Den forskydningseffekt, der forekommer i bøjede konstruktioner, blev bemærket allerede i det nittende århundrede og undersøgt i detaljer for homogene og lagdelte konstruktioner i det tyvende århundrede. Antagelse af en korrekt teori om deformation af den lige linje, der er normal til den neutrale overflade, danner grundlag for analytisk modellering af heterogene konstruktioner, især dem med mekaniske egenskaber, der varierer i vægtykkelsesretningen.

Reddy udviklede en teoretisk model for bøjning af funktionelt sorterede rektangulære plader under hensyntagen til forskydningseffekten. Der er foretaget en detaljeret analyse under hensyntagen til første og tredje ordens forskydningsdeformationsteori. Zenkour præsenterede en generaliseret teori om forskydningsdeformation og dens anvendelse på analysen af funktionelt sorterede rektangulære plader, der udsættes for en ensartet fordelt belastning. Den tværgående forskydningseffekt er undersøgt i detaljer. Aydogdu har foreslået en ny teori om forskydningsdeformation for laminerede kompositplader. Denne teori opfylder nøjagtigt betingelserne for nulstilling af forskydningsspændinger på pladens øverste og nederste overflade. Reddy præsenterede en omformulering af de klassiske og forskydningsdeformationsteorier for bjælker og plader under hensyntagen til Eringen’s ikke-lokale differentielle konstitutive relationer og von Kármáns ikke-lineære belastninger. Der formuleres ligevægtsligninger for de ikke-lokale bjælkelteorier og de klassiske og første ordens forskydningsdeformationsteorier for plader. Carrera et al. beskrev i detaljer klassiske og avancerede teorier, herunder: det grundlæggende i teorien om deformerbare legemer, Euler-Bernoulli- og Timoshenko-teorier om bjælker, ikke-lineære teorier, f.eks. de paraboliske, kubiske, kvartiske og n-ordens bjælketeorier samt modellering af bjælker af funktionelt graduerede materialer. Meiche et al. præsenterede en ny hyperbolisk forskydningsdeformationsteori på grundlag af et eksempel på knæk- og fri vibrationsanalyse af tykke funktionelt graduerede sandwichplader. Denne teori er mere perfekt i forhold til Mindlin og Reissners simple teorier om forskydningsdeformation. Desuden giver den en parabolisk variation af de tværgående forskydningsspændinger på tværs af tykkelsen og også deres nulstilling på de ydre overflader. Thai og Vo udviklede forskellige teorier om forskydningsdeformation af højere orden til afprøvning af bøjning og frie vibrationer af funktionelt graduerede bjælker. Disse teorier tager højde for variationen af tværgående forskydningsspændinger af højere orden i bjælkens dybderetning og opfylder de spændingsfrie randbetingelser på bjælkens øvre og nedre flader. Thai og Vo udviklede en ny sinusformet teori om forskydningsdeformation for funktionelt graduerede rektangulære plader. Denne teori beskriver den sinusformede fordeling af den tværgående forskydningsspænding og opfylder betingelserne for nulforskydningsspænding på pladens ydre overflader. Der er udført detaljerede prøvninger vedrørende bøjning, bukning og vibrationer af disse plader.

Akgöz og Civalek præsenterede en ny analytisk bjælkemodel af højere orden for forskydningsdeformation med hensyntagen til elasticitetsteorien med strain gradient. Denne model beskriver de mikrostrukturelle og forskydningsdeformationseffekter uden behov for forskydningskorrektionsfaktorer. Problemerne med statisk bøjning og fri vibration af enkelt understøttede mikrobjælker er undersøgt. Grover et al. har foreslået en ny omvendt hyperbolisk teori om skubdeformation af laminerede komposit- og sandwichplader. Denne teori er formuleret på grundlag af forskydningsformfunktionen og valideret ved hjælp af numeriske undersøgelser af bøjnings- og bøjningsproblemet for rektangulære plader. Sahoo og Singh har foreslået en ny omvendt trigonometrisk zig-zag-teori for laminerede komposit- og sandwichplader. Denne teori sikrer kontinuitetsbetingelserne ved laggrænsefladerne og nulstilling af forskydningsspændingen på pladens ydre overflader. Den effektive finite elementmodel er udviklet til numeriske undersøgelser af statiske problemer for disse plader. Xiang forbedrede teorien om forskydningsdeformation af n-rækkefølge ved at tage hensyn til betingelsen om nulstilling af forskydningsspændingen på de ydre overflader af den funktionelt graduerede bjælke. De frie vibrationsproblemer for denne bjælke analyseres. Kumar og Chakraverty foreslog fire nye omvendt trigonometriske teorier om forskydningsdeformation, der gør det muligt at undersøge de frie vibrationer af isotrope tykke rektangulære plader. Teorierne sikrer, at grænsebetingelserne for tværgående spændinger på begge pladeoverflader er opfyldt. Der blev foretaget en konvergens- og valideringstest med cases fra den tilgængelige litteratur. Mahi et al. præsenterede en ny hyperbolisk forskydningsdeformationsteori, der beskriver bøjning og frie vibrationer af isotrope, funktionelt graduerede, sandwich- og laminerede kompositplader. Tilgangen kræver ikke en korrektionsfaktor for forskydning. Baseret på Hamiltons princip blev systemets energifunktionalitet opnået. Metodens nøjagtighed blev vist ved sammenligninger med den numeriske løsning af problemet.

Darijani og Shahdadi foreslog en ny deformationspladeteori med hensyntagen til forskydningsdeformationer. De tværgående forskydningsspændinger varierer over pladetykkelsen i henhold til et power-law-forhold. Pladens over- og underside er fri for forskydningsspændinger. De styrende ligninger og randbetingelser for pladen er afledt ved hjælp af Hamiltons princip. Resultaterne er sammenlignelige med dem, der er opnået ved hjælp af teorier af højere orden. Lezgy-Nazargah har undersøgt de termomekaniske fænomener i bjælker af et funktionelt gradueret materiale. Der blev anvendt en forfinet teori af høj orden til dette formål, mens forskydningsfeltet i planet blev beskrevet ved hjælp af polynomiale og eksponentielle udtryk. De således opnåede numeriske resultater blev sammenlignet med andre forfatteres løsninger. Sobhy anvendte en ny fire-variabel skubdeformationspladeteori til at beskrive vibrationer og bukling af funktionelt graduerede sandwichplader, der understøttes af elastiske fundamenter. Bevægelsesligningerne blev afledt på grundlag af Hamiltons princip. Teoriens gyldighed blev verificeret ved sammenligning af de opnåede resultater med de tidligere resultater. Sarangan og Singh udviklede flere nye teorier om forskydningsdeformation, der kan anvendes til analyse af laminerede komposit- og sandwichpladers statiske, bukkende og frie vibrationsadfærd. Teorierne sikrer nulstilling af de tværgående forskydningsspændinger ved pladens ydre overflader. Nøjagtigheden af modellerne blev positivt verificeret ved sammenligning med resultaterne af 3D-elasticitetsløsninger og eksisterende teorier. Chen et al. undersøgte den frie og tvungne vibration af funktionelt graduerede porøse bjælker. Timoshenko-bjælkelteorien med hensyntagen til virkningen af tværgående forskydningsbelastning gjorde det muligt at udlede bevægelsesligningen. Denne fremgangsmåde muliggjorde en effektiv beregning af egenfrekvenser og transiente dynamiske deformationer for de porøse bjælker, der udsættes for forskellige belastningsforhold. Singh og Singh beskæftigede sig med laminerede og tredimensionelle flettede kompositplader. Forfatterne udviklede to nye teorier om forskydningsdeformation til dette formål. De styrende differentialligninger blev formuleret på grundlag af det virtuelle arbejdsprincip. De resultater, der blev opnået ved hjælp af den finite elementmetode, bekræftede den gode effektivitet af begge de foreslåede teorier. Shi et al. formulerede en ny teori om forskydningsdeformation, der kan anvendes til analyse af frie vibrationer og bukling af laminerede kompositplader. Teorien sikrer, at forskydningsspændingerne ved pladernes overflader forsvinder. Desuden er det ikke nødvendigt med korrektionsfaktorer for forskydning. De løsninger, der findes i litteraturen, bekræfter den nye metodes høje nøjagtighed og effektivitet. Thai et al. præsenterede en simpel bjælketeori, der anvendes til analyse af statisk bøjning og frie vibrationer af isotrope nanobjælker. Den styrende ligning blev afledt på grundlag af elasticitetsteoriens ligevægtsligninger. Der blev opnået analytiske løsninger for ikke-lokale bjælker, idet der blev pålagt forskellige typer randbetingelser. Verifikationen har vist god nøjagtighed og effektivitet af teorien. Pei et al. udarbejdede en modificeret teori af højere orden for funktionelt graduerede bjælker ved hjælp af princippet om virtuelt arbejde. I teorien skelnes der mellem tværsnittets centroid og det neutrale punkt. Desuden forklares forholdet til den traditionelle teori af højere orden, hvilket forenkler en sammenlignende undersøgelse af forskellige teorier for bjælker af højere orden. Kumar et al. analyserede plader af funktionelt graduerede materialer ved hjælp af to egne nye teorier af højere orden om tværgående forskydningsdeformation. Energiprincippet blev anvendt til at udlede den styrende differentialligning for pladen. De opnåede resultater af deformation og spændinger blev sammenlignet med andre offentliggjorte data. Virkningerne af forskellige belastningstyper, forholdet mellem spændvidde og tykkelse samt klassificeringsindekset blev undersøgt. Magnucki og Lewiński betragtede enkelt understøttede bjælker med symmetrisk varierende mekaniske egenskaber i dybderetningen, som blev udsat for forskellige belastningstyper – fra ensartet fordelt til koncentreret belastning. Deformationen af en bjælkes plane tværsnit efter bøjning blev bestemt på grundlag af en egen ikke-lineær “polynomial”-hypotese. Den differentielle ligevægtsligning blev formuleret på grundlag af definitionerne af bøjningsmomentet og skubtværskraften og derefter løst for flere eksempler på bjælker. Magnucki et al. foreslog en ny formulering af de funktioner, der bestemmer variationen af de mekaniske egenskaber af en bjælke i dybderetningen. Tilgangen består i en generalisering, der gør det muligt at beskrive homogene, ikke-lineært variable og sandwichstrukturer ved hjælp af en universel analytisk model. Bevægelsesligningerne blev udledt på grundlag af Hamiltons princip og løst analytisk. Resultaterne blev verificeret ved hjælp af FEM-beregninger. Katili et al. foreslog et højere ordens to-knude bjælkeelement udviklet til at løse de statiske og frie vibrationsproblemer. Timoshenko-bjælketeorien blev ændret med henblik på at tage behørigt hensyn til den tværgående forskydningseffekt. Effektiviteten af metoden blev verificeret ved sammenligning med andre data offentliggjort i litteraturen. Lezgy-Nazargah udviklede en global-lokal teori om forskydningsdeformation, der nøjagtigt forudsiger den statiske og dynamiske opførsel af tyndt og tykt lagdelte buede bjælker. Variationen af forskydningsspændingen i bjælkens tykkelsesretning er tilnærmet ved en parabolisk funktion. Nulstilling af forskydningsspændingen på bjælkens grænseflader er sikret uden behov for en forskydningskorrektionskoefficient. De resultater, der er opnået ved statiske beregninger og beregninger af frie vibrationer, er positivt valideret af de resultater, der er beregnet med FEM.

Det vigtigste mål med denne artikel består i at forbedre teorien om forskydningsdeformation ved bøjning i tilfælde af symmetrisk varierende mekaniske egenskaber ved materialet i tværsnittets dybderetning. Der foreslås en individuel ikke-lineær funktion af deformationen af det plane tværsnit. Den forbedrede teori om forskydningsdeformation anvendes på de eksemplariske bjælker, hvis analytiske model er udviklet. Den analytiske model for disse bjælker er udviklet. De analytiske resultater sammenlignes med de resultater, der er opnået ved en numerisk FEM-metode. Det præsenterede problem med bøjende bjælker med hensyntagen til forskydningseffekten er en fortsættelse af den forskning, der er forelagt af Magnucki og Lewinski og Magnucki et al. .

.