Spotrenten på en obligation er det aktuelle afkast for en given løbetid. Markedets spotkurser for visse løbetider er lig med afkastet til udløb af nul-kuponobligationer med disse løbetider. Spotkursen stiger, når løbetiden stiger, men dette mønster afviger ofte. Så obligationer med længere løbetider har generelt et højere afkast. En graf over spotkurserne for forskellige løbetider danner afkastkurven, og formen på denne kurve er ofte afgørende for effektiviteten af visse obligationsstrategier, især dem, der har til formål at sænke renterisikoen, såsom obligationsimmuniseringsstrategier. Desuden ønsker nogle indehavere af kuponobligationer at strippe obligationerne til en serie af nulkuponobligationer, enten for at mindske risikoen ved i højere grad at matche aktivernes varighed med passivernes varighed eller for at opnå en fortjeneste ved at sælge nulkuponobligationerne. Der kan også opnås fortjeneste ved at rekonstruere nulkuponobligationerne tilbage til den oprindelige obligation, hvis summen af nuller er billigere end den rekonstruerede obligation. Salg af nuller eller omdannelse af nuller afhængigt af markedspriserne er en form for arbitrage, et middel til at opnå en risikofri fortjeneste. Om det vil være rentabelt at udstede nuller, fjerne kuponer eller genskabe kuponer afhænger imidlertid af spotrentekurven eller afkastkurven, som gør det muligt for investor at vurdere markedsprisen for en obligation med en bestemt løbetid. Ofte sælges der imidlertid ikke tilstrækkeligt mange nulkuponobligationer på markedet til, at det klart fremgår, hvad de faktiske obligationspriser ville være ved en given løbetid. Hvordan kan spotrenten fastsættes for løbetider, hvor der mangler markedsoplysninger?
Tæt beslægtet med spotrenten er terminrenten, som er renten for en bestemt løbetid, der begynder i fremtiden og slutter senere. Så hvis en virksomhed ønsker at låne penge om 1 år fra nu af for en løbetid på 2 år til en kendt rente i dag, kan en bank garantere denne rente ved hjælp af en terminskontrakt, hvor terminssatsen anvendes som rente på lånet. Forward rate-kontrakter, som er en almindelig type derivat, er baseret på terminskurser. Terminskurser er også nødvendige for at vurdere obligationer med indbyggede optioner. Men da terminssatser er fremtidige spotpriser for renter, som ikke kan kendes, hvordan bestemmes terminssatser?
Spotrentekurver og terminssatser, der er impliceret af markedspriser, kan bestemmes ud fra markedspriserne på kuponobligationer gennem en proces, der kaldes bootstrapping.
Terminssatser
Kursen på en obligation = nutidsværdien af alle dens pengestrømme. Den sædvanlige teknik er at anvende et konstant afkast til udløb (YTM) ved beregning af nutidsværdien af pengestrømmene. Obligationskursligningen kan imidlertid anvendes til at beregne terminssatserne som antydet af de aktuelle markedspriser på forskellige kuponobligationer.
| Bond Price | = | C1(1+YTM)1 | + | C2(1+YTM)2 | + … + | Cn(1+YTM)n | + | P(1+YTM)n | ||
|
||||||||||
En kuponobligation kan betragtes som en gruppe af nul-kuponobligationer med et nul svarende til hver kuponbetaling og til den endelige tilbagebetaling af hovedstolen. På denne måde skal hver pengestrøm diskonteres til den rentesats, der er passende for den periode, hvor pengestrømmen vil blive modtaget. Værdien af nulkuponobligationerne skal være lig med kuponobligationen; ellers kunne en arbitrageur strippe obligationen og sælge nullerne med fortjeneste, hvilket de undertiden gør.
De således beregnede terminssatser er ikke prognoser for fremtidige rentesatser, da fremtidige rentesatser er ukendte. Fremtidsrenterne beregnes snarere simpelthen ud fra de aktuelle obligationskurser; derfor kaldes de nogle gange for implicitte fremtidsrenter, fordi de er implicit af obligationsmarkedspriserne på samme måde, som implicit volatilitet bestemmes af optionsmarkedspriserne.
Bootstrapping
Treasuries er den ideelle obligationstype at bruge til at konstruere en afkastkurve, fordi de mangler kreditrisiko, så Treasury-kurserne afhænger mere af markedsrenterne. Treasuries definerer en risikofri afkastkurve, men markedspriserne indebærer også forward rates, som er afkast for bestemte perioder i fremtiden.
Da Treasury-notes og -obligationer generelt udstedes som kuponobligationer, kan deres priser ikke blot bruges til at konstruere spotrentekurven eller til at beregne forward rates. I stedet konstrueres en teoretisk spotrentekurve og implicitte terminssatser ved hjælp af bootstrapping-processen, som beregner terminssatserne ved at tage hensyn til værdien af de nulkuponobligationer, der svarer til statsobligationerne. De beregnede terminssatser kan derefter konstruere spot-rate-kurven ved at lægge afkastet for hver termin til den ønskede løbetid sammen.
Bootstrapping-teknikken er baseret på pris-afkast-ligningen ved hjælp af forskellige satser for hver af de 6-måneders terminer, som er bestemt af markedspriserne:
| Bond Price | = | C1(1+r1)1 | + | C2(1+r2)2 | + … + | Cn(1+rn)n | + | P(1+rn)n | |
|
|||||||||
Rentesatsen beregnes 1. for den 6-måneders obligation, der har en kendt markedskurs, og som kun har en enkelt betaling, bestående af kuponbetaling og tilbagebetaling af hovedstolen, ved udløb. Når renten er beregnet for den 1. periode med 6-måneders obligationen, bruges denne rente til at beregne renten for den 2. periode med en 1-årig obligation osv. indtil alle renter for det ønskede antal løbetider, for hvilke der findes markedskurser, er blevet bestemt. Dette kaldes bootstrapping-teknikken, fordi de tidligere beregnede spotrenter anvendes til at beregne senere spotrenter i successive trin.
Eksempel: Bootstrapping
To 6%-kuponobligationer uden kreditrisiko og med en nominel nominel værdi på $100 har følgende rene markedskurser (ingen påløbne renter) og tid tilbage til udløb. Bemærk, at det annualiserede afkast er divideret med 2, fordi hver løbetid kun dækker ½ år:
- 6-måneders obligation: 99 $
- 1-årig obligation: 98 $
- y = annualiseret afkast til udløb
- Bestem afkastet for 6-måneders obligationen ved hjælp af markedskursen på 99 $. Ved udgangen af 6 måneder vil den betale en kupon på 3$ plus tilbagebetalingen af hovedstolen, i alt 103$:
- 99 = 103/(1+y/2)
- 99 × (1+y/2) = 103
- 1+y/2 = 103/99 = 1.0404
- y/2 = 1.0404 – 1 = .0404
- y = .0404
- y = .0404 × 2 = .0808 = 8.08%
- Bestem afkastet på 2. termin for den 1-årige obligation ved at bruge markedskursen på 98 $ for obligationen og afkastet for 1. termin beregnet i trin 1:
- Nutidsværdien af første kuponbetaling + nutidsværdien af sidste betaling = 98
- 3/1.0404 + 103/(1 + y/2)2 = 2,88 + 103/(1 + y/2)2 = 98
- 103/(1 + y/2)2 = 98 – 2,88 = 95,12
- 103 = 95.12 × (1 + y/2)2
- (1 + y/2)2 = 103/95,12 = 1,082883
- Siddende værdi af den endelige obligationsbetaling = 103/1,082883 = 95.12
- Markedspris på obligationen = 2,88 $ + 95,12 $ = 98 $
Så ifølge disse markedspriser er spotrenten for den nuværende 6-måneders løbetid annualiseret 8,0808% og terminrenten for den 2. 6-måneders løbetid annualiseret 8,2883%.
Slutning
Bootstrapping-teknikken er enkel, men at finde den reelle rentekurve og udjævne den kræver mere kompliceret matematik, fordi obligationspriserne ikke kun påvirkes af renten, men også af andre faktorer, såsom kreditrisiko, skatter, likviditet og den simple varians i udbud og efterspørgsel for hver løbetid. Der anvendes mere sofistikerede matematiske teknikker til at bestemme mere realistiske renter, men disse ligger uden for rammerne af denne artikel. Ikke desto mindre illustrerer bootstrapping, hvordan terminsrenter kan beregnes ud fra de aktuelle obligationskurser, som derefter kan sammensættes for at udfylde hullerne i spotrrentekurven.