Exponenten sind Potenzen oder Indizes. Ein Exponent oder eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl wiederholt mit sich selbst multipliziert wird. Wenn wir zum Beispiel eine Zahl als 53 schreiben, bedeutet das einfach, dass 5 dreimal mit sich selbst multipliziert wird. Mit anderen Worten: 53 = 5 x 5 x 5 = 125.
Ein Exponentialausdruck besteht aus zwei Teilen, nämlich der Basis, bezeichnet als b, und dem Exponenten, bezeichnet als n. Die allgemeine Form eines Exponentialausdrucks ist b n.
Wie multipliziert man Exponenten?
Die Multiplikation von Exponenten ist ein wichtiger Teil der höheren Mathematik, aber viele Schüler haben Schwierigkeiten zu verstehen, wie man mit dieser Operation umgeht. Ausdrücke, die negative und mehrfache Exponenten beinhalten, scheinen verwirrend zu sein.
In diesem Artikel werden wir die Multiplikation von Exponenten lernen, damit du dich bei der Lösung von Problemen mit Exponenten wohler fühlen kannst.
Die Multiplikation von Exponenten umfasst die folgenden Unterthemen:
- Multiplikation von Exponenten mit gleicher Basis
- Multiplikation von Exponenten mit unterschiedlicher Basis
- Multiplikation von negativen Exponenten
- Multiplikation von Brüchen mit Exponenten
- Multiplikation von Bruchteilexponenten
- Multiplizieren von Variablen mit Exponenten
- Multiplizieren von Quadratwurzeln mit Exponenten
Multiplizieren von Exponenten mit der gleichen Basis
Bei der Multiplikation von Exponenten mit der gleichen Basis, werden die Exponenten miteinander addiert. Die Multiplikationsregel der Addition von Exponenten bei gleichen Basen kann verallgemeinert werden als: a n x a m = a n+ m
Beispiel 1
- m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m) × (m × m × m)
= m5 + 3
= m⁸
- 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
- (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×
= (-3) 3 +4
= (-3)7
- 5³ ×5⁶
= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
= 53+6
= 5⁹
- (-7)10× (-7) ¹²
= × .
= (-7) ²²
Multiplizieren von Exponenten mit unterschiedlichen Basen
Bei der Multiplikation zweier Variablen mit unterschiedlichen Basen, aber gleichem Exponenten, multipliziert man einfach die Basen und setzt den gleichen Exponenten ein. Diese Regel lässt sich wie folgt zusammenfassen:
a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n
Beispiel 2
- (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
- 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144
Wenn sowohl die Exponenten als auch die Basen unterschiedlich sind, dann wird jede Zahl einzeln berechnet und die Ergebnisse werden dann miteinander multipliziert. In diesem Fall lautet die Formel: a n ⋅ b m
Beispiel 3
- 32x 43 = 9 x 64 = 576
- Wie multipliziert man negative Exponenten?
Für Zahlen mit gleicher Basis und negativen Exponenten addiert man einfach die Exponenten. Allgemein gilt: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.
Beispiel 4
- 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125
Wenn die Basen unterschiedlich und die Exponenten gleich sind, multiplizieren wir zuerst die Basen und verwenden den Exponenten.
a -n x b -n = (a x b) -n
Beispiel 5
- 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444
- Wie multipliziert man Brüche mit Exponenten?
Bei der Multiplikation von Brüchen mit der gleichen Basis addiert man die Exponenten. Zum Beispiel:
(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m
Beispiel 6
- (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
- (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
- (-1/4)-3× (-1/4)-2
(-1/4)-3 × (-1/4)-2
= (4/-1)3 × (4/-1)2
= (-4)3 × (-4)2
= (-4) (3 + 2)
= (-4)5
= -45
= -1024. - (-2/7)-4× (-5/7)2
(-2/7)-4 × (-5/7)2
= (7/-2)4 × (-5/7)2
= (-7/2)4 × (-5/7)2
= (-7)4/24 × (-5)2/72
= {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
= {72 × (-5)2 }/24
= /16
= 1225/16
- Wie multipliziert man gebrochene Exponenten?
Die allgemeine Formel für diesen Fall lautet: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m
Beispiel 7
- 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7
Auch für gebrochene Exponenten mit gleichen Basen, aber unterschiedlichen Exponenten gilt die allgemeine Formel: a (n/m) x a (k/j) = a
Beispiel 8
- 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127
- Wie multipliziert man Quadratwurzeln mit Exponenten?
Bei Exponenten mit der gleichen Basis können wir die Exponenten addieren:
(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2
Beispiel 9
- (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 53 = 125
- Multiplikation von Variablen mit Exponenten
Für Exponenten mit der gleichen Basis, können wir die Exponenten addieren:
xn * x m = x n + m
Beispiel 10
- x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5
Praxisfragen
- Die Länge eines Rechtecks ist das Quadrat seiner Breite. Wenn der Flächeninhalt dieses Rechtecks 64 Quadrateinheiten beträgt, finde die Länge eines Rechtecks.
- Das Licht braucht 5 × 102 Sekunden für den Weg von der Sonne zur Erde. Wenn die Lichtgeschwindigkeit 3 × 108 m/s beträgt, wie groß ist dann die Entfernung zwischen Sonne und Erde?
Antworten
- 4 Einheiten
- 1,5 × 1011 m