Spotová sazba dluhopisu je aktuální výnos pro dané období. Tržní spotové sazby pro určité termíny se rovnají výnosu do splatnosti dluhopisů s nulovým kupónem s těmito termíny. Spotová sazba se zvyšuje s rostoucí dobou splatnosti, ale tento vzorec se často odchyluje. Dluhopisy s delší dobou splatnosti mají tedy obecně vyšší výnosy. Graf spotových sazeb pro různé splatnosti tvoří výnosovou křivku a tvar této křivky často určuje účinnost některých dluhopisových strategií, zejména těch, které mají snížit úrokové riziko, jako jsou strategie imunizace dluhopisů. Někteří držitelé kupónových dluhopisů navíc chtějí tyto dluhopisy rozdělit na řadu dluhopisů s nulovým kupónem, a to buď proto, aby snížili riziko tím, že lépe přizpůsobí duraci aktiv závazkům, nebo aby prodejem nulových dluhopisů dosáhli zisku. Zisku lze také dosáhnout rekonstitucí dluhopisů s nulovým kupónem zpět do původního dluhopisu, pokud je součet nul levnější než rekonstituovaný dluhopis. Prodej nul nebo rekonstituce nul v závislosti na tržních cenách je formou arbitráže, prostředkem k dosažení bezrizikového zisku. To, zda by bylo ziskové vydat nuly, odebrat kupony nebo rekonstituovat kupony, však závisí na křivce spotových sazeb neboli výnosové křivce, která umožňuje investorovi odhadnout tržní cenu dluhopisu s určitou dobou splatnosti. Často se však na trhu neprodává dostatečné množství dluhopisů s nulovým kupónem, aby bylo možné jednoznačně určit, jaké by byly skutečné ceny dluhopisů s danou splatností. Jak lze určit spotovou sazbu pro splatnosti, u nichž chybí informace o trhu?“

S spotovou sazbou úzce souvisí forwardová sazba, což je úroková sazba pro určité období, které začíná v budoucnosti a končí později. Pokud by si tedy podnik chtěl půjčit peníze za rok na dobu dvou let za dnes známou úrokovou sazbu, pak banka může tuto sazbu garantovat pomocí smlouvy o forwardové úrokové sazbě s použitím forwardové sazby jako úroku z úvěru. Forwardové úrokové kontrakty, běžný typ derivátů, jsou založeny na forwardových sazbách. Forwardové sazby jsou také nezbytné pro ocenění dluhopisů s vloženými opcemi. Protože však forwardové sazby představují budoucí spotové ceny úrokových sazeb, které jsou neznámé, jak se forwardové sazby určují?

Křivky spotových sazeb a forwardové sazby implikované tržními cenami lze určit z tržních cen kupónových dluhopisů postupem zvaným bootstrapping.

Forwardové sazby

Cena dluhopisu = současná hodnota všech jeho peněžních toků. Obvyklou technikou je použití konstantního výnosu do splatnosti (YTM) při výpočtu současné hodnoty peněžních toků. Rovnici ceny dluhopisu však lze použít k výpočtu forwardových sazeb, jak vyplývají z aktuálních tržních cen dluhopisů s různými kupony.

Cena dluhopisu vypočtená pomocí konstantního výnosu do splatnosti

Cena dluhopisu	=	C1(1+YTM)1	+	C2(1+YTM)2	+ … +	Cn(1+YTM)n	+	P(1+YTM)n
C = kupónová platba za období P = nominální hodnota dluhopisu n = počet let do splatnosti YTM = výnos do splatnosti

Kuponový dluhopis lze považovat za skupinu nulovýchkupónových dluhopisů s nulou odpovídající každé kupónové platbě a konečné splátce jistiny. Tímto způsobem by měl být každý peněžní tok diskontován úrokovou sazbou odpovídající období, ve kterém bude peněžní tok přijat. Hodnota dluhopisů s nulovým kupónem se musí rovnat hodnotě kupónového dluhopisu; jinak by arbitrážník mohl dluhopis rozebrat a prodat nuly se ziskem, jak to někdy dělá.

Takto vypočtené forwardové sazby nejsou prognózou budoucích úrokových sazeb, protože budoucí úrokové sazby nejsou známy. Forwardové sazby jsou spíše jednoduše vypočteny z aktuálních cen dluhopisů; proto se někdy nazývají implikované forwardové sazby, protože jsou implikovány tržními cenami dluhopisů stejným způsobem, jako je implikovaná volatilita určována tržními cenami opcí.

Bootstrapping

Treasuries jsou ideálním typem dluhopisů, které lze použít ke konstrukci výnosové křivky, protože postrádají kreditní riziko, takže ceny Treasury více závisí na tržních úrokových sazbách. Treasuries definují bezrizikovou výnosovou křivku, ale z tržních cen vyplývají také forwardové sazby, což jsou výnosy pro určitá období v budoucnosti.

Protože státní dluhopisy a obligace jsou obvykle emitovány jako kupónové dluhopisy, nelze jejich ceny jednoduše použít ke konstrukci křivky spotových sazeb nebo k výpočtu forwardových sazeb. Místo toho se teoretická křivka spotových sazeb a implikované forwardové sazby konstruují pomocí procesu bootstrappingu, který počítá forwardové sazby s ohledem na hodnotu bezkupónových dluhopisů ekvivalentních dluhopisům ministerstva financí. Z vypočtených forwardových sazeb pak lze sestavit křivku spotových sazeb sečtením výnosů pro jednotlivé termíny do požadované splatnosti.

Technika bootstrappingu je založena na cenově-výnosové rovnici s použitím různých sazeb pro každý z šestiměsíčních termínů, jak je určují tržní ceny:

Rovnice výnosu dluhopisu s použitím různých sazeb pro každý peněžní tok

Cena dluhopisu	=	C1(1+r1)1	+	C2(1+r2)2	+ … +	Cn(1+rn)n	+	P(1+rn)n
r = úroková sazba za období Pokud r = roční výnos, ale období je na ½ roku, pak dělíme 2

Úroková sazba je 1. vypočtena pro 6měsíční dluhopis, který má známou tržní cenu, který má při splatnosti pouze jedinou platbu sestávající z kupónové platby a splátky jistiny. Po výpočtu sazby pro 1. období u šestiměsíčního dluhopisu se tato sazba použije pro výpočet sazby pro 2. období u jednoletého dluhopisu a tak dále, dokud nejsou určeny všechny sazby pro požadovaný počet období, pro které jsou k dispozici tržní ceny. Tato technika se nazývá bootstrapping, protože dříve vypočtené spotové sazby se používají k výpočtu pozdějších spotových sazeb v následujících krocích.

Závěr

Technika bootstrappingu je jednoduchá, ale nalezení skutečné výnosové křivky a její vyhlazení vyžaduje složitější matematiku, protože ceny dluhopisů nejsou ovlivněny pouze úrokovými sazbami, ale také dalšími faktory, jako jsou úvěrové riziko, daně, likvidita a prostý rozptyl nabídky a poptávky pro jednotlivé splatnosti. K určení realističtějších sazeb se používají složitější matematické techniky, které však přesahují rámec tohoto článku. Nicméně bootstrapping ilustruje, jak lze z aktuálních cen dluhopisů vypočítat forwardové sazby, které pak lze poskládat tak, aby vyplnily mezery v křivce spotových sazeb.

.