Eksponenter er potenser eller indeks. En eksponent eller potens angiver det antal gange, et tal ganges gentagne gange med sig selv. Når vi f.eks. støder på et tal skrevet som, 53, betyder det simpelthen, at 5 er ganget med sig selv tre gange. Med andre ord, 53 = 5 x 5 x 5 x 5 = 125.

Et eksponentiel udtryk består af to dele, nemlig basen, der betegnes b, og eksponenten, der betegnes n. Den generelle form for et eksponentiel udtryk er b n.

Hvordan multiplicerer man eksponenter?

Multiplikation af eksponenter er en vigtig del af matematik på højere niveau, men mange elever har svært ved at forstå, hvordan de skal gå til værks med denne operation. Selvom udtryk, der involverer negative og flere eksponenter, virker forvirrende.

I denne artikel vil vi lære multiplikation af eksponenter, og derfor vil dette hjælpe dig til at føle dig meget mere komfortabel med at tackle problemer med eksponenter.

Multiplikation af eksponenter indebærer følgende underemner:

• Multiplikation af eksponenter med samme base
• Multiplikation af eksponenter med forskellige baser
• Multiplikation af negative eksponenter
• Multiplikation af brøker med eksponenter
• Multiplikation af brøkeksponenter
• Multiplikation af variabler med eksponenter
• Multiplikation af kvadratrødder med eksponenter

Multiplikation af eksponenter med samme base

I multiplikation af eksponenter med samme baser, eksponenterne lægges sammen. Multiplikationsreglen for addition af eksponenter, når baserne er ens, kan generaliseres som: a n x a m = a n+ m

Eksempel 1

• m⁵ × m³ = (m × m × m × m × m × m × m × m) × (m × m × m × m)

= m5 + 3

= m⁸

• 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
• (-3) ³ × (-3) ⁴ = ×

= (-3) 3 +4

= (-3)7

• 5³ ×5⁶
  = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
  = 53+6

= 5⁹

• (-7)10× (-7) ¹²

= × .

= (-7) ²²

Multiplikation af eksponenter med forskellige baser

Ved multiplikation af to variable med forskellige baser, men samme eksponenter, multiplicerer vi simpelthen baserne og placerer den samme eksponent. Denne regel kan sammenfattes som:

a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n

Eksempel 2

• (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
• 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144

Hvis både eksponenterne og baserne er forskellige, så beregnes hvert tal for sig, og derefter ganges resultaterne sammen. I dette tilfælde er formlen givet ved: a n ⋅ b m

Eksempel 3

• 32x 43 = 9 x 64 = 576

• Hvordan multiplicerer man negative eksponenter?

For tal med samme base og negative eksponenter adderer vi blot eksponenterne. Generelt gælder: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.

Eksempel 4

• 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125

Sådan er det også, hvis baserne er forskellige og eksponenterne er ens, så multiplicerer vi først baserne og bruger eksponenten.

a -n x b -n = (a x b) -n

Eksempel 5

• 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444

• Hvordan multiplicerer man brøker med eksponenter?

Når man multiplicerer brøker med samme base, lægger man eksponenterne sammen. For eksempel:

(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m

Eksempel 6

• (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
• (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
• (-1/4)-3× (-1/4)-2
  (-1/4)-3 × (-1/4)-2
  = (4/-1)3 × (4/-1)2
  = (-4)3 × (-4)2
  = (-4) (3 + 2)
  = (-4)5
  = -45
  = -1024.
• (-2/7)-4× (-5/7)2
  (-2/7)-4 × (-5/7)2
  = (7/-2)4 × (-5/7)2
  = (-7/2)4 × (-5/7)2
  = (-7)4/24 × (-5)2/72
  = {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
  = {72 × (-5)2 }/24
  = /16
  = 1225/16

• Hvordan multiplicerer man brøkeksponenter?

Den generelle formel for dette tilfælde er: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m

Eksempel 7

• 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14.7

Sådan har brøkeksponenter med samme basis men forskellige eksponenter den generelle formel givet ved: a (n/m) x a (k/j) = a

Eksempel 8

• 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127

• Hvordan multiplicerer man kvadratrødder med eksponenter?

For eksponenter med samme base kan vi addere eksponenterne:

(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2

Eksempel 9

• (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 = 56/2 = 53 = 125

• Multiplikation af variabler med eksponenter

For eksponenter med samme base, kan vi addere eksponenterne:

xn * x m = x n + m

Eksempel 10

• x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x * x) = x 2 + 3 = x 5

Praktikopgaver

1. Længden af et rektangel er kvadratet på dets bredde. Hvis arealet af dette rektangel er 64 kvadratiske enheder, skal du finde længden af et rektangel.
2. Det tager 5 × 102 sekunder for lyset at bevæge sig fra Solen til Jorden. Hvis lysets hastighed er 3 × 108 m/s, hvad er så afstanden mellem Solen og Jorden?

Svar

1. 4 enheder
2. 1,5 × 1011 m

Forrige lektion | Hovedside | Næste lektion