100 % der Ressourcen verfügbar, so dass die sigmoidale Wachstumsrate der exponentiellen Rate entspricht. Schließlich stehen 0 % der Ressourcen zur Verfügung, und die sigmoidale Wachstumsrate nähert sich dem Wert Null.
Reale Systeme entsprechen dem sigmoidalen Wachstumsmodell selten genau, aber es ist dennoch eine sehr nützliche Annäherung. Neben Tierpopulationen kann sigmoidales Wachstum auch die Ausbreitung von Krankheiten, die Ausbreitung von Technologie oder die Verbreitung von Gerüchten modellieren. Reale Systeme weisen oft einen Sägezahnzyklus der Überbevölkerung auf, gefolgt von einem Bevölkerungszusammenbruch oder sogar einem Aussterben. Dies ist der Fall, wenn die Wachstumsrate so groß ist, dass die Bevölkerung die Tragfähigkeit übersteigt.