Hranice exponenciálního růstu
Exponenciální růst nastává vždy, když porodnost převyšuje úmrtnost v populaci. I když je porodnost jen nepatrně větší než úmrtnost, populace nakonec exploduje ve známé křivce ve tvaru písmene J. Exponenciální růst je možný pouze v případě, že jsou k dispozici nekonečné přírodní zdroje, ale v reálném světě tomu tak není. V reálném světě s jeho omezenými zdroji nemůže exponenciální růst pokračovat donekonečna. Exponenciální růst může nastat v prostředí, kde je málo jedinců a dostatek zdrojů, ale jakmile se počet jedinců dostatečně zvýší, zdroje se vyčerpají, čímž se tempo růstu zpomalí. Nakonec se tempo růstu zastaví nebo vyrovná. Tato velikost populace, která představuje maximální velikost populace, kterou může dané prostředí podporovat, se nazývá nosná kapacita a označuje se \(K\). První, kdo publikoval modifikaci exponenciálního růstu, která popisuje toto chování v reálném světě, byl Pierre Verhulst v roce 1838.
Při tradičním exponenciálním růstu je počet nových jedinců, kteří se přidávají k předchozí populaci, procentem samotné populace. Jinými slovy, sklon je úměrný počtu obyvatel. Například u populace, která roste každý rok o 5 %, by při počtu 100 jedinců přibylo 5 nových jedinců, ale při počtu 3000 jedinců by přibylo 150 nových jedinců. Verhulstův model se lišil v tom, že růst byl úměrný populaci a dostupným zdrojům. S počtem dostupných zdrojů se zacházelo pouze v procentech, přičemž na začátku bylo k dispozici 100 % a po dosažení únosné kapacity populace 0 %.
Vzorec pro populaci, \(P\), která roste exponenciálně, lze zapsat jako:
\(P = start \cdot \left(1 + r\right)^t\)
zatímco populaci, která dosáhne plató při únosné kapacitě, lze zapsat jako:
\(P = start \cdot \left(1 + (\frac{K-P}{K}) \cdot r\right)^t\)
Jedinou změnou oproti tradiční rovnici exponenciálního růstu je zahrnutí faktoru \(\frac{K-P}{K}\), který představuje rozdíl mezi populací a únosností v procentech. Například pokud by byla únosnost 100 a počet obyvatel 95, pak by bylo k dispozici 5 % zdrojů pro další růst, protože \((100-95)/100=5\%\). V takovém případě by míra růstu činila pouze 5 % původní hodnoty: \(P=start \cdot \left(1 + 5\% \cdot r\right)^t\)
Když se exponenciální růst zpomalí a ustálí, křivka vypadá poněkud esovitě. Odpovídá tomu řecké písmeno „sigma“ a model růstu se nazývá sigmoidální růst. Někdy se mu také říká „logistický růst“, i když to může vyvolat záměnu s velmi odlišným modelem růstu založeným na logaritmu. Porovnání exponenciálního a logistického růstu je znázorněno v následujícím grafu pro rychlost růstu 5 %, počáteční populaci 100 jedinců a nosnou kapacitu 2000 jedinců.
Všimněte si, že zpočátku jsou exponenciální model a sigmoidální model téměř totožné. Když je populace mnohem menší než únosná kapacita, zdroje jsou v podstatě neomezené a populace roste exponenciálně. Teprve když populace vzroste směrem k únosné kapacitě, tempo růstu se znatelně zpomalí a sigmoidální křivka se dostane na plošinu.
Všimněte si také, že sigmoidální model růstu není stále strmější jako model exponenciálního růstu. Nejstrmější část sigmoidální křivky je přesně v polovině maximální populace neboli K/2. Pro populace, které jsou menší než K/2, se růst zrychluje. Pro populace, které jsou větší než K/2, se růst zpomaluje.
Příklad
Považujte populaci, která začíná růst exponenciálně rychlostí 2,8 % ročně a řídí se
sigmoidálním modelem růstu.
a. Je-li únosná kapacita 75 milionů, najděte současnou míru růstu, když je počet obyvatel 10 milionů.
b. Najděte současnou rychlost růstu, když je počet obyvatel 50 milionů.
Ukažte řešení
Příklad
Předpokládejme, že únosnost Země je 15 miliard. V 60. letech 20. století byla populace 3 miliardy a roční
tempo růstu bylo 2,1 %.
a. Pokud je růst populace sigmoidální, jaká je základní míra růstu (míra růstu, kdy se populace blížila nule)?
b. Jakou míru růstu předpovídá model, když je počet obyvatel 7,6 miliardy?
Ukažte řešení
Shrnutí
Sigmoidní růst je modifikací exponenciálního růstu, při níž se procentuální změna zmenšuje s tím, jak se populace blíží k únosné kapacitě. Aktuální míra růstu je součinem počáteční míry růstu a procenta dostupných zdrojů. Na počátku je k dispozici 100 % zdrojů, takže sigmoidální tempo růstu odpovídá exponenciálnímu tempu. Nakonec je k dispozici 0 % zdrojů a sigmoidální tempo růstu se blíží nule.
Reálné systémy zřídkakdy přesně odpovídají modelu sigmoidálního růstu, ale přesto je to velmi užitečná aproximace. Kromě populací zvířat lze sigmoidálním růstem modelovat i šíření nemocí nebo šíření technologií či šíření fám. Reálné systémy často vykazují pilovitý cyklus přelidnění, po němž následuje populační kolaps nebo dokonce vymření. K tomu dochází, když je míra růstu dostatečně velká na to, aby způsobila překročení únosné kapacity populace.