Grænser for eksponentiel vækst

Eksponentiel vækst opstår, når fødselsraten overstiger dødsraten i en befolkning. Selv hvis fødselsraten kun er en smule større end dødsraten, vil befolkningen til sidst eksplodere i den velkendte J-formede kurve. Eksponentiel vækst er kun mulig, hvis der er uendelige naturressourcer til rådighed, men det er ikke tilfældet i den virkelige verden. I den virkelige verden med dens begrænsede ressourcer kan eksponentiel vækst ikke fortsætte i det uendelige. Eksponentiel vækst kan forekomme i miljøer, hvor der er få individer og rigeligt med ressourcer, men når antallet af individer bliver stort nok, vil ressourcerne blive opbrugt, hvilket bremser væksten. Til sidst vil vækstraten nå et plateau eller udjævnes. Denne befolkningsstørrelse, som repræsenterer den maksimale befolkningsstørrelse, som et bestemt miljø kan bære, kaldes bæreevnen og er betegnet \(K\). Den første person, der offentliggjorde en ændring af eksponentiel vækst, som beskriver denne adfærd i den virkelige verden, var Pierre Verhulst i 1838.

I traditionel eksponentiel vækst er antallet af nye individer, der føjes til den tidligere population, en procentdel af selve populationen. Med andre ord er hældningen proportional med populationen. F.eks. ville en befolkning, der vokser med 5 % hvert år, tilføje 5 nye individer, når populationen var 100, men den ville tilføje 150 nye individer, når populationen var 3000. Verhulsts model var anderledes, idet væksten var proportional med befolkningen og de tilgængelige ressourcer. Antallet af tilgængelige ressourcer blev blot behandlet som en procentdel, hvor der var 100 % tilgængelige i begyndelsen og 0 % tilgængelige, når befolkningen nåede op på bæreevnen.

Formlen for en befolkning, \(P\), der vokser eksponentielt kan skrives som:
\(P = start \cdot \left(1 + r\right)^t\)

mens en befolkning, der når et plateau ved bæreevnen, kan skrives som:

\(P = start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}{K}) \cdot r\right)^t\)

Den eneste ændring i forhold til den traditionelle eksponentielle vækstligning er medtagelsen af faktoren \(\frac{K-P}{K}{K}\), som repræsenterer forskellen mellem befolkningen og bæreevnen som en procentdel. Hvis f.eks. bæreevnen var 100, og befolkningen var 95, ville der være 5 % af ressourcerne til rådighed til yderligere vækst, fordi \((100-95)/100=5\%\). I så fald ville vækstraten kun være 5 % af den oprindelige værdi: \(P=start \cdot \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)

Når den eksponentielle vækst aftager og når den når et plateau, ser kurven noget S-formet ud. Det tilsvarende græske bogstav “sigma”, og vækstmodellen kaldes sigmoidal vækst. Den kaldes også nogle gange “logistisk vækst”, selv om det kan skabe forvirring med en meget anderledes vækstmodel baseret på logaritmen. En sammenligning af eksponentiel og logistisk vækst er vist i nedenstående graf for en vækstrate på 5 %, en oprindelig population på 100 individer og en bæreevne på 2000 individer.

Bemærk, at den eksponentielle model og den sigmoidale model i første omgang er næsten identiske. Når befolkningen er meget mindre end bæreevnen, er ressourcerne stort set ubegrænsede, og befolkningen vokser eksponentielt. Det er først, når befolkningen nærmer sig bæreevnen, at væksthastigheden aftager mærkbart, og at den sigmoide kurve bliver flad.

Også bemærk, at den sigmoide vækstmodel ikke bliver stejlere og stejlere som den eksponentielle vækstmodel. Den stejleste del af den sigmoide kurve ligger præcis ved halvdelen af den maksimale population, eller K/2 For populationer, der er mindre end K/2, accelererer væksten. For populationer, der er større end K/2, er væksten aftagende.

Summarum

Sigmoid vækst er en modifikation af eksponentiel vækst, hvor den procentvise ændring bliver mindre, efterhånden som befolkningen nærmer sig bæreevnen. Den aktuelle vækstrate er produktet af den oprindelige vækstrate og den procentvise andel af de tilgængelige ressourcer. I begyndelsen er der 100 % af ressourcerne til rådighed, så den sigmoide vækstrate svarer til den eksponentielle vækstrate. Til sidst er der 0 % af ressourcerne til rådighed, og den sigmoide vækstrate nærmer sig nul.

Reelle systemer passer sjældent nøjagtigt til den sigmoide vækstmodel, men det er stadig en meget nyttig tilnærmelse. Ud over dyrebestande kan sigmoidal vækst modellere spredningen af sygdomme eller spredningen af teknologi eller spredningen af rygter. Reelle systemer udviser ofte en savtakket cyklus med overbefolkning efterfulgt af et befolkningsnedbrud eller endog en udryddelse. Dette opstår, når vækstraten er stor nok til at få befolkningen til at overskride bæreevnen.