Smykový efekt vyskytující se v ohýbaných konstrukcích byl zaznamenán již v devatenáctém století a podrobně studován pro homogenní a vrstvené konstrukce ve století dvacátém. Předpoklad správné teorie deformace přímky normály k neutrální ploše tvoří základ pro analytické modelování heterogenních konstrukcí, zejména těch, jejichž mechanické vlastnosti se mění ve směru tloušťky stěny.

Reddy vypracoval teoretický model ohybu funkčně odstupňovaných obdélníkových desek s uvažováním smykového efektu. Podrobná analýza je provedena s přihlédnutím k teorii smykové deformace prvního a třetího řádu. Zenkour představil zobecněnou teorii smykové deformace a její aplikaci na analýzu funkčně tříděných obdélníkových desek vystavených rovnoměrně rozloženému zatížení. Podrobně je studován příčný smykový účinek. Aydogdu navrhl novou teorii smykové deformace pro vrstvené kompozitní desky. Tato teorie přesně splňuje podmínky pro vynulování smykových napětí na horním a dolním povrchu desky. Reddy předložil reformulace klasické teorie a teorie smykové deformace nosníků a desek s přihlédnutím k nelokálním diferenciálním konstitutivním vztahům Eringena a von Kármánovým nelineárním deformacím. Byly formulovány rovnovážné rovnice nelokálních teorií nosníků a klasických teorií a teorií smykové deformace desek prvního řádu. Carrera a kol. podrobně popsali klasické i pokročilé teorie, včetně: základů teorie deformovatelných těles, Eulerovy-Bernoulliho a Timošenkovy teorie nosníků, nelineárních teorií, např. parabolické, kubické, kvartické a teorie nosníků n-tého řádu, a také modelování nosníků z funkčně tříděných materiálů. Meiche a kol. představili novou hyperbolickou teorii smykové deformace na příkladu analýzy vzpěru a volných vibrací tlustých funkčně gradovaných sendvičových desek. Tato teorie je dokonalejší ve vztahu k jednoduchým teoriím smykové deformace Mindlina a Reissnera. Navíc poskytuje parabolické změny příčných smykových napětí v celé tloušťce a také jejich vynulování na vnějších plochách. Thai a Vo vypracovali různé teorie smykové deformace vyššího řádu pro zkoušení ohybu a volného kmitání funkčně tříděných nosníků. Tyto teorie zohledňují změny příčného smykového napětí vyššího řádu ve směru hloubky nosníku a splňují okrajové podmínky bez napětí na horním a dolním povrchu nosníku. Thai a Vo vypracovali novou teorii sinusové smykové deformace pro funkčně odstupňované obdélníkové desky. Tato teorie popisuje sinusové rozložení příčného smykového napětí a splňuje podmínky nulového smykového napětí na vnějších plochách desky. Byly provedeny podrobné zkoušky týkající se ohybu, vzpěru a vibrací těchto desek.

Akgöz a Civalek představili nový analytický model nosníku se smykovou deformací vyššího řádu s přihlédnutím k teorii deformačního gradientu pružnosti. Tento model popisuje mikrostrukturní a smykové deformační efekty bez potřeby smykových korekčních faktorů. Zkoumají se problémy statického ohybu a volného kmitání prostě podepřených mikronosníků. Grover a kol. navrhli novou inverzní hyperbolickou teorii smykové deformace vrstvených kompozitních a sendvičových desek. Tato teorie je formulována na základě tvarové funkce smykové deformace a ověřena numerickými studiemi problému ohybu a vzpěru obdélníkových desek. Sahoo a Singh navrhli novou inverzní trigonometrickou zig-zag teorii pro laminované kompozitní a sendvičové desky. Tato teorie zajišťuje podmínky spojitosti na rozhraní vrstev a nulové smykové napětí na vnějších plochách desky. Pro numerické studie statických problémů těchto desek byl vyvinut efektivní model konečných prvků. Xiang vylepšil teorii smykové deformace n-tého řádu s přihlédnutím k podmínce nulování smykového napětí na vnějších plochách funkčně tříděného nosníku. Jsou analyzovány problémy volného kmitání tohoto nosníku. Kumar a Chakraverty navrhli čtyři nové inverzní trigonometrické teorie smykové deformace umožňující studovat volné kmitání izotropních tlustých obdélníkových desek. Tyto teorie zajišťují splnění okrajových podmínek příčného napětí na obou plochách desky. Byla provedena zkouška konvergence a validace na případech z dostupné literatury. Mahi a kol. představili novou hyperbolickou teorii smykové deformace popisující ohyb a volné kmitání izotropních, funkčně tříděných, sendvičových a vrstvených kompozitních desek. Tento přístup nevyžaduje smykový korekční faktor. Na základě Hamiltonova principu byl získán energetický funkcionál systému. Přesnost metody byla prokázána porovnáním s numerickým řešením úlohy.

Darijani a Shahdadi navrhli novou deformační teorii desek s uvažováním smykových deformací. Příčná smyková napětí se mění napříč tloušťkou desky podle mocninného vztahu. Horní a dolní plocha desky jsou bez smykového napětí. Řídící rovnice a okrajové podmínky desky jsou odvozeny s využitím Hamiltonova principu. Výsledky jsou srovnatelné s výsledky získanými pomocí teorií vyššího řádu. Lezgy-Nazargah se zabýval tepelně-mechanickými jevy v nosnících z funkčně gradovaného materiálu. K tomuto účelu byla použita zpřesněná teorie vysokého řádu, přičemž pole posunutí v rovině bylo znázorněno pomocí polynomických a exponenciálních výrazů. Takto získané numerické výsledky byly porovnány s řešeními jiných autorů. Sobhy použil novou teorii smykové deformace desek se čtyřmi proměnnými k zobrazení vibrací a vzpěru funkčně gradovaných sendvičových desek podepřených pružnými základy. Pohybové rovnice byly odvozeny na základě Hamiltonova principu. Platnost teorie byla ověřena porovnáním získaných výsledků s předchozími. Sarangan a Singh vypracovali několik nových teorií smykové deformace použitelných pro analýzu statického chování, vzpěru a volných vibrací vrstvených kompozitních a sendvičových desek. Tyto teorie zajišťují vynulování příčných smykových napětí na vnějších plochách desky. Přesnost modelů byla pozitivně ověřena porovnáním s výsledky 3D řešení pružnosti a existujících teorií. Chen a kol. zkoumali volné a vynucené kmitání funkčně odstupňovaných porézních nosníků. Teorie Timošenkova nosníku s uvažováním vlivu příčné smykové deformace umožnila odvodit pohybovou rovnici. Tento přístup umožnil efektivní výpočet vlastních frekvencí a přechodných dynamických výchylek pro porézní nosníky vystavené různým zatěžovacím podmínkám. Singh a Singh se zabývali vrstvenými a trojrozměrnými opletenými kompozitními deskami. Autoři pro tento účel vyvinuli dvě nové teorie smykové deformace. Řídící diferenciální rovnice byly formulovány na základě principu virtuální práce. Výsledky získané pomocí metody konečných prvků potvrdily dobrou účinnost obou navržených teorií. Shi a kol. formulovali novou teorii smykové deformace použitelnou pro analýzu volných vibrací a vzpěru vrstvených kompozitních desek. Teorie zajišťuje zánik smykových napětí na povrchu desek. Navíc nejsou vyžadovány korekční součinitele smyku. Řešení dostupná v literatuře potvrdila vysokou přesnost a účinnost nové metody. Thai a kol. představili jednoduchou teorii nosníku používanou pro analýzu statického ohybu a volného kmitání izotropních nanonosníků. Řídící rovnice byla odvozena na základě rovnovážných rovnic teorie pružnosti. Analytická řešení byla získána pro nelokální nosníky, kterým byly uloženy různé typy okrajových podmínek. Ověření ukázalo dobrou přesnost a účinnost teorie. Pei a kol. vypracovali modifikovanou teorii funkčně tříděných nosníků vyššího řádu s využitím principu virtuální práce. Teorie rozlišuje mezi centroidem a neutrálním bodem průřezu. Kromě toho je vysvětlen vztah s tradiční teorií vyššího řádu, což zjednodušuje srovnávací studii různých teorií nosníků vyššího řádu. Kumar a kol. analyzovali desky z funkčně tříděného materiálu pomocí dvou vlastních nových teorií příčné smykové deformace vyššího řádu. K odvození řídící diferenciální rovnice desky byl použit energetický princip. Získané výsledky průhybu a napětí byly porovnány s dalšími publikovanými údaji. Byly zkoumány účinky různých typů zatížení, poměru rozpětí k tloušťce a indexu třídění. Magnucki a Lewiński uvažovali prostě podepřené nosníky se symetricky se měnícími mechanickými vlastnostmi ve směru hloubky, vystavené různým typům zatížení – od rovnoměrně rozloženého až po soustředěné. Deformace rovinného průřezu nosníku po ohybu byla určena na základě vlastní nelineární „polynomiální“ hypotézy. Diferenciální rovnice rovnováhy byla formulována na základě definic ohybového momentu a smykové příčné síly a poté řešena pro několik příkladů nosníků. Magnucki a kol. navrhli novou formulaci funkcí určujících změnu mechanických vlastností nosníku ve směru hloubky. Tento přístup spočívá v zobecnění umožňujícím popsat homogenní, nelineárně proměnné a sendvičové konstrukce pomocí univerzálního analytického modelu. Pohybové rovnice byly odvozeny na základě Hamiltonova principu a analyticky vyřešeny. Výsledky byly ověřeny výpočtem metodou konečných prvků. Katili a kol. navrhli dvouuzlový nosníkový prvek vyššího řádu vyvinutý pro řešení statických a volných vibračních úloh. Teorie Timošenkova nosníku byla upravena s ohledem na správné zohlednění příčného smykového efektu. Účinnost tohoto přístupu byla ověřena porovnáním s dalšími údaji publikovanými v literatuře. Lezgy-Nazargah vyvinul globálně-lokální teorii smykové deformace, která přesně předpovídá statické a dynamické chování tenkých a tlustých vrstvených zakřivených nosníků. Změna smykového napětí ve směru tloušťky nosníku je aproximována parabolickou funkcí. Nulování smykového napětí na okrajových plochách nosníku je zajištěno bez potřeby smykového korekčního součinitele. Výsledky získané ze statických výpočtů a výpočtů volných kmitů jsou pozitivně potvrzeny výsledky vypočtenými pomocí MKP.

Hlavní cíl tohoto článku spočívá ve zdokonalení teorie smykové deformace v ohybu v případě symetricky se měnících mechanických vlastností materiálu ve směru hloubky průřezu. Je navržena individuální nelineární funkce deformace rovinného průřezu. Vylepšená teorie smykové deformace je aplikována na příkladové nosníky, jejichž analytický model je vypracován. Je vypracován analytický model těchto nosníků. Analytické výsledky jsou porovnány s výsledky získanými numerickým přístupem pomocí MKP. Předložená problematika ohýbaných nosníků s uvažováním smykového účinku navazuje na výzkum předložený Magnuckim a Lewinskim a Magnuckim a kol .

.