Die in gebogenen Konstruktionen auftretende Scherwirkung wurde bereits im neunzehnten Jahrhundert festgestellt und im zwanzigsten Jahrhundert für homogene und geschichtete Konstruktionen eingehend untersucht. Die Annahme einer angemessenen Theorie der Verformung der Geraden senkrecht zur neutralen Oberfläche bildet die Grundlage für die analytische Modellierung heterogener Strukturen, insbesondere solcher, deren mechanische Eigenschaften in Richtung der Wanddicke variieren.

Reddy entwickelte ein theoretisches Modell der Biegung funktional abgestufter rechteckiger Platten unter Berücksichtigung der Scherwirkung. Die detaillierte Analyse erfolgt unter Berücksichtigung der Theorie der Scherverformung erster und dritter Ordnung. Zenkour stellte eine verallgemeinerte Scherverformungstheorie und ihre Anwendung auf die Analyse von funktionell abgestuften rechteckigen Platten vor, die einer gleichmäßig verteilten Last ausgesetzt sind. Die transversale Scherwirkung wird im Detail untersucht. Aydogdu schlug eine neue Scherdeformationstheorie für laminierte Verbundplatten vor. Diese Theorie erfüllt genau die Bedingungen für die Nullstellung der Scherspannungen auf der Ober- und Unterseite der Platte. Reddy stellte eine Neuformulierung der klassischen Balken- und Plattentheorie und der Theorie der Scherverformung unter Berücksichtigung der nichtlokalen differentiellen konstitutiven Beziehungen von Eringen und der nichtlinearen Dehnungen von Kármán vor. Die Gleichgewichtsgleichungen der nichtlokalen Balkentheorien und der klassischen und Scherverformungstheorien erster Ordnung für Platten werden formuliert. Carrera et al. beschreiben detailliert klassische und fortgeschrittene Theorien, einschließlich der Grundlagen der Theorie verformbarer Körper, der Euler-Bernoulli- und Timoshenko-Theorien von Balken, nichtlinearer Theorien, z. B. der parabolischen, kubischen, quartischen und Balken-Theorien n-ter Ordnung, sowie der Modellierung von Balken aus funktional gradierten Materialien. Meiche et al. stellten eine neue hyperbolische Scherverformungstheorie am Beispiel der Knick- und Freischwingungsanalyse von dicken funktional gradierten Sandwichplatten vor. Diese Theorie ist im Vergleich zu den einfachen Scherverformungstheorien von Mindlin und Reissner perfekter. Darüber hinaus bietet sie eine parabolische Variation der Querschubspannungen über die Dicke und auch deren Nullstellung an den Außenflächen. Thai und Vo entwickelten verschiedene Scherverformungstheorien höherer Ordnung für die Prüfung von Biegung und freien Schwingungen von funktional abgestuften Trägern. Diese Theorien berücksichtigen Variationen höherer Ordnung der transversalen Scherdehnung in der Tiefenrichtung des Trägers und erfüllen die spannungsfreien Randbedingungen an der oberen und unteren Oberfläche des Trägers. Thai und Vo entwickelten eine neue sinusförmige Scherverformungstheorie für funktional abgestufte rechteckige Platten. Diese Theorie beschreibt die sinusförmige Verteilung der Querschubspannung und erfüllt die Bedingungen für die Nullstellung der Scherspannung an den Außenflächen der Platte. Detaillierte Versuche zum Biegen, Knicken und Vibrieren dieser Platten wurden durchgeführt.

Akgöz und Civalek stellten ein neues analytisches Balkenmodell höherer Ordnung für die Scherverformung unter Berücksichtigung der Theorie der Dehnungsgradientenelastizität vor. Dieses Modell beschreibt die mikrostrukturellen und Scherverformungseffekte ohne die Notwendigkeit von Scherkorrekturfaktoren. Die Probleme der statischen Biegung und der freien Schwingung von einfach gelagerten Mikrobalken werden untersucht. Grover et al. schlugen eine neue inverse hyperbolische Scherverformungstheorie für laminierte Verbund- und Sandwichplatten vor. Diese Theorie wird auf der Grundlage der Formfunktion der Scherdehnung formuliert und durch numerische Untersuchungen des Biege- und Knickproblems von rechteckigen Platten validiert. Sahoo und Singh schlugen eine neue inverse trigonometrische Zick-Zack-Theorie für laminierte Verbundwerkstoff- und Sandwichplatten vor. Diese Theorie gewährleistet die Kontinuitätsbedingungen an den Schichtgrenzen und die Nullstellung der Schubspannung an den Außenflächen der Platte. Das effektive Finite-Elemente-Modell wird für numerische Studien statischer Probleme dieser Platten entwickelt. Xiang verbesserte die Theorie der Scherverformung n-ter Ordnung unter Berücksichtigung der Bedingung der Nullstellung der Scherspannung an den Außenflächen des funktional abgestuften Balkens. Die Probleme der freien Schwingung dieses Trägers werden analysiert. Kumar und Chakraverty schlugen vier neue inverse trigonometrische Scherverformungstheorien vor, mit denen die freien Schwingungen isotroper dicker rechteckiger Platten untersucht werden können. Die Theorien gewährleisten die Einhaltung der Querspannungs-Randbedingungen auf beiden Plattenoberflächen. Es wurde ein Konvergenztest und eine Validierung mit Fällen aus der verfügbaren Literatur durchgeführt. Mahi et al. stellten eine neue hyperbolische Scherverformungstheorie vor, die die Biegung und freie Schwingung von isotropen, funktional gradierten, Sandwich- und laminierten Verbundplatten beschreibt. Der Ansatz erfordert keinen Scherkorrekturfaktor. Auf der Grundlage des Hamilton-Prinzips wurde das Energiefunktional des Systems ermittelt. Die Genauigkeit der Methode wurde durch Vergleiche mit der numerischen Lösung des Problems gezeigt.

Darijani und Shahdadi schlugen eine neue Theorie der Plattenverformung unter Berücksichtigung der Scherverformungen vor. Die transversalen Schubspannungen variieren über die Plattendicke gemäß einer Potenzgesetzbeziehung. Die Ober- und Unterseiten der Platte sind frei von Scherspannungen. Die maßgeblichen Gleichungen und Randbedingungen der Platte werden mit Hilfe des Hamilton-Prinzips hergeleitet. Die Ergebnisse sind mit denen vergleichbar, die mit Theorien höherer Ordnung erzielt wurden. Lezgy-Nazargah untersuchte die thermomechanischen Phänomene in Trägern aus einem funktional abgestuften Material. Zu diesem Zweck wurde eine verfeinerte Theorie höherer Ordnung verwendet, während das Verschiebungsfeld in der Ebene durch polynomische und exponentielle Ausdrücke dargestellt wurde. Die so erhaltenen numerischen Ergebnisse wurden mit den Lösungen anderer Autoren verglichen. Sobhy verwendete eine neue viervariable Theorie der Scherverformung von Platten, um die Schwingungen und das Beulen von funktional abgestuften Sandwichplatten, die von elastischen Fundamenten getragen werden, darzustellen. Die Bewegungsgleichungen wurden auf der Grundlage des Hamilton-Prinzips abgeleitet. Die Gültigkeit der Theorie wurde durch den Vergleich der erzielten Ergebnisse mit den bisherigen Ergebnissen überprüft. Sarangan und Singh entwickelten mehrere neue Scherverformungstheorien für die Analyse des statischen, Knick- und freien Schwingungsverhaltens von laminierten Verbund- und Sandwichplatten. Die Theorien gewährleisten die Nullstellung der Querschubspannungen an den Außenflächen der Platte. Die Genauigkeit der Modelle wurde durch Vergleich mit den Ergebnissen von 3D-Elastizitätslösungen und bestehenden Theorien positiv verifiziert. Chen et al. untersuchten die freien und erzwungenen Schwingungen von funktional abgestuften porösen Balken. Die Timoshenko-Balkentheorie mit Berücksichtigung des Effekts der transversalen Scherdehnung ermöglichte die Ableitung der Bewegungsgleichung. Dieser Ansatz ermöglichte die effektive Berechnung von Eigenfrequenzen und dynamischen Verformungen für poröse Balken, die verschiedenen Belastungsbedingungen ausgesetzt sind. Singh und Singh befassten sich mit laminierten und dreidimensionalen geflochtenen Verbundplatten. Zu diesem Zweck entwickelten die Autoren zwei neue Theorien zur Scherverformung. Die maßgeblichen Differentialgleichungen wurden auf der Grundlage des Prinzips der virtuellen Arbeit formuliert. Die mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode erzielten Ergebnisse bestätigten die gute Wirksamkeit der beiden vorgeschlagenen Theorien. Shi et al. formulierten eine neue Scherverformungstheorie, die für die Analyse freier Schwingungen und des Knickens von laminierten Verbundplatten anwendbar ist. Die Theorie gewährleistet das Verschwinden der Scherspannungen an den Oberflächen der Platten. Außerdem sind keine Scherkorrekturfaktoren erforderlich. Die in der Literatur verfügbaren Lösungen bestätigen die hohe Genauigkeit und Effizienz der neuen Methode. Thai et al. stellten eine einfache Balkentheorie vor, die für die Analyse der statischen Biegung und der freien Schwingung von isotropen Nanoträgern verwendet wird. Die maßgebende Gleichung wurde auf der Grundlage der Gleichgewichtsgleichungen der Elastizitätstheorie abgeleitet. Analytische Lösungen wurden für nichtlokale Balken unter Anwendung verschiedener Arten von Randbedingungen erhalten. Die Überprüfung hat eine gute Genauigkeit und Wirksamkeit der Theorie gezeigt. Pei et al. erarbeiteten eine modifizierte Theorie höherer Ordnung für funktional abgestufte Balken unter Verwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit. In der Theorie wird zwischen dem Schwerpunkt und dem neutralen Punkt des Querschnitts unterschieden. Außerdem wird der Zusammenhang mit der traditionellen Theorie höherer Ordnung erläutert, was eine vergleichende Untersuchung verschiedener Theorien für Träger höherer Ordnung erleichtert. Kumar et al. untersuchten Platten aus funktional abgestuften Materialien mit Hilfe von zwei eigenen neuen Theorien höherer Ordnung zur transversalen Scherverformung. Das Energieprinzip wurde zur Ableitung der maßgeblichen Differentialgleichung der Platte verwendet. Die erhaltenen Ergebnisse der Durchbiegung und Spannungen wurden mit anderen veröffentlichten Daten verglichen. Die Auswirkungen verschiedener Belastungsarten, des Verhältnisses von Spannweite zu Dicke und des Klassifizierungsindex wurden untersucht. Magnucki und Lewiński betrachteten einfach gelagerte Balken mit symmetrisch variierenden mechanischen Eigenschaften in Tiefenrichtung, die verschiedenen Lastarten – von gleichmäßig verteilten bis zu konzentrierten – ausgesetzt sind. Die Verformung eines ebenen Balkenquerschnitts nach Biegung wurde auf der Grundlage einer eigenen nichtlinearen „Polynom“-Hypothese bestimmt. Die Differentialgleichung des Gleichgewichts wurde auf der Grundlage der Definitionen von Biegemoment und Querkraft formuliert und dann für mehrere Balkenbeispiele gelöst. Magnucki et al. schlugen eine neue Formulierung der Funktionen vor, die die Veränderung der mechanischen Eigenschaften eines Balkens in Tiefenrichtung bestimmen. Der Ansatz besteht in einer Verallgemeinerung, die es ermöglicht, homogene, nichtlinear veränderliche und Sandwichstrukturen mit Hilfe eines universellen analytischen Modells zu beschreiben. Die Bewegungsgleichungen wurden auf der Grundlage des Hamilton-Prinzips abgeleitet und analytisch gelöst. Die Ergebnisse wurden durch FEM-Berechnungen verifiziert. Katili et al. schlugen ein Zweiknoten-Balkenelement höherer Ordnung vor, das zur Lösung der statischen und freien Schwingungsprobleme entwickelt wurde. Die Timoshenko-Balkentheorie wurde im Hinblick auf eine angemessene Berücksichtigung des Querschereffekts modifiziert. Die Wirksamkeit des Ansatzes wurde durch Vergleich mit anderen in der Literatur veröffentlichten Daten überprüft. Lezgy-Nazargah entwickelte eine global-lokale Scherverformungstheorie, die das statische und dynamische Verhalten von dünnen und dicken geschichteten gekrümmten Trägern genau vorhersagt. Die Variation der Schubspannung in Richtung der Trägerdicke wird durch eine parabolische Funktion angenähert. Die Nullstellung der Schubspannung an den Balkenrandflächen wird gewährleistet, ohne dass ein Scherkorrekturkoeffizient erforderlich ist. Die aus statischen und schwingungsfreien Berechnungen gewonnenen Ergebnisse werden durch die mit FEM berechneten positiv bestätigt.

Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit besteht in der Verbesserung der Scherverformungstheorie der Biegung im Falle symmetrisch variierender mechanischer Eigenschaften des Materials in der Tiefenrichtung des Querschnitts. Es wird die individuelle nichtlineare Funktion der Verformung des ebenen Querschnitts vorgeschlagen. Die verbesserte Scherverformungstheorie wird auf beispielhafte Träger angewandt, für die ein analytisches Modell entwickelt wird. Das analytische Modell dieser Balken wird entwickelt. Die analytischen Ergebnisse werden mit denen verglichen, die mit einem numerischen FEM-Ansatz erzielt wurden. Das vorgestellte Problem der Biegebalken unter Berücksichtigung der Scherwirkung ist eine Fortsetzung der von Magnucki und Lewinski und Magnucki et al. vorgelegten Forschungsarbeiten.