Exponenty jsou mocniny nebo indexy. Exponent neboli mocnina označuje počet opakovaných násobení čísla sebou samým. Když se například setkáme s číslem zapsaným jako, 53, jednoduše to znamená, že 5 je třikrát násobeno sebou samým. Jinými slovy, 53 = 5 x 5 x 5 = 125.
Exponenciální výraz se skládá ze dvou částí, a to ze základu, označovaného jako b, a exponentu, označovaného jako n. Obecný tvar exponenciálního výrazu je b n.
Jak násobit exponenty?“
Provádění násobení exponentů tvoří důležitou součást matematiky vyššího stupně, avšak mnoho studentů má problém pochopit, jak s touto operací naložit. I když se výrazy zahrnující záporné a násobné exponenty zdají být matoucí.
V tomto článku se budeme učit násobení exponentů, a proto vám to pomůže cítit se mnohem pohodlněji při řešení úloh s exponenty.
Násobení exponentů zahrnuje následující dílčí témata:
- Násobení exponentů se stejným základem
- Násobení exponentů s různými základy
- Násobení záporných exponentů
- Násobení zlomků pomocí exponentů
- Násobení zlomkových exponentů
- Násobení proměnných exponenty
- Násobení odmocnin exponenty
Násobení exponentů stejným základem
Při násobení exponentů stejným základem, se exponenty sčítají. Pravidlo násobení sčítání exponentů při stejných základech lze zobecnit takto: a n x a m = a n+ m
Příklad 1
- m⁵ × m³ = (m × m × m × m) × (m × m × m)
.
= m5 + 3
= m⁸
- 3⁴ × 3² = (3 × 3 × 3 × 3) × (3 × 3) = 3 4+ 3= 3⁶
- (-)3) ³ × (-3) ⁴ = ×
= (-3) 3 +4
= (-3)7
- 5³ ×5⁶
= (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5)
= 53+6
= 5⁹
- (-7)10× (-7) ¹²
= × .
= (-7) ²²
Násobení exponentů s různými základy
Při násobení dvou proměnných s různými základy, ale stejnými exponenty, prostě vynásobíme základy a dosadíme stejný exponent. Toto pravidlo lze shrnout takto:
a n ⋅ b n = (a ⋅ b) n
Příklad 2
- (x3) *(y3) = xxx*yyy = (x y)3
- 3 2 x 4 2= (3 x 4)2= 122 = 144
Jsou-li exponenty i základy různé, pak se každé číslo vypočítá zvlášť a pak se výsledky vynásobí dohromady. V tomto případě je vzorec dán: a n ⋅ b m
Příklad 3
- 32x 43 = 9 x 64 = 576
- Jak násobit záporné exponenty?“
U čísel se stejným základem a zápornými exponenty exponenty pouze sečteme. Obecně platí: a -n x a -m = a -(n + m) = 1 / a n + m.
Příklad 4
- 2-3x 2-4 = 2-(3+4) = 2-7 = 1 / 27 = 1 / (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 1 / 128 = 0.0078125
Podobně, pokud jsou základy různé a exponenty stejné, nejprve vynásobíme základy a použijeme exponent.
a -n x b -n = (a x b) -n
Příklad 5
- 3-2x 4-2 = (3 x 4)-2 = 12-2 = 1 / 122 = 1 / (12⋅12) = 1 / 144 = 0.0069444
- Jak násobit zlomky s exponenty?“
Při násobení zlomků se stejným základem sčítáme exponenty. Například:
(a / b) n x (a / b) m = (a / b) n + m
Příklad 6
- (4/3)3x (3/5)3 = ((4/3) x (3/5))3 = (4/5)3 = 0,83 = 0,8 x 0,8 x 8 = 0.512
- (4/3)3x (4/3)2 = (4/3) 3+2 = (4/3) 5 = 45 / 35 = 4.214
- (-1/4)-3× (-1/4)-2
(-1/4)-3 × (-1/4)-2
= (4/-1)3 × (4/-1)2
= (-4)3 × (-4)2
= (-4) (3 + 2)
= (-4)5
= -45
= -1024. - (-2/7)-4× (-5/7)2
(-2/7)-4 × (-5/7)2
= (7/-2)4 × (-5/7)2
= (-7/2)4 × (-5/7)2
= (-7)4/24 × (-5)2/72
= {74 × (-5)2}/{24 × 72 }
= {72 × (-5)2 }/24
= /16
= 1225/16
- Jak násobit zlomkové exponenty?
Obecný vzorec pro tento případ je: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m
Příklad 7
- 23/2x 33/2 = (2⋅3)3/2 = 63/2 = √ (63) = √216 = 14. V tomto případě je možné použít následující vzorec: a n/m ⋅ b n/m = (a ⋅ b) n/m
.7
Podobně zlomkové exponenty se stejnými základy, ale různými exponenty mají obecný vzorec daný: a (n/m) x a (k/j) = a
Příklad 8
- 2(3/2)x 2(4/3) = 2 = 7,127
- Jak násobit odmocniny exponenty?
U exponentů se stejným základem můžeme exponenty sčítat:
(√a) n x (√a) m = a (n + m)/2
Příklad 9
- (√5)2x (√5)4 = 5(2+4)/2 = 56/2 =. 53 = 125
- Násobení proměnných exponenty
Pro exponenty se stejným základem, můžeme exponenty sčítat:
xn * x m = x n + m
Příklad 10
- x2* x3 = (x * x) ⋅ (x * x * x) = x 2 + 3 = x 5
Praktické otázky
- Délka obdélníku je čtverec jeho šířky. Je-li plocha tohoto obdélníku 64 čtverečních jednotek, najděte délku obdélníku.
- Přesun světla ze Slunce na Zemi trvá 5 × 102 sekund. Je-li rychlost světla 3 × 108 m/s, jaká je vzdálenost mezi Sluncem a Zemí?
Odpovědi
- 4 jednotky
- 1,5 × 1011 m